Стр.52-101 (1152178), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Можно, однако, исходить и из несколько иной концепции. Электронный поток естественно рассматривать как некоторую среду, в которой могут распространяться электромагнитные волны. Обратимся к электронному потоку, двигающемуся в пространстве дрейфа, где отсутствуют внешние постоянные электрические поля. Предположим для простоты, что движение электронов происходит только вдоль оси г; поперечное движение отсутствует. Это можно представить как результат действия бесконечно сильного постоянного продольного магнитного поля, применяемого для фокусировки электронного потока.
Наложим на этот поток электромагнитное возмущение, например, с помощью простейшего двухсеточного зазора, рассмотренного в 5 2.8. Будем полагать, что все переменные величины, характеризующие поле и электронный поток (напряженности поля Е и Н, скорость электронов и, плотность объемного заряда р и др.), изменяются во времени по гармоническому закону с запаздыванием вдоль оси г. Эту закономерность можно выразить в комплексной форме множителем егм' — г', где à — постоянная распространения рассматриваемой волны". При сделанных допущениях, считая невозмущенный поток односкоростным (моноэнергетическнм), можно записать скорость электронов в любом сечении возмущенного потока в виде ч = е, и; и = и, + и, е/""-ге.
(2.66) Через п, и п, здесь обозначены начальная скорость электронов и амплитуда переменной составляющей скорости; е, — единичный вектор (орт). Плотность объемного заряда также может быть представлена в виде суммы постоянной и переменной составляющих: р = рз+ рт ЕГмГ-Ге (2.67) Используем уравнения Максвелла (2.1) — (2.4). Вычисляя напряженность поля Н из (2.2) и подставляя ее в (2.1), а также используя ' Напомним, что в теории обычных волноводов [11 постоянную распространения принято обозначать маленькой буквой т.
Большая буква Г, используемая в данном изложении, будет относиться к случаю, когда в волноводе двигается влектронный поток. уравнение (2.3), получаем при и = О волновое уравнение относительно вектора Е в виде уз Е+йз Е= — йгабР+)аРзР», 1 3() (2.68) д~ Е дз Е = — = Г' Е.
дзз . В прямоугольной системе координат уравнение (2.68) с учетом (2.66) распадается на три уравнения: (йз+Г )Е„=О; (йз+Гз) Е„= 0; (йз+Г )Е, +)ер ро. 1 др е дг Уравнения (2.69) и (2.70) не зависят от присутствия электронного потока. Они описывают обычные волны типа ТЕМ, для которых Г = = ~ф, и в данном случае интереса не представляют. В правой части уравнения (2.71) имеется член ро, определяющий плотность конвекционного тока в пучке.
Положим амплитуды переменных составляющих скорости и плотности заряда о, и р, малыми в сравнении с постоянными составляющими и, и р,. Таким образом, дальнейшее рассмотрение ограничивается режимом малых амплитуд. Отбрасывая произведение малых величин р,о„можно на основании (2.66) и (2.67) приближенно написать: ро — р о +(р о +р о )е1»н г~ Постоянную составляющую плотности конвекционного тока р,оз можно в дальнейшем не рассматривать, так как в данном случае интерес представляют лишь переменные во времени процессы (для простоты можно представить, что постоянный объемцый заряд электронов компенсирован зарядом положительных ионов).
Запишем продольную составляющую высокочастотного электри. ческого поля в пучке в виде Е Е ~ег-г~ (2.73) (2.72) 7В где лз = азз0р,. Относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости е и р положены равными единице, так как электроны двигаются в вакууме. Уравнение (2.68) отличается от обычных волновых уравнений, используемых в теории передающих линий СВЧ 111, лишь правой частью, не равной нулю и обусловленной существованием электронного потока. Рассмотрение начнем со случая бесконечно широкого электронного потока, не имеющего вариаций в плоскости поперечного сечения. При этом задача становится одномерной: все величины, характеризующие распространение возмущений в потоке, не зависят от поперечных координат. Следовательно, Тогда с учетом выражений (2.67) и (2.72) волновое уравнение (2.71) для переменной составляющей конвекционного тока приобретает вид (Гг'+ Г ) Е = — — Рг + )в)ко(Ро ог+ Рг оо) г (2.74) ее Переменные составляющие плотности и скорости р, и ом входящие в уравнение (2.74), зависят от амплитуды поля Е, .
