Щука А.А. Электроника (2005) (1152091), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Проинтегрировав уравнение (3.13), получим; = )'хог+ С . Постоянную интегрирования найдем из начальных условий. При ~ = О Х(О)=Их О+С, =О, т. е. С, = О и тогда х(г) = Их,г. другими словами, электрон движется равномерно и прямолинейно с начальной ско- ростью. В отсутствие сил нет и ускорения. Аналогично решая уравнение (3.14), имеем: (3.16), Решим уравнение (3.15): Проинтегрировав, имеем: Жх — = -о)Ег+ С,, о(! приг=О я А. =Уяо=-г)Е О+С,, о(Г но или С, = гхо и тогда огз з)Е'г+ со" Й (3.17) Физический смысл решения заключается в том, что с течением времени скорость убыва- ет, если Е> О, и возрастает, если Е < О.
Проинтегрируем уравнение (3.17) еше раз; := — ~ +~;~ -С,, 2 (3.18) где С, имеет смысл началыюй координаты. Полученное выражение — решение в параметрической форме, где время г — параметр. х Исключим О воспользовавшись выражением г = —: 1'х х(х) = — зх + — х. г1Е о Уо 2~оо (3.19) Таким образом, в плоскости (х, я) траектория электрона представляет собой параболу (рис.
3.10). 1зя 2 г(1 Часть 1, Вакуумная и плазменная электроника 3 Вакуумная электроника Рис. З.зе. Траектории движения электрона е однородном зпектрнческом попе при различных начальных условиях: знаках Е н начальных компонент скорости 3.4.2. Однородное магнитное поле Под одпорпдньи! мапзитным полем будем понимать постоянное по величине и направле- нию значение В во всех точках континуальной среды. Сила воздействия магнитного поля на электрон определяется силой Лоренца С помощью квадратных скобок обозначено векторное произведение векторов р и В. Эта сила зависит от индукции в данной точке и от скорости электрона.
Она вызывает ускоре- ние а, которое определяется соое!ошением: гт = — %,,1, В1 = -р~Р, В1. т (3.20) Значение а легко расписать по координатам в скалярной форме: г!'~х —, = -т) . (Рувз — тзву), Й' (3.2)) о' у — „= -з) ($'УВх — Рхвз), г)! (3.22) паз , =-и (Г=Ву-иуВс) !у! (3.23) Часть!. Вакуумная и плазменная электроника нли, учитывая смысл уравнений, показанных на рис.
3Д ), имеем; с( х с(у — 15-Д —, Й Й (3.24) стоу с(х — „.= 1)в —, Вс Й (3.25) г7 з — =О. ~сг (3.26) Рис. 3.11. Движение электрона а однородном магнитном поле Решая уравнение (3.26) путем интегрирования, получим: т. е. координата возрастает линейно по времени. Интегрируя уравнение (3.25), имеем: — = 11Вх+ С с(у Й при т=О, с(у — = ууэ = С Й Тогда т)В»+ Ууэ ' с(у Й (3.27) Подставляя (3.27) в (3.24), получим: с( х г — =-НВ(НВ хебру ) (г)В) х+НВгсу Зти уравнения определяют траекторию движения электрона в однородном магнитном поле. 3 Вакуумная электроника или г( х —,+(пл)' =-(нв) Ру,.
(2 (3.28) Э,о неоднородное классическое уравнение колебаний с собственной частотой ез = г)В . реШение этого уравнения стандартно и имеет вид х(г) = лсоз(юг+ ~р,) — —. руо ы (3.29) таким образом, электрон совершает колебательное движение по оси Х с начальной фаей ~р„и амплитудой И.
6(х = -сзпзю(ьи -ь (рв), Й (3.3О) При г=О имеемсистему: х(О) = О = Ясоз<р, —— )'Уо сз ~й~ — = )'х, = -озй5!и ц~, ,О!г=О Отсюда получаем следуюшее: иУ, Лсоз~р, = — ", ы (3.31) (хо йзшзрь = оз Возведя в квадрат обе части этих уравнений и складывая их, получим: (3.32) оз ~Уо нлн й = — з~ь,'+ ру,' . (3.33) Физи и'нческий смысл радикала заключается в том„что это абсолютная величина начального векто ягора ~рх, + ру,), направленного перпендикулярно силовым линиям магнитного поля.
