Байбородин Ю.В. Основы лазерной техники (1988) (1151949), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Среднее значение дипольного момента двухуровневого атома можно представить в зависимости от матрицы плотности: (О) = = Г>еа (Рт» + Рвы) = БР (Г> р) Если невозмущенные стационар" ные волновые функции атома в чистых состояниях равны ) Ч" ) и ! Ч"„), то матричные элементы гамильтониана О (1) имеют вид: <Ч,„1Н(1)1Ч"„> = <Ч'„) О(1)1Ч.> = О. Если же имеет место дипольный переход между состояниями Е„ и Еао то <Ч' ) Н (1) ) Ч'„> = <Чт„( Н (1) ~ Чт > = ЕО Квадратная матрица плотности, записанная в виде р Р„„) )т 1а тп" Р(т т'а /а п>1)= ~= е ~а ~ (88) Рав Раа т и ~п! 1зо (8.13) (8.14) где ср(ть /)) = / ~ ехр( — ]т](/) — у)]'] !зй удовлетворяет уравнению движения для смешанных состояний др/д/ = — 1 (Н, р] — 0,5 ]У„р -]- р1у, где ] т]' = тт*, ] и ]' = пп* соответствуют вероятностям нахождения атомов на верхнем Ел и нижнем Е уровнях; тп*, т*п харак- Е.]Р (/) теРизУют полЯРизацию Р; Н = !]уГ(/) Е ~ — матРица гамильтонил ана, возмущенного во времени; ]ьс (/) = — Ехс л/Л вЂ” возмущение; Е, Ел — собственные значения невозмущенного гамильтониана 7м Н;, 1л, = ]О' ~ — диагональная матрица коэффициентов радиаул ционного экспоненциального затУханиЯ 7 и 7л.
Необходимо найти решение уравнения (8.6), удовлетворя)ощее начальному условию 1 0 Р(т ге /е о /) = Р(т) = 0 0 пр" г = /о. (8.?) Для получения макроскопяческой поляризации Р (г, /) необходима суперпозиция поляризаций всех атомов, находящихся в состояниях т и п в момент времени / на координате г. Элементы матрипы плотности из матричных уравнений движения имеют вид дР /д/ = — 1ыр — 7 лр 1]Р (/) ( др /д1 = — 7 Р ) 1]ус(/)(Р др~/дс = — 7лрлл 1]Р (/) (Р Р ) (8.8) Р в=рыл', 7 = (7 +7л)/2; Ао) .= Š— Е„) О.
! Эти уравнения решаются методом последовательных приближений. Нулевое приближение определяет р, и р„„при подстановке Р = 0 во второе и третье уравнения системы (8.8). Подставив полученные значения рыл и рл в первое уравнение, найдем первое при- ближениеР,лл, Р . ВтоРое пРиближение Р „, Рл„, находитсЯ подстав) со )1) о) вовкой р „, рл во второе и третье уравнения системы и т.
д. Сложность вычислений возрастает по мере определения все более высоких порядков, однако можно ограничиться первым и третьим приближениями матрицы плотности: с рп) = / ~ йс'(Р) ехр И7,. + 1ы) (Р— 1) + 7 (/е — 1')] с(/': (8 9) сл Рйч = 1 ~ ]Р (Р) (Ри) — Р"') ехр ((7 + /хв) (Р— /)] д/' (8. 10) Важным результатом являются значения общей поляризации Р'„,'с) — — Р(т, г, о, /)+ Р(п, г, о, /) (8.1 1) лл Рс ~ Р „~ ])?(о) ()Хл„(т, г, о, 1) + Р (п, г* о, г) + + комплексно-сопряженная величина] с(о.
(8.12) Вычисляя пространственную Фурье-компоненту общей поляризации Р (г, /) и принимая распределение ]Р (/) максвелловским, получаем пороговую инверсию населенностей еюйррл )])дле + хд лая — л ) 1 Э)1 /) Р с — комплексная тааулироваиная функция, апределя)ощая дисперсионные свойства плазмы газового лазера. Теоретическая модель газового лазера (ЗО] дает неточные результаты при описании спонтанного излучения внутри резонатора, при вычислении ширины полосы колебаний системы и определении степени когерентности лазерного излучения. Для определения характеристик и параметров определенного класса газовых лазеров малой мощности воспользуемся методикой инженерного расчета.
Эта методика предполагает расчет приближенных значений основных параметров и характеристик маломощных газоразрядных лазеров на нейтральных атомах, парах металлов и ионах. Степень приближения формул достаточна для технического проектирования подобного класса квантовых приборов. За основу расчета принимаются условия: достижение минимального уровня дифракционных потерь основной моды ТЕМео), равенство внутреннего диаметра газоразрядной трубки (кювета) д, и диаметра сечения гауссова пучка излучения в резонаторе 2]Р, на расстоянии, равном половине длины кювета (г = 1/2), т. е. сс„~ ж 2]]с =оль Изображение поперечной и продольной структур электромагнитного поля в зквивалеытиолс конфокальиом резонаторе е совмещено со схемой конструкции лазерного излучателя.
