Щука А.А. Электроника (2005) (1152091), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Часть // Микроэлектроника гзг Задачи и упражнения Решение Энергетические уровни в одиночном изолированном атоме являются строго дискретными. Под влиянием обменных процессов с соселними атомами энергетические уровни трансформируются. Сдвиг внутренних уровней очень незначителен, в то время, как внешние сдвигагогся в большей степени. На простейшем примере атома водорода показано, как при построении кристаллической решетки твердого водорода дискретаые энергетические уровни свободно изолированного атома водорода превращаются в энергетические зоны.
В твердом водороде нет электронов в зоне проводимости и поэтому зазор между зоной проводимости и валентной зоной велик (рис. 2.17). На рис. 2.18 показаны зависимости концентрации электронов от энергии при различных температурах. Число энергетических уровней в единице объелга определяется выражениелт 27/2 3/2 Е3/2 Е(Е) 2 и Е я (2.1.1) Умножив это выражение на распределение Ферми — Дирака, найдем действительное число электронов 712 312 3УЗЕ)г/Е 3 /1' Е" 22/Е .
(2.1 2) ,„,[13-М~']„ Рис. 2.1В. Распределение концентрации электронов по энергиям для разных темпеРатУР Рис. 2.17. Дискретные энергетические уровни атома водорода в зависимости от расстояния х [2.1.] Положение уровня Ферми дайте элементарное описание зонной структуры энергетических уровней электрона в металле и объясните смысл уровня Ферми. Постройте зависимость концентрации элек тронов в зоне проводимости металла от энергии при различных температурах, Вычисли те, на какой высоте гв эВ) от дна зоны проводимости находится уровень Ферми Ег 2 3 в натрии, который содержит 2,53х10 атомов/см .
Можете предположить, что плотность энергетических уровней в зоне проводимости определяется выражением о(Е) =. 2 т лЕ'2//3'. ч <риаика полупроводниковых структур П и 7'=- 0 К функция распределения Ферми — Дирака (в фигурных скобках) равна еди„ице, Поэтому число электронов, заполняющих все состояния вплоть до уровня Ферми, „предевяется интегралом ) йг(Е)ЫЕ ь Иизегрируя уравнение (2.11), находим Зл' откуда после преобразования получаем 1 = —."..~ — ".'1 для определенной концентрации электронов имеем Подставляя значения констант, получаем, что уровень Ферми Е„ или верхний энергетиче- ский уровень при температуре 0 К равен 3,14 эВ.
~2.2. Уровень Ферми а германии п-типа Дайте краткое качественное описание процесса протекания электрического тока в полупроводнике и-типа и объясните, как образуются носители заряда. Определите положение уровня Ферми в германии и-типа при температуре 300 К, если на 1х10 атомов германия приходится один атом примеси. Обоснуйте сделанные при этом допущения. Концентрация атомов в германии равна 4,4х10 атомов!м . Константа в выражении, сваи 3 зывающел1 число электронов в единице объема в зоне проводимости с температурой и энергетическими уровнями, равна 4,83х!О'~ м ' (К) ". Ширина запрещенной зоны Равна 0,72 эВ, а расстояние между дном зоны проводимости и донорным уровнем— 0,01 эВ решение ~яектропроводность чистого полупроводника, такого как германий нли кремний, может бмть увеличена незначительным добавлением соответствующего элемента Ч группь' периодической системы Менделеева.
Так, в кремний обычно добавляют фосфор, а германий — — мышьяк ипи олово. Поскольку концентрация этих добавок обычно порядка одн д'юго атома на 1О, их называют примесными атомами в чистом полупроводнике, иди веги гирующими элементами. При, р"чесные атомы имеют пять валентных электронов, тогда как в атомах чистого герман "ня их всего четыре. При комнатной температуре почти все дополнительные электрон Роны являются свободными, Такие примесные атомы называют донорами, и дегированн "ный ими материал имеет проводилюсть п-типа, поскольку в нем образуется дополни- телы "ьное количество подвижных отрицательных носителей зарядов.
Эне ергетическая диаграмма полупроводника и-типа показана на рис. 2.19. Часть !!. Микрозпвктроника гЗ4 Рис. яда. Зонная диаграмма германия п-типа Каждый донорный атом создает энергетический уровень, расположенный чуть ниже дна зоны проводимости. Согласно заданию этот уровень в германии располагается на расстоянии 0,01 эВ от дна зоны проводимости, а в кремнии — на расстоянии 0,05 эВ. По этому с такого уровня электроны легко переходят в зону проводимости. Примесные атомы ионизуются и существуют внутри кристаллов в виде неподвижных положительных зарядов Вероятность того, что электрон имеет энергию, соответствукицую зоне проводимости, намного больше в полупроводнике п-типа, чем в чистом полупроводнике. Следовательно, уровень Ферми находится между серединой запрещенной зоны и дном зоны проводимости (рис.
