Раздел №5. Оптимальная линейная фильтрация (1151966)
Текст из файла
5. Оптимальная линейная фильтрацияВ настоящем разделе курса будут рассмотрены теоретические основы иосновные уравнения оптимальной линейной фильтрации, как в непрерывном,так и в дискретном времени. Основным инструментом, используемым вдальнейшем в рамках задач линейной фильтрации, будут являться уравнениялинейного фильтра Калмана-Бьюси (или просто фильтра Калмана). Вдополнение к этому кратко будет рассмотрен оптимальный линейный фильтрВинера-Колмогорова и его соотношение с алгоритмом фильтра Калмана.В основном при решении задач фильтрации (синтезе соответствующихалгоритмов) будут использоваться уравнения фильтрации в дискретномвремени (это будет основной практический инструмент). Уравненияфильтрации в непрерывном времени могут быть очень удобны и полезны длятеоретического анализа и исследования характеристик разработанныхалгоритмов.5.1.
Оптимальный линейный фильтр Калмана-БьюсиОптимальный линейный фильтр Калмана в дискретном времениВ задаче линейной фильтрации в дискретном времени уравнениянаблюдения и фильтруемого сообщения задаются в виде:ξ k = H k ⋅ λ k + n 0,k ,(5.1)λ k = Fk ⋅ λ k −1 + n λ ,k ,(5.2)где ξ kи λk– вектора наблюдения (столбец[ m × 1] )и сообщения(оцениваемого процесса) (столбец [ n × 1] );H k и Fk – матрицы размером [ m × n ] и [ n × n ] соответственно;n 0,k и n λ ,k – ДБГШ с нулевыми математическими ожиданиями икорреляционными матрицами Dn ,0 (матрица [ m × m ] ) и Dn ,λ (матрица[ n × n] ) соответственно.МатрицуFkчастоназываютматрицейэкстраполяцииилифундаментальной матрицей перехода в дискретном времени для процесса λ k .Она полностью определяет детерминированную составляющую в априорноймодели динамики (уравнении) оцениваемого сообщения λ kв задачелинейной фильтрации.Матрицы H k и Fk в уравнениях (5.1) и (5.2) записаны с временныминдексом, т.е.
значения элементов этих матриц в общем случае меняются современем по известному (детерминированному) закону. Однако во многихзадачах линейной фильтрации эти матрицы постоянны и не зависят отвремени. Поэтому там, где это не оговорено специально, указанные матрицыбудут записываться без временного индекса ( H и F ).Для получения уравнений оптимальной линейной фильтрации всоответствии с методикой оптимальной нелинейной фильтрации марковских(процессов в дискретном времени необходимо задать условные ПВ p ξ k λ k)(функция правдоподобия наблюдения), p ( λ k λ k −1 ) (условная ПВ перехода дляфильтруемого сообщения) и априорную ПВ p pr ( λ 0 ) .В соответствии с условиями задачи и уравнениями (5.1), (5.2) все триуказанные ПВ будут гауссовскими и иметь вид:T 1p pr ( λ 0 ) = c1 ⋅ exp − ( λ − λ 0 ) D−λ1, pr ( λ − λ 0 ) , 2()T 1p ξ k λ k = c2 ⋅ exp − ( ξ k − Hλ k ) Dn−1,0 ( ξ k − Hλ k ) , 2(5.3)(5.4)T 1p ( λ k λ k −1 ) = c3 ⋅ exp − ( λ k − Fλ k −1 ) Dn−1,λ ( λ k − Fλ k −1 ) . 2(5.5)Подставив ПВ (5.3)-(5.5) в исходные уравнения фильтрации (см.
вышевыражения (4.15) и (4.16)) и проделав соответствующие математическиепреобразования над получившимися соотношениями получатся уравненияоптимальной линейной фильтрации для АПВ p ( λ k ξ k ) (которая также будетгауссовской) процесса λ k , заданного априорными уравнениями (5.2) понаблюдению вида (5.1) в дискретном времени.
