Автореферат (1155074), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Рассматривается случай линейной зависимости Q(z, λ) = Q(z) − λ от спектрального параметра, функция Q(z) предполагается аналитическойи вещественнозначной на отрезке [A, B], при этом спектр задачи расположен в полуполосеΠ := {Re λ ∈ Q([A, B]), Im λ < 0}.В первой главе изложена общая схема метода локализации собственных значений задачи (1)-(2). §1.1 содержит конструкцию ВКБприближений применительно к уравнению (1). Кусочно-гладкий путь7γ = γ(λ) ⊂ Cz называется каноническим для ветви S(z0, z; λ) многозначной функцииZ qzeiπ/4Q(ζ, λ) dζ ,(3)z0играющей роль фазового интеграла, если величина Re S(z0, z; λ)изменяется монотонно вдоль γ. Если при каждом λ из ограниченнойобласти Ω для S(z0, z; λ) существует канонический путь γ = γ(λ),удовлетворяющий условиюZ ρ(Ω) := supλ∈Ωγ|Q00(z, λ)||Q0(z, λ)|2+|Q(z, λ)|3/2|Q(z, λ)|5/2| dz| < ∞ ,то (см. [7]) при достаточно малых ε > 0 и всех λ ∈ Ω у уравнения(1) существуют решения Y±(z, λ), имеющие на γ видY±(z, λ) = Q(z, λ)−1/4Y±0 (z, λ) = ±Q(z, λ)1/4exp ± εexp ±ε−1/2−1/2S(z0, z; λ) 1 + r±(z, λ) ,iπ/4 −1/2S(z0, z; λ) eε(4)+ rb±(z, λ) , (5)1/2где | r±(z, λ)| 6 2 exp(2ε ρ(Ω)) − 1 и, кроме того,0Q(z,λ)1/2 rb± (z, λ) ±(1+r(z,λ))62exp(2ερ(Ω))−1.±4Q3/2(z, λ)При построении канонического пути γ = γ(λ) будут выполняться условия равномерной отделенности γ от нулей функции Q(z, λ)и ограниченности длин |γ(λ)|, что обеспечивает равномерные по λасимптотические оценки r±(z, λ) = O(ε1/2) и rb±(z, λ) = O(1), когда ε ↓ 0.В §1.2 и §1.3 выводятся формулы связи для фундаментальных систем решений (ФСР), имеющих ВКБ-приближения в различных частях окрестности простого нуля функции Q(z, λ).
Пусть при λ ∈ Ωсуществуют такие канонические пути γ, γb и γe, образующие простойзамкнутый положительно ориентированный контур, что каждый изних удовлетворяет условию ρ(Ω) < ∞, область ими ограниченная содержит единственный (однократный) нуль z = α(λ) функции Q(z, λ),причем Re S(z0, α(λ); λ) > 0, где z0 ∈ γ ∩ γb.Тогда при достаточно малых ε > 0 для λ ∈ Ω уравнение (1)имеет две ФСР Y±(z, λ) и Yb±(z, λ) с асимптотиками (4)-(5) на γ иγb соответственно и при z ∈ γ ∪ γb справедливы формулы связи (ср.8[14])Yb+(z, λ) = Y+(z, λ) 1 + Θ1(λ) + Y−(z, λ)Θ2(λ) ,−1/2bY−(z, λ) = −iY+(z, λ) exp 2ε S(α(λ), z0; λ) 1 + Θ3(λ) ++Y−(z, λ) 1 + Θ4(λ) ,где | Θj (λ)| 6 C(Ω)ε1/2.Общая схема применения описанной выше конструкции в ходе локализации спектра задачи (1)-(2) состоит в следующем.
При λ ∈ Ωдля фазового интеграла (3) строится соединяющая точки A и Bцепочка замкнутых и состоящих из канонических путей контуров,каждый из которых содержит внутри в точности одну из точек поворота уравнения (1), и такая, что два соседних контура включают всебя общий канонический путь. Применительно к каждому из контуров строятся ФСР с асимптотиками (4)-(5) на соответствующих канонических путях и с необходимой точностью вычисляются матрицыСтокса перехода от одной ФСР к другой. Перемножение найденныхматриц Стокса соответствует продолжению решений Y±(z, λ) уравнения (1) вдоль построенной цепочки, что позволяет получить дляних асимптотические формулы, одновременно пригодные в точкахA и B. Подстановка полученных таким образом формул в соответствующий условиям (2) характеристический определитель ∆(λ),нулями которого являются искомые собственные значения, дает егоэффективное асимптотическое (для малых ε > 0 ) представление.При надлежащем выборе Ω это представление удается редуцироватьк видуe 1 (λ) + exp ε−1/2 ϕ(λ)−ic 1+ Φe 2 (λ) , (6)exp −ε−1/2ϕ(λ)+ic 1+ Φгде c ∈ R.