2.19). Поскольку концентрация атомов в германии равна 4,4х10 м' и на 10 атомов германия приходится один атом примеси, то число гз .3 з свободных электронов в нем будет 4,4 х 1О м Концентрация свободных электронов в германии определяется следующим образом: ла = СТ / 2 ехр[ — (Е; — Ез:) ! 7»Т! = ззз, ехр[ — (Е„. — Ез) ! »1 Т. (2.2.1) Здесь С=4,83х10 м К вЂ” константа, связывающая число электронов в единице и -з -зл объеь»а в зоне проводимости с температурой и энергией уровней, зз', — эффективная плотность состояний в зоне проводимости, определяемая выражением ,Ч, = 2(2лш ИТ! )з~)" = 2([(2ят*/с)'г Тл) / )г'), Согласно условиял» задачи и„= 4,4х10 м гг -з Поскольку разница между донорныл» уровнем и дном зоны проводимости равна 0,0! эВ, а ширина запрещенной зоны Е, = 0,72 эВ, можно предположить, что все атомы примеси ионизованы, и поэтому можно пренебречь тепловой генерацией носителей Тогда можно вычислить величинУ »Ч, пРи заданной темпеРатУРе Т=ЗООК.
Подставлл" в выражение для ззг, значение 7»'г = 300»'г = 5196, находим, что зз»,. = 4,83 10" 5196 = 25 х 10»4 м-з Перепишем выражение (2.2.1) в виде ехр[( Е,. — Ел) 7 АТ[ = 7»; 7 и„ или (Е, — Еь) 1 КТ = 1п(ззз, ! л„). Отсюда получаем Š— Ез = Ек — Еь = 7»Т-!п(зз( З »т») Дж. Таким образом, Ез:= 0 72 — 300 1,38 10 ".(1! 1,610 — 19)1л(25 10 144 10 г).= 0,165 эВ. Это означает„что уровень Ферми находится прил»ерно на О,! 7 эВ ниже дна зоны прояо' димости. 235 2 <рианка полупроводниковых структур решение для полупроводника и-типа справедливо следующее равенство: л„= р„- Лг». (2.3.1) -з Здесь л„— концентрация электронов в материале п-типа, и; р„— концентрация дырок в этом материале, м; Л» — концентрация доноров (атомов примеси), м Используем классическое соотношение г л,р„= л„ где л, — число пар "электрон — дырка", м .
Отсюда -з ронов (2.3.2) находим концентрацию элект- г, л„= л, ур„. Подставляя (2.3,3) в (2.3.!) получаем г и, 7р„=р„' ЛЗ», (2.3,3) (2,3.4) Так приходил» к уравнению р„' ь зхг» р„— л,. Решение этого уравнения имеет вид р„= 7»»( 2Ц1 4 4.(л,! Л',з) ) — 1) (2.3.5) (2.3.б) Аналогично шзя полупроводника р-типа имеем Ря = згя 4 ~~'и, (2.3.7) м ; и„ вЂ” концентрация электронов, м ; Лз„ вЂ” концен- г ле р„— концентрация дырок, грация акцепторной примеси, м '.
Снова используя соотношение (2.3,8) оп е "ределяем р„. Подставляя полученное выражение вместо р„в (2.20), после соответстяу'ошего преобразования получаем уравнение (2,3»9) Р шение которого имеет вид Реш л, = Л'„! 2([! 4 4(п, з Л',) ) 1) . (2.3до) Гаки коше ким образом, полученные решения (2.3.6) и (2.3.10) представляют собой точные соотШения для концентрации электронов и дырок в примесных полупроводниках. 2 3. Концентрация электронов и дырок в примесных полупроводниках Ы Выведите точное выражение для концентрации лырок р„в полупроводнике и-типа через „ицентрацию доноров Лг» и собственных носителей тока л,. Выведите также выражение „я концентрации электронов л в материале р-типа через концентрации акцепторов Лз„ и собственных носителей тока и,.
Предположите, что все примеси ионизованы. Пандите отношение 1»»! ль если л„= 1,005 Лз». Вычислите р„, если концентрация собстенных носителей л, лля германия при температуре 300 К равна 4х10 м . Найдите призз -3 ближеиные выражения для р„и ля, если Лз,з» и, в материале и-типа и Лз, » и, в материале р-типа. Часть !/. Микроэлектроника 236 Преобразуя выражение (2,3.1) и подставляя в него, согласно условиям задачи, и = 1,005 Л(„получаем рх =- и„— Л» =- 1,005 М» — //» = 0,005 Л». Подставляя значение р„/ Л» = 0,005 в соотношение (2.3,6), имеем 0 005 =' 1 / 2( — 1».
!! ч- 4(к / Л») ) или 1,01 = (1 е 4(к, / Лг0 ) Отсюда находим отношение Л» / к, = 14,! . //»=. 14,1.4 10" = 5,64х10 ~ м'. Следовательно, концентрация дырок равна р„= 0,005 Л» = 0,005 5,64 10" = 2,82х10" м'. Если Л»» и, и к соотношению (2,3.6) применить бином иальную формулу (1 "- х)"' = 1 + ткк ь т(т — 1)т / 2 то для первых членов получим р„=.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
