Разделы №7 и №8. Оптимальная траекторная фильтрация. МДП в задачах с обработкой наблюдений периодических функций (1151978)
Текст из файла
7. Оптимальная траекторная фильтрацияВданномразделебудутрассмотреныуравнениянелинейнойфильтрации марковских процессов, несколько отличные от рассмотренныхранее (см. раздел 4.3) уравнений фильтрации Стратоновича – т.н. уравненияоптимальной траекторной фильтрации (ОТФ).Оригинальный материал, посвященный постановке задаче и синтезууравнений ОТФ, содержится в следующей статье – Харисов В. Н.,Перьков А. Е., Аникин А. Л.
Оптимальная оценка траекторий марковскихпоцессов. Радиотехника, 2002, №7.Прежде чем кратко изложить основные соотношения для ОТФнеобходимосделатьнесколькозамечанийотносительноуравненийнелинейной фильтрации. Уравнения оптимальной нелинейной фильтрации(ОНФ) рассмотренные ранее (см. раздел 4.3) описывают эволюцию именноАПВ p ( λ k ξ 0k ) фильтруемого сообщения λ . При этом собственно оценку λ̂самого фильтруемого сообщения λ на текущем шаге обработки можнополучить по любому критерию из АПВ p ( λ k ξ 0k ) .
Таким образом, уравненияОНФ относительно точечной оценки (оценки на текущем шаге для задачитекущей фильтрации) сообщения λ не привязаны к какому-либо критерию.Несколько иначе обстоит дело, если рассматривать АПВ всейтраектории фильтруемого процесса. Поясним это. Будем рассматриватьАПВ всей траектории фильтруемого процесса на текущем интерваленаблюдения в дискретном времени:()p Λ 0k ξ 0k = p ( λ 0 , K, λ k ξ 0k ) – АПВ всей траектории процесса,где Λ 0k = {λ 0 , λ1 , K, λ k } – совокупность точек траектории процесса,ξ 0k = {ξ 0 , ξ1 , K, ξ k } – совокупность векторов наблюдений.То есть в данном случае будем рассматривать не АПВ фильтруемогопроцесса в одной точке p ( λ k ξ 0k ) , а АПВ всей траектории процесса()p Λ 0k ξ 0k .Также как и ранее будем рассматривать наблюдение вида (6.1), т.е.полезный сигнал на фоне аддитивного некоррелированного шума.
Поаналогии с [1, раздел 7.2, стр. 332] рассмотрим ПВ p ( Λ k0 , ξ k ξ 0k −1 ) , для которойможно записать:() (= p(Λ) () p (ξ)p Λ 0k , ξ k ξ 0k −1 = p ξ k ξ 0k −1 p Λ 0k ξ 0k =k0ξk −10kk0Λ ,ξk −10) = p (Λk0ξk −10) p (ξkΛk0)(7.1)В (7.1) ПВ p ( ξ k ξ 0k −1 ) не зависит от Λ 0k , следовательно, для АПВ p ( Λ 0k ξ 0k )из (7.1) можно записать:()() (p Λ 0k ξ 0k = c%0 ⋅ p Λ 0k ξ 0k −1 p ξ k Λ 0k)(7.2)В уравнении (7.2) с учетом марковского свойства фильтруемогопроцесса λ k ПВ p ( Λ 0k ξ 0k −1 ) можно представить следующим образом:() (= p(Λ) ()p Λ 0k ξ 0k −1 = p Λ 0k −1 , λ k ξ 0k −1 = p Λ 0k −1 ξ 0k −1 p ( λ k Λ 0k −1 , ξ 0k −1 ) =k −10ξk −10) p (λkΛk −10) = p(Λk −10ξk −10) p (λkλ k −1 )(7.3)Для ПВ p ( ξ k Λ k0 ) в (7.2) можно очевидно записать:() (p ξ k Λ 0k = p ξ k λ k)(7.4)С учетом (7.3) и (7.4) уравнение (7.2) можно записать как:()()(p Λ 0k ξ 0k = c% ⋅ p Λ 0k −1 ξ 0k −1 p ( λ k λ k −1 ) p ξ k λ k)(7.5)Рекуррентное уравнение (7.5) описывает эволюцию АПВ траекторииΛ 0k процесса λ k .
Уравнение (7.5) может быть записано в виде аналогичномуравнениям нелинейной дискретной фильтрации:()() (p Λ 0k ξ 0k = c% ⋅ p Λ 0k ξ 0k −1 p ξ k λ k() ()(7.6))p Λ 0k ξ 0k −1 = p Λ 0k −1 ξ 0k −1 p ( λ k λ k −1 ) ,(7.7)где p ( Λ 0k ξ 0k −1 ) – экстраполированная ПВ траектории Λ 0k .Уравнения (7.5) и эквивалентные ему уравнения (7.6)-(7.7) практическив таком же виде записаны в статье, упомянутой в начале раздела (журнал«Радиотехника», 2002 г.