Далее можно найти оценку λˆ kпроцесса λ k по любому интересующему критерию. Например, если задатьсякритерием минимума СКО оценки, то получим рекуррентные уравненияоптимальной линейной фильтрации для математического ожидания λˆ k идисперсии Dλ (для векторного процесса λ k это матрица ковариаций)процессаλk(уравненияфильтраКалманавдискретномвремени)следующего вида:уравнения для оценки λˆ k –()λˆ k = F ⋅ λˆ k −1 + Dλ ,k HT Dn−1,0 ⋅ ξ k − H ⋅ F ⋅ λˆ k −1 ,(5.6)уравнения для ковариационной матрицы оценки Dλ ,k –ɶ −1 + HT D−1 HD−λ1,k = Dλ ,kn ,0.ɶ −1 = FD FT + DDλ ,kλ , k −1n ,λ(5.7)Уравнения (5.7) также называют дисперсионными уравнениями.Подробный вывод уравнений (5.6)-(5.7) для скалярного случая вдискретном времени можно найти, например, в [1, раздел 8.1, стр 366].Сразу отметим, что уравнения (5.6) и (5.7) описывают эволюцию вовремени гауссовской АПВ p ( λ k ξ k ) оцениваемого процесса λ k , а именноэволюцию математического ожидания и дисперсии процесса λ k .Если в исходных уравнениях линейной фильтрации для АПВ задатьсядругим критерием (например, критерием максимума АПВ или минимумасреднего модуля ошибки), то в силу симметричности и одномодовостигауссовской АПВ p ( λ k ξ k ) снова придем к уравнениям вида (5.6) и (5.7).В соответствии с уравнениями (5.6) и (5.7) методика синтезаоптимального линейного фильтра Калмана в дискретном времени включаетследующие этапы:1.
определение априорных сведений о процессе λ – вектораначальных значений λ 0 и начальной матрицы ковариаций Dλ ,0 ;2. определение параметров модели (5.1) наблюдения ξ – матриц Hи Dn ,0 ;3. определение параметров модели априорной динамики (5.2)процесса λ – матриц F и Dn ,λ ;4. запись и преобразование (при необходимости) уравненийфильтрации (5.6) и (5.7).Оптимальный линейный фильтр Калмана в непрерывном времениВ задаче линейной фильтрации в непрерывном времени уравнениянаблюдения и фильтруемого сообщения задаются в виде:ξ ( t ) = H ( t ) λ ( t ) + n0 ( t ) ,(5.8)dλ ( t )= A ( t ) λ ( t ) + nλ ( t ) ,dt(5.9)где n 0 ( t ) и n λ ( t ) – векторные БГШ с корреляционными матрицами N n ,0 иN n ,λ соответственно.Также необходимо задать априорную ПВp pr ( λ ) фильтруемогопроцесса, которая в данном случае будет гауссовской с начальнымматематическим ожиданием λ 0 и начальной дисперсией Dλ ,0 .Для получения уравнений оптимальной линейной фильтрации внепрерывномвременинеобходимовоспользоватьсяуравнениемСтратоновича (см.
уравнение (4.13)). Для этого также необходимоопределить оператор ФПК L {•} для процесса λ ( t ) , используя уравнениесообщения (5.9). После подстановки соответствующих выражений вуравнения оптимальной нелинейной фильтрации Стратоновича можнополучить уравнение эволюции АПВ p ( t , λ ξ t0 ) , которая в данном случаебудет гауссовской.Также как и в случае задачи линейной фильтрации в дискретномвремени итоговые уравнения фильтрации (например, по критерию минимумаСКО) для оценки λˆ ( t ) будут состоять из двух матричных уравнений дляматематического ожидания и ковариационной матрицы оценки λˆ ( t ) :dλˆ= A ( t ) λˆ + Dλ ( t ) HT ( t ) N n−1,0 ⋅ ξ ( t ) − H ( t ) λˆ ,dt(5.10)dDλ= N n ,λ + A ( t ) Dλ + Dλ AT ( t ) − Dλ HT ( t ) N n−1,0 H ( t ) Dλ .dt(5.11)Дисперсионное уравнение (5.11) относится к т.н.
матричномудифференциальному уравнению Риккати. Так же как и в случае линейнойфильтрации в дискретном времени во многих практических задачахспутниковой навигации детерминированные функции (матрицы) A ( t ) = A иH ( t ) = H не зависят от времени.Подробный вывод уравнений (5.10)-(5.11) для скалярного случая внепрерывном времени можно найти, например, в [2, раздел 10.1, стр 236].Еще раз подчеркнем, что записанные уравнения оптимальной линейнойфильтрации получены из уравнений оптимальной нелинейной фильтрациипри соответствующей постановке задачи. В силу линейности задачи,получающаяся АПВ фильтруемого процесса λ будет гауссовской.
А так какгауссовская ПВ описывается двумя параметрами (или одним вектором иматрицей) – математическим ожиданием и дисперсией – то уравнениялинейной фильтрации представляют собой совокупность двух уравнений (вобщем виде матричных) для математического ожидания и дисперсии.Обратим внимание на то, что в общем случае оптимальные уравненияявляютсянестационарными,т.к.ковариационнаяматрицаDλ ( t )удовлетворяет дифференциальному уравнению и зависит от времени. Тем неменее, в некоторых случаях возможно применение т.н.