Обозна ~лачим эту величину через р В этом случае амплитуда колебаний запишется в виде и г=-~. зЗО ()пределим значения )( и ф, исходя нз начальных условий. С этой целью проднфференцнруем уравнение (3.29) и найдем скорость электрона в направлении оси Х: Часть 2 Вакуумная и плазменная электроника разделив (3.32) на Г3.31), имеем: ) Уо 'ьто )Хо р>'о вь = агсга— о Подставим (3.29) в (327): во (вг+В ) руо+ру ау Й нли — = гоп соз(вг + ~р,), Ву откуда после интегрирования имеем: у= Лып(вг+в,) еС,, при г=0 у = 0 = )гз|п ~р, е С', .
Тогда С, =-Ия)п<р,=— рх„ с] г3.34) у(г)= капто(вг+р,)е х'. (х+ —" =Я соз (гегель), в ! а из (3,32) имеем: )2 у- — '~ =Нзз)п (вгч-д,). р'х„з Сложим левые и правые части уравнений, соответственно, и получим: (х + — '~ -ь ( у - — ~ = Л (3.35) Другими словами, в направлении оси у электрон в однородном магнитном поле также совершает гармонические колебания, но по сравнению с колебаниями по оси х они сдвинуты по фазе на 90". Найдем уравнение траектории движения электрона в однородном магнитном поле.
Для этого из уравнений исключим время. Из (3.29) имеем: 75 о Вакуумная электроника формула (3.35) является окружностью и интерпретирует собой проекцию траектории „ектрона на плоскость (х, у), перпендикулярную магнитному полю. центр окружности смещен в точку с координатами (рис. 3.12): )гу, иу, го т)В ~ "то ПВ б) Рис. Зд2. Проекции траектории движения зпектроное в однородном магнитном поле: а — на плоскость, перпендикулярную вектору магнитного паля; б — на плоскость вдоль силовых линий магнитного поля и плоскости (х, с) проекция траектории электрона представляет собой синусоиду с ампли)'г тУЛой В = —" (рис.
3.12, 6). т)В Если рассматривать пространственный образ траектории электрона в магнитном одноР~дном поле, то она представляет собой спираль или винтовую линию с шагом или пе и Р одом колебаний 7'. Величина Х, = Т )х, = )з,— называется ятгютотроггногг длиной 2л от волны ~ 4 3. Движение электрона в скрещенных полях Под с д ~крещенными полями будем понимать наложенные друг на друга злелтрические и маг агнитные поля, перпендикулярные друг другу во всех точках континуального пространства. К пе то ы ервому типу скрещенных полей отнесем случай, когда оба поля однородны и нх векРы взаимно перпендикулярны.
Часть /. Вакуумная и плазменная электроника Рис, злз, Движение электрона в скрещенных электрическом и магнитном полях Начальные условия запишем в виде: х(о) = О ух(о) =)гх„ у(о)=о Ру(о)=)30, я(0) = 0 /тх(О) = )',. В скрещенных полях на электрон действуют силы Е, определяемые соотношением: /ч=ло=-оГ-ЧГУВ~, (3.36) и тогда электрон движется с ускорением а =-цŠ— с)()///1. г3.37) ' В декартовой системе координат ускорение можно записать: с/хт Ву- с/ а = —,с е —,/+ —,/с, с// с/С с/с (3.38) гле /,/',/с — единичные векторы, Аналогично: сх . с// — с/з)г = Гх/ + ру/ е йя/с =- — / е — / + — /с, с/с с/г с// г3.30) Е = Ехг + Еу/х е Еся . В = //хг + //у/' -с //с/с /3.40) /3.4 с) Второй тип скрещенных полей состоит из однородного магнитного поля и электрическо- го поля, обладающего осевой симметрией.
Такое электрическое поле образуется в зазоре между коаксиальными цилиндрами, На рис. 3.13 показана траектория движения электрона в скрещенных электрическом и магнитном полях. 3 Вакуумная электроника уравнение (3.37) можно переписать в виде; гт х —,=-ПЕ -ПЯВс-и=ву), ауг о(гу = -т)Еу — П(ряВх- (хВх), (тг  —, = -ПЕх — П((тхВу — ууВх), ау (3.42) где -ПЕя = О. 7огда эта система уравнений (3.42) примет вид; о( х Ву ПŠ— ог —, ог) г(т (3.43) где м = П — циклотронная частота. (г км ау г(т (3.44) г('х —,=О.