№7). На практике уравнение (7.5) не применяют попричине очень большой громоздкости представления ПВ(p Λ 0k ξ 0k −1)–функции, размерность которой растет с каждым шагом во времени, т.к. числоточек всей траектории растет с каждым шагом.Уравнения (7.6)-(7.7) (или уравнение (7.5)) позволяют в принципеполучить известные уравнения оптимальной фильтрации Стратоновича [1].Уравнения оптимальной фильтрации Стратоновича можно получить,если проинтегрировать АПВ p ( Λ 0k ξ k0 ) (и соответственно уравнения (7.6)(7.7)) по всем точкам траектории Λ 0k −1 кроме текущей точки λ k .+∞∫ p ( Λ0 ξ0 ) dΛ0−∞kk −1k+∞(= p ( λ k ξ 0k ) =)()= c% ⋅ ∫ p Λ 0k −1 ξ 0k −1 p ( λ k λ k −1 ) p ξ k λ k dΛ 0k −1 =−∞+∞() ∫ p(Λk −10ξ 0k −1 p ( λ k λ k −1 ) dΛ 0k −1 =() ∫ p(Λk −20, λ k −1 ξ 0k −1 p ( λ k λ k −1 ) dΛ 0k −2 dλ k −1 == c% ⋅ p ξ k λ k= c% ⋅ p ξ k λ k−∞+∞−∞()= c% ⋅ p ξ k λ k)+∞) ∫ p (λ−∞k −1ξ 0k −1 ) p ( λ k λ k −1 ) dλ k −1(7.8)Таким образом, получаем следующее рекуррентное уравнение для АПВточечной оценки p ( λ k ξ 0k ) :(p ( λ k ξ 0k ) = c% ⋅ p ξ k λ k+∞) ∫ p (λ−∞k −1ξ 0k −1 ) p ( λ k λ k −1 ) dλ k −1(7.9)Нетрудно видеть, что уравнение (7.9) полностью совпадает суравнением оптимальной фильтрации марковских процессов Стратоновича вдискретном времени [1, 2].Теперь перейдем к рассмотрению собственно уравнений ОТФ.
Исходноуравнения ОТФ были получены как уравнения фильтрации по критериюмаксимума АПВ всей траектории Λ 0k фильтруемого процесса λ k . Здесь мыих получим из уравнения (7.5), описывающего эволюцию АПВ траекторииΛ 0k процесса λ k .Уравнения ОТФ можно получить взятием функции max {•} по всемΛ 0k−1точкам траектории Λ 0k −1 кроме текущей точки λ k :{()} = Φ ( λ ) == c% ⋅ max { p ( Λ ξ ) p ( λ λ ) p ( ξ λ )} == c% ⋅ p ( ξ λ ) ⋅ max { p ( Λ ξ ) p ( λ λ )} == c% ⋅ p ( ξ λ ) ⋅ max max { p ( Λ ξ )} p ( λ λ ) == c% ⋅ p ( ξ λ ) ⋅ max {Φ ( λ ) p ( λ λ )}maxp Λ 0k ξ 0kk −1Λ0kk −10Λ0k −1kkΛ0k −1kkλ k −1k −10k −1kk −10образом,kkk −10kk −10Λ0k −2kТакимkλ k −1kk −10k −1получаем(7.10)k −1kk −1k −1k −1kследующеерекуррентноеуравнениетраекторной фильтрации по критерию максимума АПВ траектории:{(maxp Λ 0k ξ 0kk −1Λ0)} = Φ ( λ ) = c% ⋅ p (ξ λ ) ⋅ max {Φkkkkλ k −1k −1( λ k −1 ) p ( λ k}λ k −1 )(7.11)Уравнение (9) полностью совпадает с уравнением ОТФ в дискретномвремени, приведенным в статье, упомянутой в начале раздела (журнал«Радиотехника», 2002 г.