квазиоптимальногостационарного алгоритма. Такой алгоритм подразумевает использованиестационарного решения уравнения (5.11) (или (5.7) для дискретнойфильтрации) для ковариационной матрицы Dλ ,st , которая (для фильтрации внепрерывном времени) будет удовлетворять следующему алгебраическомуматричному уравнению:N n ,λ + ADλ + Dλ AT − Dλ HT N n−1,0 HDλ = 0 .(5.12)В общем случае такой квазиоптимальный стационарный алгоритмфильтрации с дисперсионным уравнением (5.12) не будет оптимальным, нобудет стремится к таковому при увеличении времени наблюдения(стационарный алгоритм фактически переходит в оптимальный придостаточно большом времени наблюдения). Неоптимальность стационарногоалгоритма будет в наибольшей степени проявляться на начальном этапефильтрации (во время переходного процесса, когда скорость измененияапостериорной дисперсии наибольшая).Обратим внимание на тот факт, что в дисперсионные уравнения (5.7) и(5.11) не входит текущее наблюдение ξ и оценка λ̂ : они полностьюопределяются только априорными данными (характеристиками) наблюденияи фильтруемого сообщения.
Это, в частности, позволяет при реализацииуравнений линейной фильтрации в аппаратуре отказаться от расчетаковариационной матрицы в процессе работы алгоритма, заменив этупроцедуру заранее рассчитанным массивом данных (что во многих случаяхможет оказаться проще и предпочтительнее).5.2. Оптимальный линейный фильтр Винера-КолмогороваКратко остановимся на задаче линейной фильтрации в постановкеВинера-Колмогорова в непрерывном времени.Задачаформулируетсяслучайный процесс λ ( t )следующимобразом.Оценкеподлежитпо наблюдению ξ ( t ) на интервале[ a, b ] ,связанному известной зависимостью с фильтруемым процессом λ ( t )Предполагается, что известны следующие характеристики процессов λ ( t ) иξ (t ) :1.
корреляционная функция Rξ ( t1 , t2 ) процесса ξ ( t ) ;2. взаимная корреляционная функция Rλξ ( t1 , t2 ) между процессамиξ (t ) и λ (t ) ;3. дисперсия Dλ = Rλ ( t , t ) процесса λ ( t ) .Предполагается также, что математическое ожидание процесса ξ ( t )равно нулю. По критерию минимума среднего квадрата ошибки фильтрации{}ε 2 ( t ) = M λ ( t ) − λ ∗ ( t ) = min2λ ∗ (t )нужно получить линейную оценку λ ∗ ( t ) процесса λ ( t ) для любогозаданного t .
Поскольку отыскивается линейная оценка (в классе линейныхфильтров), то она должна иметь вид:bλ ( t ) = ∫ h ( t , υ ) ξ (υ ) dυ .∗(5.13)aИменнооказываетсявследствиедостаточнымлинейностизаданиеоценкиуказанныхдлявышерешениязадачикорреляционныхфункций. В результате решения задачи должна быть определена импульснаяхарактеристика фильтра h ( t , υ ) и получено выражение для квадрата средней2ошибки ε min(t ) .Отметимосновныеотличияпостановкиданнойзадачиотрассмотренной выше в рамках марковских процессов (фильтр Калмана):1. в изложенной ранее теории линейной фильтрации находилисьдифференциальные или разностные уравнения для параметровгауссовского распределения (оценки и её дисперсии), а в данномслучае находится весовой множитель h ( t , υ ) под интегралом,через которой сразу определяется оценка;2.
в данном случае наблюдение может произвольным, но известнымобразом зависеть от оцениваемого процесса λ ( t ) ;3. влинейнойфильтрацииВинера-Колмогороваослабленытребования к априорным сведениям относительно процессовλ ( t ) и ξ ( t ) , а именно нужно знать только Rξ ( t1 , t2 ) и Rλξ ( t1 , t2 ) ;следствием этого является неоптимальный характер оценки λ ∗ ( t )(5.13): оценка λ ∗ ( t ) будет оптимальной (по критерию минимумасреднего квадрата ошибки) только в тех случаях, когда процессыλ (t )и ξ (t )будут совместно гауссовские (это являетсяследствием следующего утверждения относительно гауссовскихслучайных процессов: при наблюдении гауссовского процессаоптимальная оценка значений гауссовского случайного процессаявляетсялинейнойфункциейотносительноостальныхнаблюдений);4.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
