Автореферат (1155074), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Если ограниченнаяобласть Ω содержится в√Π+ := Π ∩ C+, ∂Ω ∩ R+ ⊂ (0, 2/3 3) и ∂Ω ∩ iR− ⊂ (0, iν), тосуществует εe = εe(Ω) > 0 такое, что при ε ∈ (0, εe) аналитическийв Ω характеристический определитель ∆−(λ) для λ ∈ Ω имеет видexp ε−1/2ζ −(λ) 1 + Ψ1(λ) − exp − ε−1/2ζ −(λ) 1 + Ψ2(λ) −−i exp ε−1/2 2ξ −(λ) − ζ −(λ)131 + Ψ3(λ) −−i exp ε−1/2 ζ −(λ) − 2ξ −(λ) + 2η −(λ)1 + Ψ4(λ) ++ exp ε−1/2 ζ −(λ) + 2η −(λ)1 + Ψ5(λ) ,где |Ψj (λ)| 6 C(Ω)ε1/2.В §3.3 устанавливаются свойства эллиптических интегралов ξ −(λ),η −(λ) и ζ −(λ), используемые при изучении распределения нулей характеристического определителя ∆−(λ).Утверждение 2.

Для λ = a + ib ∈ Π+ выполнены неравенства∂Re ξ −(λ)/∂a > ∂Re η −(λ)/∂a, ∂Re ξ −(λ)/∂b > 0, ∂Re η −(λ)/∂b > 0и ∂Re ζ −(λ)/∂a > 0, величина Re ζ −(λ) обращается в нуль на лучеiR−, а боковые ребра предельного комплексаΓ1 := λ ∈ Π+ : Re η −(λ) = 0, Re ξ −(λ) > 0 ,−−Γ2 := λ ∈ Π+ : Re ξ (λ) = Re η (λ) < 0 ,Γ3 : = λ ∈ Π+ : Re ξ −(λ) = 0, Re η −(λ) > 0 ,являющиеся графиками монотонных функций b =√b(a), соединяютузел их сочленения Λ = ρ + iµ с точками 0, 2/3 3 и iν соответственно, где | Λ − 1/4 + i/8 | < 1/25 и |ν + 9/20| < 1/40.Формула для ∆−(λ) из предложения 2 допускает в Π+ упрощение −1/2 − √ −∆ (λ) = exp ε ζ (λ)1 + O( ε) + exp 2ε−1/2η −(λ) ×h√ √ i−1/2 −× 1 + O( ε) − i exp − 2ε ξ (λ) 1 + O( ε) ,и в различных частях Π+ приводится к виду (6).В §3.4 с использованием развитой в §1.4 методики проводится локализация спектра рассматриваемой задачи (1)-(2).

Асимптотическоераспределение собственных значений задачи в окрестности Γ1 ∪ Γ2описываетТеорема 3. Для Q(z) = z 3 − z и произвольного δ > 0 существуют ε3 = ε3(δ) > 0 и C (3)(δ) > 0 такие, что при ε ∈ (0, ε3) вобласти√λ ∈ Π+ : dist(λ, Γ1) < δ, dist(λ, Γ2 ∪ Γ3) > δ, | λ − 2/3 3| > δспектр задачи (1)-(2) представляет собой серию простых собственных значений, лежащих в C (3)(δ)ε-окрестностях нулей λ(3)∈ Γ1n−1/2 −функции cos iε η (λ) , занумерованных согласно правилу квантования−(3)1/2η (λn ) = iε π n + 1/2 , n ∈ Z,14а часть спектра задачи (1)-(2), принадлежащая областиλ ∈ Π+ : dist(λ, Γ2) < δ, dist(λ, Γ1 ∪ Γ3) > δ, | λ − iν| > δ ,состоит из однократных собственных значений, находящихся вC (3)(δ)ε-окрестностях корней λ(4)n ∈ Γ2 уравненияtg iε−1/2(η −(λ) − ξ −(λ)) = 1.Появление спектральной серии, локализованной вблизи Γ1, обусловлено существованием конечной линии Стокса, соединяющей точкиповорота.

Подобные эффекты возникают в случае уравнения Шредингера с периодическим потенциалом [17] и в случае уравнения магнитной индукции на поверхности вращения [18], где устанавливаетсясвязь с методом канонического оператора Маслова (см. [19]).Помимо Γ1 и Γ2 предельный спектральный комплекс также содержитв Π+ ребро, соединяющее узел сочленения Λ со сдвоенной концевойвершиной – точкой Q(±1) = 0.

Локализация соответствующих собственных значений использует асимптотическое представление ∆−(λ)из предложения 2.[17] Есина А.И., Шафаревич А.И. Условия квантования на римановых поверхностях и квазиклассический спектр оператора Шредингера с комплексным потенциалом // Матем. заметки,2010.