Здесь функция ϕ(λ) аналитична в определенной областиD ⊂ Cλ, причем ∂Re ϕ(a + ib)/∂b > 0 и Re ϕ(λ) = 0 на некоторойкривой Γ, являющейся графиком функции b = f (a). При этом дляλ, принадлежащих однопараметрическому семейству множествΩ(δ) := a + ib : g1(δ) < a < g2(δ), | b − f (a)| < g3(δ) ⊂ D , δ > 0,где g1(δ) и g3(δ) возрастают, а g2(δ) убывает по параметру δ, выполe j (λ)| 6 C(δ)ε1/2 . В §1.4 установлено существованиенены оценки |ΦeC(δ)> 0 такого, что при достаточно малых ε > 0 нули ∆(λ) в Ω(δ)eоднократны и расположены в C(δ)ε-окрестностяхточек λn ∈ Γ, заданных условием1/2ϕ(λn) = iε πn − π/2 + c , n ∈ Z.[14] Степин С.А., Аржанов А.А.
Квазиклассические спектральные асимптотики и явлениеСтокса для уравнения Вебера // ДАН, 2001. – Т.378, №1. – С.18-21.9Глава 2 посвящена изучению задачи (1)-(2) в случае модельного монотонного на [−1, 1] потенциала Q(z) = z 3 + z. Ввиду нечетности потенциала достаточно исследовать предельное расположениеспектра в правой полуплоскости C+ и вблизи мнимой оси. В §2.1устанавливаются необходимые в дальнейшем свойства многозначнойфункции α(λ) = Q−1(λ).
Риманова поверхность α(λ), рассматриваемая как область наложения,состоит из трех листов с двумя точ√−1ками ветвления ±2i/3 3. Ветвь α1+(λ) функции√ Q (λ) однолистно отображает2i/3 3 + iR+ на область√p плоскость Cλ с разрезом+3 Im z > (Re z)2 + 1, а ветви α0+(λ) √и α−1(λ) однолистно отображают плоскостьCλ с разрезом −2i/3 3 + iR+ на части области√p3 Im z < (Re z)2 + 1, √отвечающие условиям Re z > 0 и Re z < 0.Для λ ∈ Π \ [0, −2i/3 3], строится набор канонических путей γe1,γb1, γ1 = γb2, γ2 и γe2, образующих два замкнутых контура, ограничи+(λ) и α0+(λ) соответственно.
В §2.2вающих области, содержащие α−1вводятся фазовые интегралы+ξ (λ) :=+η (λ) :=S(α0+(λ), 1; λ)= e+S(α0+(λ), α−1(λ); λ)iπ/41ZqQ(z, λ) dz,α0+ (λ)+α−1(λ)= eiπ/4ζ +(λ) := S(1, −1; λ) = eiπ/4ZZqQ(z, λ) dz,α0+ (λ)−1 qQ(z, λ) dz,1и применяется описанная в §1.4 схема для получения асимптотического представления характеристического определителя ∆+(λ) соответствующего задаче (1)-(2).Предложение 1. Для произвольной ограниченной области√ Ω, лежащей вместе со своим замыканием Ω в Π \ [0, −2i/3 3], существует εb = εb(Ω) > 0 такое, что при ε ∈ (0, εb) аналитический вΩ характеристический определитель ∆+(λ) имеет видexp ε−1/2ζ +(λ) 1 + Φ1(λ) − exp − ε−1/2ζ +(λ) 1 + Φ2(λ) − −1/2 +++− i exp ε2ξ (λ) − η (λ) + ζ (λ) × −1/2 + × exp ε η (λ) 1 + Φ3(λ) + exp − ε−1/2η +(λ) 1 + Φ4(λ) .где |Φj (λ)| 6 C(Ω)ε1/2.В §2.3 изучены аналитические свойства эллиптических интегралов+ξ (λ), η +(λ) и ζ +(λ), которые используются в ходе локализации нулейхарактеристического определителя задачи (1)-(2).10+Утверждение 1.
Функции Re η +(λ),√ Re ζ (λ), λ = a + ib ∈ Π,доопределенные на отрезке [0, −2i/3 3] по непрерывности, возрастают по a приb так, что ∂Re η +(a + ib)/∂a > 0√ фиксированномдля b < −2/3 3 и Re η +(λ) = Re ζ +(λ) = 0 на луче iR−. Величина Re ξ +(a + ib), продолженная по непрерывности на замыканиемножества Π+ = Π ∩ C+, возрастает по b при фиксированномa ∈ [0, 2] и ∂Re ξ +(a + ib)/∂b > 0 для a + ib ∈ Π+.