№7).По своей структуре уравнение ОТФ (7.11) схоже с уравнением ОНФ(7.9). Принципиальное отличие состоит в том, что на шаге экстраполяциивместо операции интегрирования ∫ •dλ k −1 стоит операция взятия максимумаmax {•} .λ k−1Еще раз приведем уравнения ОНФ и ОТФ соответственно длясравнения:+∞() ∫ p (λ()p ( λ k ξ 0k ) = c% ⋅ p ξ k λ k−∞k −1ξ 0k −1 ) p ( λ k λ k −1 ) dλ k −1 .{(7.12)}p ( λ k ξ 0k ) = c% ⋅ p ξ k λ k ⋅ max p ( λ k −1 ξ 0k −1 ) p ( λ k λ k −1 ) .λ k −1(7.13)Кроме того, если вместо ПВ p ( λ k ξ 0k ) в уравнении ОТФ рассматриватьеё логарифм ln p ( λ k ξ 0k ) = ϑ ( λ k ξ 0k ) , то получим следующее у представлениедля уравнения ОТФ (с учетом монотонности функции логарифма операциилогарифма и взятия максимума поменяны местами; константы опущены):(){}ϑ ( λ k ξ 0k ) = ln p ξ k λ k + max ϑ ( λ k −1 ξ 0k −1 ) + ln p ( λ k λ k −1 ) .λ k −1(7.14)8.
Метод дополнительной переменной в задачах с обработкойнаблюдений периодических функцийВ настоящем разделе будет кратко изложен т.н. метод дополнительнойпеременной (МДП), который является достаточно эффективным при синтезеалгоритмов с обработкой наблюдений периодических функций и широкоприменяется при разработке таких алгоритмов в НАП как схемаобъединенной синхронизации, схемы слежения за сигналами с BOCмодуляцией (и им подобных) и др.Подробный материал по МДП изложен, например, в [1, раздел 9.5, стр.451] и [1, глава 15, раздел 15.3, стр.
580].Основная проблема синтеза алгоритмов с обработкой наблюденийпериодических функций (например, фазы несущей) состоит в том, чтострогое решение подобной задачи на основе уравнений нелинейнойфильтрации приводит к многомодальности АПВ, что в свою очередьприводит к невозможности применения большинства приближенных методовв частности на основе гауссовской аппроксимации.
Суть МДП состоит всведении задачи аппроксимации многомодальной АПВ к задаче обычнойаппроксимации в некотором расширенном пространстве состояний путемискусственного разделения случайных параметров для однозначной ипериодической функций (например, в случае совместной обработкиизмерений задержки по огибающей и фазе несущей).Кратко суть МДП можно описать следующим образом. Пусть модельсигнала описывается следующей моделью:S ( t , τ ) = A ⋅ G ( t − τ ) cos (ω0 ⋅ ( t − τ ) ) .(8.1)В выражении (8.1) оцениваемый параметр τ (задержка) входит и вогибающую и в высокочастотное заполнение.
То есть при такой моделизадержка огибающей и задержка ВЧ составляющей полностью совпадают.При использовании МДП для задержки ВЧ составляющей (или другойкомпоненты сигнала, содержащей периодическую функцию) вводят новую(дополнительную) переменную τ d , т.е. вместо одной переменной τрассматривают две переменные {τ , τ d } и рассматривают следующую модельсигнала:S ( t , τ , τ d ) = A ⋅ G ( t − τ ) cos (ω0 ⋅ ( t − τ d ) ) .(8.2)В дальнейшем при решении задачи фильтрации рассматривают ужеАПВ p (τ , τ d ) расширенного вектора λ = [τ , τ d ]T(вместо АПВ p (τ ) висходной постановке).Тождественность двух переменных в исходной задаче учитывается ваприорном распределенииp pr (τ , τ d ) = p pr (τ ) ⋅ δ (τ − τ d ) .(8.3)Так как априорная ПВ (8.3) содержит δ -функцию, то и АПВ такжесодержит эту функциюp (τ , τ d ) = Cɶ ⋅ p Д (τ , τ d ) ⋅ δ (τ − τ d ) .(8.4)Типичный вид ПВ p Д (τ , τ d ) приведен на рисунке 8.1.
Наличие в (8.4)δ -функции отражено на рисунке 8.1 секущей плоскостью τ = τ d .Рисунок 8.1Суть МДП состоит в том, чтобы аппроксимировать не как обычно АПВp (τ ) по переменной τ , а ПВ p Д (τ , τ d ) в расширенном пространстве {τ , τ d } .Преимущество такого подхода в том, что поверхность ПВ p Д (τ , τ d ) болеерегулярная, чем p (τ ) . Её – p Д (τ , τ d ) – зависимость по τ определяетсяогибающей сигнала и, как правило, унимодальна. По переменной τ d ПВp Д (τ , τ d ) имеет многопиковый характер, но эта многопиковость строгопериодична:p Д (τ , τ d ) = p Д (τ , τ d + T0 ) ,гдеT0–периодповторенияпериодической функции в модели сигнала (в данном примере – ВЧзаполнения), и её (периодичность) легко учесть.Как правило, при разработке алгоритмов с использованием МДПвременно игнорируют жесткую априорную связь параметров τи τd(обоснование смотри в [1, раздел 9.5, стр.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