– Т.88, №2. – С.229-248.[18] Esina A.I., Shafarevich A.I. Analogs of Bohr-Sommerfeld-Maslov quantization conditionson Riemann surfaces and spectral series of nonself-adjoint operators // Russ. J. Math. Phys., 2013.– V.20, №2. – P.172-181.[19] Маслов В. П. Асимптотические методы и теория возмущений.

– М.: Наука. Гл. ред.физ.-мат. лит., 1988. – 312 с.15Теорема 4. В случае Q(z) = z 3 − z для произвольного δ > 0существуют ε4 = ε4(δ) > 0 и C (4)(δ) > 0 такие, что при ε ∈ (0, ε4)часть спектра задачи (1)-(2), принадлежащая множествуλ ∈ Π+ : Im λ > ν, | λ| > δ, dist(λ, Γ1 ∪ Γ2) > δ ,состоит из простых собственных значений, находящихся в C (4) (δ)ε(5)−1/2 −окрестностях нулей λn ∈ Γ3 функции cos iε ξ (λ) − π/4 , которые определяются из соотношенийξ−(λ(5)n )1/2= iε π n + 1/4 , n ∈ Z.Автор глубоко благодарен своему научному руководителю докторуфизико-математических наук, профессору Станиславу АнатольевичуСтепину за постановку задач, плодотворные обсуждения, научныедискуссии и постоянное внимание к представленной работе.Работа была частично поддержана грантом РФФИ №16-01-00117-а.16Список работ автора по теме диссертацииВ журналах из перечня ВАК:1.

Степин С. А., Фуфаев В. В. Метод фазовых интегралов в задачеквазиклассической локализации спектра // Докл. РАН, 2015. – Т.462,№3. – С. 283-287.2. Фуфаев В. В. О линиях уровня гармонических функций, связанных с некоторыми абелевыми интегралами // Вестн. Моск.

ун-та.Сер. 1 Матем. Мех., 2017. – №1. – С. 16-25.3. Степин С. А., Фуфаев В. В. Метод фазовых интегралов в однойзадаче сингулярной теории возмущений // Изв. РАН. Сер. матем.,2017. – Т.81, №2. – С. 129-160.Прочие публикации:4. Степин С. А., Фуфаев В. В. Асимптотические оценки точностиприближений в одной задаче теории возмущений // Международнаяконференция "Функциональные пространства и теория приближенияфункций”, посвященная 110-летию со дня рождения академика С.

М.Никольского (25–29 мая 2015 г., МИАН, г. Москва): Тезисы докладов.– М.: МИАН, 2015. – С. 228.5. Фуфаев В. В. Об одной модельной задаче Штурма-Лиувилля //Международная конференция по математической теории управленияи механике, Суздаль, 3-7 июля 2015 г.: Тезисы докладов. – М.: МИАН,2015. – С. 135-136.6. Фуфаев В. В. Квазиклассическая локализация спектра в модельной задаче сингулярной теории возмущений // Международнаяконференция по дифференциальным уравнениям и динамическимсистемам, Суздаль, 8-12 июля 2016 г.: Тезисы докладов.

– М.: МИАН,2016. – С. 217.7. Фуфаев В. В. Асимптотический анализ в одной задаче сингулярной теории возмущений // Международная конференция “Системы Аносова и современная динамика”, посвященная 80-летию содня рождения Дмитрия Викторовича Аносова, Москва, 19-23 декабря 2016 г.: Тезисы докладов.

– М.: Математический институт им.В. А. Стеклова РАН, 2016. – С. 43.17Фуфаев В. В.Метод фазовых интегралов в одной задачеасимптотической теории возмущенийАннотацияВ диссертации изучается несамосопряженная краевая задачаШтурма-Лиувилля для уравнения с малым чисто мнимым параметром при второй производной. В случае двух модельныхполиномиальных потенциалов третьей степени исследованаквазиклассическая асимптотика собственных значений, и получены локализационные формулы типа правил квантования.Установлено, что соответствующие предельные спектральныеконфигурации представляют собой одномерные комплексы,геометрические свойства которых изучены.Fufaev V. V.Phase-integral method in a problem of asymptoticperturbation theoryAbstractThe thesis deals with nonselfadjoint boundary Sturm-Liouvilleproblem for equation with small purely imaginary parameterat the second derivative.

In two cases of model cubicpolynomial potentials we investigate quasiclassical asymptoticsfor eigenvalues and derive localization formulae of quantizationtype. The corresponding limit spectral configurations prove tobe one-dimensional complexes whose geometric properties arestudied.18.

Характеристики

Список файлов диссертации