Расчет конструктивных параметров. Определим габаритные размеры лазерного излучателя — диаметр с)„и длину 1 кювета, длину резонатора Е, диаметр 2а и радиус Р кривизны зеркала (рис. 8.9). При проектировании газовых лазеров, предназначенных для работы в одномодовом режиме, желательно выбирать значение внутреннего диаметра кювета так, чтобы оно соответствовало малым дифракционным потерям для данного типа колебаний. Известно, что с умень- л Эхввввлеятяый хояфохельяый резонатор — такой ховфокельвый резонатор, поверхности равной фазы которого совмещаются с поверхностями зеркал рассматриваемого резонатора, а потери у оооях резонаторов одинаковы.
Рис. 8.9. Функциональная схема газового лазера: у верквлв кскосквльвагс ревсввтсрв; 2 кювев с вкткввой средой; 3 система квкввкк шепнем диаметра трубки усиление активной среды растет. Но если диаметр кювета по расчетам меньше диаметра перетяжки в поперечной плоскости, проходящей через торец трубки, то днфракцнонные потери для моды ТЕМ„существенно увеличиваются.
Это приводит к заметному спаду выходной мощности, а в некоторых случаях и к срыву генерации. Оптимальное значение диаметра кювета определяет и размеры конструкции газового лазера, желательно, в зависимости ог длины н расположения разрядной трубки в резонаторах различной конфигурации, определять ее внутренний диаметр е(„, соответствующий некоторым неизбежным дифракционцым потерям. В общем случае радиус сечения пучка в произвольной поперечной плоскости г резонатора (см. и.
5.!) йг (а) = йу, Н + (2аа. )') '*, (8.15) где Яро = $/ Лвх.,„/(2п) — перетяжка (радиус сечения пучка в плоскости г = 0), см; Е»к — расстояние между зеркалами эквивалентного конфокального резонатора (/ = (.вк). Неконфокальный резонатор, образованный сферическими зеркалами с радиусами кривизны /т и расстоянием между ними (., приводится к эквивалентному конфокальному резонатору с геометрией /.в~ = )г ( (2й — 7.) = 2п((уо/Ло.
(8.16) Графиком функции (.вв (Ь) при /с = сопя( является окружность с радиусом /с, центр которой смещен по оси г на радиус /т. Например, плоскосферический резонатор с расстоянием между зеркалами /. приводится к эквивалентному конфокальному резонатору, у которого расстояние между зеркалами с,. = 2 к'с(л — ТЬ (8П 7) Графиками функций (.,„= /(х.) при /с = сопз1 и (,. (Й) при /.,„= сопз1 являются соответственно эллипс и полуосями (/т, /т/2) и парабола с вершиной в точке О, /. в.
На рис. 8.10, б показан график " Графики были предложены и рассчитаны В. И. Матвеевым (смл Журн. прикл. спектроскопии.— (967.— Т. 7, вып. 6.— С. 250 — 256). (58 Еэи р ( 7 а ид,им р г у э «а г,й К Рис, 8,Ю, Кривые коэффициента усиления газового лазера (а) и номограмма дли расчета его конструктивных параметров (б): ас р кесретивескве, Х вксперкмеетвльквв кривые зависимости ((7 (г) = / (1.,„), построенный по формуле (8.17) для гелий-неонового лазера с длиной волны излучения Л, = 0,6328 мкм в практически важном диапазоне изменения г. При / = сопя( зависимость 1, Я) представляет собой параболу с вершиной в точке О, Ь/2.
Использование рис. 8.10, б дает возможность найти диаметр пучка лазерного излучения — сечения «перетяжки» в любой поперечной оси г плоскости для указанных типов резонаторов при различных соотношениях /./я. Аналогично можно определить (рт (г) и в неконфокальном резонаторе с зеркалами разных радиусов кривизны. Однако графики /, для этого резонатора не приводятся, так как на практике он встречается сравнительно редко. При заданном радиусе сечения «перетяжки» в поперечной оси г плоскости по приведенным графикам также легко находится размер диафрагмы, устанавливаемой для селекции мод в той же плоскости, которой соответствуют некоторые дифракционные потери. В конфокальном резонаторе дифракционные потери для моды ТЕМ„(30) и 10 О 10 — взелвдьха (8.18) 1'дкф = где а — радиус диафрагмы, усганавливаемой в плоскости зеркала резонатора. 159 После несложных преобразований из формул (8.15) и (8.18) находим диаметр пятна в плоскости зеркала резонатора (г = 1./2): 2а = 2 25(б о зи' !я (10~9/Ддиф).
(8.19) Из формулы (8.19) следует, что если в произвольной плоскости на расстоянии г установлена диафрагма с радиусом а = с(„/2 и выполняется условие а/)(7 (г) = а/Ягса, то дифракционные потери, обусловленные диафрагмами в плоскости зеркала и на расстоянии г, равны между собой.
Используя равенства (8.15) и (8.19), находим радиус диафрагмы а, соответствующий некоторому значению дифракционных потерь. График зависимости а ((б',) при (1, ф = сопз! изображен на рис. 8.10, б штриховыми линиями. С другой стороны, при а = сопя! дифракционные потери ()идф являются функцией ((7 (г) (зависимость Рд,ф (Яу (г)) показана на р™ис. 8.10, б сплошными линиями!.
При практическом использовании этих графиков для проектирования газовых лазеров необходимо учитывать следующее. 1. Роль диафрагмы с радиусом а, устанавливаемой в резонаторе, играют выходные торцы газоразрядной трубки. 2. При симметричном расположении газоразрядной трубки длиной ! относительно зеркал конфокального или симметричного неконфокального резонатора, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