Йг (3.45) Решение уравнения (3.45) запишем в виде: 7 = Р'хот а это означает, что вдоль оси а электрон движется прямолинейно н равномерно. Уравнение (3,44) проинтегрируем (подобно тому, как уже интегрировали до этого): — =,+иу . оу о (3.46) Подставим (3,46) в (3,43) и получим: с('х г ПЕ ог) Уо огг (3.47) Перепишем уравнение (3.47) в виде: Вх ""=А о(гг Х = асов(ого ей,)+ — „, А оо "ле й г ч — амплитУла колебаний, а величина Чго — ог ЯвлЯетсЯ начальной фазой. (3,48) "де (о =-ПŠ— ог(ту,. это вь мражение — известное уравйение колебаний с правой частью, решение которого явля 1яется фун«ння: Часть I.
Вакуумная и плазменная электроника для рассматриваемого случая решение запишем в виде: Х = Есоз(ам+ уа)- —,— —. г1Е Руо ы га (3.49) Скорость по оси х периодически изменяется Ых — = -га)1з!п(ан ч- ~р,) . й (3.50) Решая совместно уравнения (3.49) и (3.50) при г = О, имеем: Π— Л соя ~ра — — —— с Ь~~ га аз рха га~~зш'ро или Есоз%а г + г)Е )'ур го га (3.51) ~хо Яз!пара =- —" ш Возведя в квадрат и сложив оба уравнения, получим: или (, нЕ) ЧВ ы Разделив уравнения (3.51) одно на другое, имеем: Рх„Рх гяср, =- (3.5 Таким образом, мы получили амплитуду и начальную фазу колебательного уравнения.
Теперь решим совместно уравнения (3.44) и (3.4б): 12 1х = аз — иу оу 0 Анализ зтого решения показывает, что смещение по оси х имеет постоянную составляю- щую, которая зависит как от электрического, так и от магнитного полей, а переменная составляющая — зто колебания, частота которых зависит от магнитного поля. 3 Вакуумная электроника Проинтегрируем уравнение (3.46) и, воспользовавшись соотношением (3.49), получим; — = ст й сов (ш 1 + чтт ) — — . т(у т)Е т11 с) Проинтегрировав это уравнение„получим выражение для траектории электрона по оси у: т)Е У = мвтп(аи+ тр,)- — 1+ С. )(онстанта С находится из начальных условий; лри 1=О О = )т вш ~р„+ С или рхО С=-ттвтптр, = —.
ет Тогда у(1) = й в|о(ыт+ тр„)- — 1+ — ', т)Е Рх Выпишем окончательные выражения для траектории электронов по координатам в систе- му параметрических уравнений: х(1) - Ясов (стт+ тр, ) — — — —, ОЕ рУ, (3.53) т)Е тхх, у(1)= кв!п(шт ятр,)- — 1 а — ', (3.54) г(1)= р'з,т. (3.55) Для определения траектории по координатам х н у исключим параметр 1.
Итак, при 1=0 т пЕ )у т)Е Р~~ (3.56) Это выражение — уравнение окружности с радиусом Е и координатами центра, которые оп "нсываются следующим образом: т)Е (Уя х, = — — ь— 2 (3.57) т)Е Рх .т'т = — — 1+— ет ет Апач собт й алия показывает, что траектория движения электронов в плоскости (х, у) представляет ой окружность с центром, которая равномерно смещается по оси у и одновременно пе Рпендикулярна полям Е и В. Часть 1.
Вакуумная и плазменная электроника 80 скорость смещения определяется таким обратом: ПЕ Е ПВ (3.58) Рис. Зля. Проекция траектории электрона, движущегося в скрещенных Е к В полях При смене знака напряженности траектория движения также меняет знак. Параметры циклоиды можно изменять путем варьирования значений Ех„и 1'у„. Циклоида может превратиться в прямую линию, если в направлении.т начальная скорость отсутствует, а начальная скорость в отрицательном направлении по оси у равна скорости сноса. Другими словами, если сила Лоренца и электростатическая силы равны Е =-г)Е( = е = Ет -г) Я, то смещение в направлении х будет отсутствовать.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