Поэтому полученное уравнение следует рассмотреть совместно с уравнением движении электронов (2.9) и уравнением непрерывности (2.13). Уравнение (2.9) в нерелятивистском случае (и г(; с) при одномерном движении приобретает вид — "= — -'Е. (2.75) Ж и Поскольку скорость электронов по (2.66) является функцией двух переменных з и 1, следует записать: — = — -+ — —; — = Ово, — Го, (ое + ог егвг-ге)) егвг-г ш дг дг Ф ' Ф (2.76) (2.78) т1 Снова пренебрегая произведением малых величин, получаем иэ (2.75) с учетом выражения (2.73): е Е, пг = —— и )в — Го„ Остается определить лишь амплитуду переменной плотности заряда р,.
Используем уравнение иепдперывности (2.13), полагая при бескод печно широком потоке — = — = О. Производя дифференцирование дк ду по з и ( и отбрасывая произведение малых величин, получаем о исполь- зованием уравнений (2.66) и (2.67): (2.77) )в — Го, Подставим выражения (2.76) и (2.77) в правую часть волнового урав- нения (2.74). Отбрасывая тривиальные решения Е, = 0 и де+ + Г' = 0 и производя несложные преобразования, имеем: его ове 1 йо — Гое)' Полученное уравнение, позволяющее вычислить постоянную рас- пространения Г, называют карактеристическим или дисперсионным уравнением волн в электронном потоке, Обозначим через М невозмущенную концентрацию электронов в по- токе, т. е. количество электронов в единице объема (одном кубическом метре) потока при отсутствии СВЧ сигнала.
Тогда ро = — Ме иурав- ненне (2.78» приводится к виду '1. (2.79) ов (в + !Гое)е Фе~ Величина —, входящая в (2.79), должна иметь размерность ыо, квадрата частоты Обозначая ее через «о ', имеем: «о„=е)/ —, ы«о (2.80) ~«оп =/ (2.81) Таким образом, постоянная распространения волн в электронном потоке имеет два значения, соответствующие различным знакам в уравнении (2.81).
Обозначим Г = )р, где () — фазовая постоянная рассматриваемых волн. В общем случае фазовая постоянная определяется через круговую частоту «о и фазовую скорость волны а», в виде й = «о7аа. Отсюда фазовая скорость волн, могущих распространяться вдоль электронного потока, равна ы аф= "о «о ~ «о„ (2.82) Групповая скорость волн определяется, как обычно, из соотношения а,р — — —. Находя с помощью (2.81) производную — „, нетрудна а«о лй убедиться, что групповая скорость обеих рассматриваемых волн одинакова и в точности равна невозмущенной скорости электронов а,.
Проведенный анализ показывает, что вдоль электронного потока могут распространяться две волны, направление которых совпадает с направлением движения электронов. Плазменная частота ы„, определяющая скорость этих волн, при обычно встречающихся плотностях тока и концентрациях й1 оказывается значительно меньше частоты сигнала «о. Поэтому фазовые скорости обеих волн, описываемые уравнением (2.82), близки к величине а,.
Как следует из уравнения (2.82), полученные волны имеют дисперсию и уже по этой причине не могут быть отнесены к классу волн ТЕМ. Структура поля этих волн сильно отличается от структуры «обычных» волн типов ТЕМ, ТЕ и ТМ, существующих в волноведущих системах в отсутствие электронных потоков. В самом деле, из (2.81) видно, что для рассматриваемых волн Г ~'= )й и, следовательно, й'+ Г' «О. Уравнения (2.69) и (2.70) дают: Е„= Е„= О. Если рассмотреть вол- Выражение (2.80) часто применяется в теории электронных и газо- разрядных приборов СВЧ.
Величину «о„принято называть частотой собственных колебаний электронной плазмы или, сокращенно, плазменной частотой. В гл. 8 будет показано, что величина «о„не только характеризует распространение волн в электронных потоках, но и определяет частоту автоколебаний СВЧ, спонтанно возникающих в плазме электрических разрядов в газах. Используя выражение (2.80), получаем из характеристического уравнения (2.79): новое уравнение относительно вектора Н, то окажется, что Н„= = Н„= Н, = О. Единственной составляющей поля, не равной нулю, является продольное электрическое поле Е,. Следовательно, рассматриваемые волны можно отнести к особому типу замедленных «электрических» волн.
В отсутствие электронного потока такие волны существовать не могут. Их физическую сущность легко понять, рассматривая изменение пяотности заряда вдоль луча. Поскольку р, эь О, вдоль луча периодически происходят сжатия и уп. лотнения электронного газа. Продольное электрическое поле Е, обусловлено именно этими уплотнениями. Такие волны могут быть названы компрессионными или волнами сжатия; часто используется название волны пространственного заряда или электронные волны. Можно отметить сходство со звуковыми волнами в обычном газе, также имеющими чисто продольный характер. Первая волна пространственного заряда, фазовая скорость которой по уравнению (2.82) несколько меньше средней скорости электронов о„называется медленной волной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