Линия уровняΓ := λ = a + ib ∈ Π+ : Re ξ +(λ) = 0представляет√ собой график гладкой функции b = f (a) с производной0f (a) < 1/ 3, a ∈ (0, 2). Кривая Γ пересекает действительную √осьпод углом√ π/6 и лежит в треугольнике с вершинами 2, −2i/ 3,−2i(2 − 3). Для точки пересечения Γ ∩ iR = iµ справедливо неравенство µ + 2/3 < 1/20.Утверждение 1 позволяет в различных частях Ω полосы Π получатьредуцированные формулы вида (6) для характеристического определителя ∆+(λ) и с использованием техники, развитой в §1.4, провестив §2.4 локализацию спектра в правой полуплоскости.Теорема 1. В случае Q(z) = z 3 + z при фиксированном M < 0 дляпроизвольного δ > 0 найдется ε1 = ε1(δ) > 0 такое, что множествоλ ∈ Π : Re λ > δ, dist(λ, Γ) > δ, Im λ > Mпри ε ∈ (0, ε1) не содержит точек спектра задачи (1)-(2), а в областиλ ∈ Π : Re λ > δ, dist(λ, Γ) < δ, |λ − Q(1)| > δспектр задачи состоит из однократных собственных значений, причем для некоторой константы C (1)(δ) > 0 все они находятся вC (1)(δ)ε-окрестностях корней λ(1)n ∈ Γ уравненияcos iε−1/2ξ +(λ) + π/4 = 0.Соответствующие локализационные формулы задаются соотношениями+(1)1/2ξ (λn ) = iε π n − 1/4 , n ∈ Z,асимптотически эквивалентными правилам квантования, указаннымв [15] и [16].[15] Степин С.А.
Несамосопряженные сингулярные возмущения: модель перехода от дискретного спектра к непрерывному // УМН, 1995. – Т.50, вып. 6. – С. 219-220.[16] Степин С.А., Титов В.А. О концентрации спектра в модельной задаче сингулярнойтеории возмущений // ДАН, 2007. – Т.413, №1. – С.27-30.11Наряду с найденной в теореме 1 спектральной серией имеется симметричная ей относительно оси iR серия собственных значений, которые концентрируются вблизи кривой −Γ. Предложение 1 играетсущественную роль, при исследовании асимптотического распределения собственных значений задачи (1)-(2) вблизи мнимой оси при этомв области, ограниченной отрезком [−2, 2] и ребрами Γ и −Γ, спектррассматриваемой задачи при малых ε > 0 оказывается непустым иконцентрируется√ вблизи вертикального отрезка, соединяющего точки iµ и −2i/3 3.Теорема 2.
Для Q(z) = z 3 + z и произвольного δ > 0 существуют ε2 = ε2(δ) > 0 и C (2)(δ) > 0 такие, что при ε ∈ (0, ε2)множество√λ ∈ Π : |Re λ| < δ, Im λ > −2/3 3 + δне содержит собственных значений задачи (1)-(2), а в области√λ ∈ Π : |Re λ| < δ, µ + δ < Im λ < −2/3 3 − δспектр задачи (1)-(2) исчерпывается однократными собственными значениями,√расположенными в C (2)(δ)ε -окрестностях нулей−1/2 +λ(2)η (λ) , занумерованных соn ∈ [iµ, −2i/3 3] функции cos iεгласно правилу квантованияη+(λ(2)n )1/2= iε π n + 1/2 , n ∈ Z.12Спектральная серия, аналогичная серии собственных значений, указанной в теореме 2, обнаружена и описана в случае уравнения Веберав работе [14], где впервые был сформулирован и применен подход кисследованию квазиклассической асимптотики спектра, не требующий априорной информации о расположении линий Стокса.В Главе 3 рассматривается случай потенциала Q(z) = z 3 −z, имеющего две критические точки на отрезке [−1, 1].
В §3.1 устанавливаются необходимые в дальнейшем свойства функции α(λ) = Q−1(λ),риманова поверхность√которой состоит из трех листов с двумя точ−1ками ветвления ±2/3 3. Ветвь α0−(λ) функции√ Q (λ) однолистно отображает плоскость Cλ с разрезами ±2/3 3 + R± на область−3(Re z)2 < (Im z)2 + 1, а ветви√ α±1(λ) однолистно отображают плоскость Cλ с разрезом ∓2/3 3 + R∓ на компоненты связности множества 3(Re z)2 > (Im z)2 + 1, отвечающие случаям Re z ≷ 0.В качестве первого этапа схемы из главы 1 в §3.2 для λ ∈ Π+ строится система канонических путей γe1, γb1, γ1 = γ2, γb2 и γe2, образующих два замкнутых контура, ограничивающих области, содержащие−α−1(λ) и α0−(λ) соответственно. Дальнейшая реализация указаннойсхемы позволяет получить асимптотическое представление характеристического определителя ∆−(λ) соответствующей задачи (1)-(2), вкотором фигурируют фазовые интегралы−ξ (λ) := eiπ/4Z−1qQ(z, λ) dz ,−α−1(λ)η −(λ) := eiπ/4Zα0− (λ)qQ(z, λ) dz ,−α−1(λ)ζ −(λ) := eiπ/4Z −1qQ(z, λ) dz .1Предложение 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
