Финк М. Теория передачи дискретных сообщений (1970) (1151862), страница 12
Текст из файла (страница 12)
х'з)Р( 'у[х»). л ° »=! Оптимальаой считается та решающая схема, которая обеспечивает минимальное значение бкчвч, т. е. для которой максимальный (по всем сообщениям) условный риск меньше (или, по крайней мере, пе больше), чем для любой другой решающей схемы А(ожив показать (!.3), что мннимаксиый критерий приводит к такой»ке решающей схеме, что и байесов крвтерий минимального среднего риска, при условии, что априорное распределение вероятностей сообщений выбрано наименее благоприятныв».
Если в действительности априорное распределение вероягностей ие яаляется наименее благоприятным, то, зная это распределение, можно было бы построить решающую схему, основаину»о на байесовом критерии, которая обеспечит меньшую велнчнну среднего риска, чем мииимакснаи решающая схема. Но зато всегда можно найти такое априорное распределение всроятносп», при котором средний риск в байесовой решающей схеме (построенной для другого априорного распределения) будет больше, чем в минимаксной схеме.
Заметим [9[, что если для всех случаев ошвбон стоимость считается одинаковой, то мииимаксная решающая схема совпадает со схемой, построенной по критерию максимального правдоподобия. Поскольку система связи преднааиачена для передачи информации, представляется разумным определить оптимальную решаю. 58 ш ю схем как так ю, У которая обеспечивает наиболее полное ис- пользование ин о ма ии, я» Р ц . содержащейся в принятом сигнале относи- тельно передвижного сообщения. Таким об ахом, ии о мационный к т к о ахом, можно установить и ж р.
ц ы критерий оптимальности. К сожалению, на этом пути существуют большие трудности. Т блох', и и и. ак, если стоимость (х», х'»), фигурирующую в выражении (1.21). среднего рисна по- ложить обратно пропорциональной количеств и, г жащейся в х' относительно хь то, казалось бы, крит рий мального с не о ред г риска привел бы к минимизации поте ь ин итери миии- маиии в еша»ошей схем . хеме. о пРи этом возникает определенность, е ин р- связанная с тем, что совместная вероятность х, х'., в вы ажеиие л решающей схемы [9[. р для количества информации, сама зависит от ыб о вы ора Если в (1,2Ц положить стоимость 6(х», х'») (при х'» гьх,) об- ратно пропорциональной априорной вероятности х новании, что ии о м " ор ационное содержание сообщения возрастает ости р х» на том ос- с уменьшением априорной вороятности), то легко убе иться, то .р р л ного среднего риска совпадет с критерием ма- ксимального правдоподобия.
Некоторые авторы [3, 14[ предлагают называть информацион- ным крнтериеы такой, согласно которому оптимальная реша щ ю ая Р ту з гипотез х» при которой максимизируется частное количество информации, содержащееся в пришедшем сигна- ле а', относительно сообщения хо равное 1оя авное оц . Этот под- ход также п иво и 4 к 17. ы риводит к критерию максимального правдопод би . о я. ( й . ). Выражение (1.43) лля количества информации, со- держащейся в одном непрерывном процессе г' отиоситель поп е ывного п о р р роцесса, можно преобразовать следующим образом: ос» ьно другого г (х а ) = ~ [ ш (х.
а»)1»»$ п»(»»)»»»х»(в » хх' ш(х [а') [ ш(х. х') 1ой ш.<, ) г!х»(з' ~ш(х) 1ой ш(х)»(х'+, ". =Р. хх' х +1[ (а') ([')1 [') '= '() — (['. ( ) Хг' Величину й (х) = — ~ ш (х) 1оц и (х)»(х К. Шеннон [1[ называет л энтропией непрерывного процесса, а величину й (х[а') = — ~ 1 ш (х»)Х т оде(х[х')»(х»(х' — условной энтропией процесса х при из- вестном процессе х'. Однако такая терминология не очень удачна, имеют эн оп У азанные величины не обладают теми свойствами, какие отей (х и у( тр ия и евонная энтропия дискретных послеловательно') (х)Х).
Г!оэтому, следуя А. Н, Колмогорову [б[, мы удем называть (х) и й(х[х') соответственно дифференциальной за»Рог»иев и дифференциальной условной энтропией. Как было показано в й 1.7, энтропию дискретного сообщения Н(х) можно определить как количества цнформацив, заключенное в х относительно самого себя, 1!(х).=1(х, х). Дифференциальная энтропия этого смысла пе имеет. Действительно, из (1.43) либо нэ (1.7) путем предельного перехода можно показать, что для неврерывного вроцесса 1(х, х) =оа. Эта является вполне естественным, так как для точного описания конечного отрезка непрерывного процесса необходимо сообщить его значение в бесконечном числе точек.
Даже длн точного задании значения непрерывной случайной величины, характеризуемой плотностью вероятности ю(х), любая конечная величина количества внформации оказывается недостаточной. Это матица понснить следующим образом. Разобьем всю область значений величины х на отрезки величины Лх и будем воспроизводить эту величицу Лх с точностью —.
Очевидно, количество информации, необходимое 2 ' для этого, »[ажно определать как энтропию дискретной величины, принимающей значеаия х, с вероятностью ю(х«)Лх. Х ()Л1. ( "1=--Х""'"""'"' ! 1 1)~~ ш (х,) Лх !ой ю (х*) 4 !ой — „° (' ! Если теперь устремить Лх к нулю, т. е. беспредельно увеличивать точность задания непрерывной случайной величины, то первый член в (1.5!) стремится к дифференциальной энтропии й (х) .= — ~ ю (х) 1ай !в (х) «1х, тогда как второй член беспредельно х возрастает. Этот результат можно трактовать также следующим образом. Если бы существовал канал с полным отсутствием шумов, так чта принятый сигнал г'(1) был бы тождественно равен переданному непрерывному сигналу г(1) (либо всякое значение г' являлось бы регулярной обратимой функцией от г), то 1(г, г') «а и по такому каналу можно было бы передавать безошибочно сообщения любого источника, какова бы ни была его производительность.
Если же зависимость между г и г' не является регулярной и обратимой, то 1(г, г') является конечной положительной величиной. Напомним, чта термин «непрерывный сигнал» понимается не в смысле непрерывности функции г(1), а в том смысле, что сигналы г(1) являются элементамц непрерывного множества. Днфференцнальпая энтропия й(х) а отличие ат энтропвв шо скретпого источника 1!(х) может принимать отрицательные значения. Более того, дифференциальная энтропия может изменять как уголно свое зваченне а даже знак врн изменении единицы измерения вели шны х, так как при этом будет изменяться значение ю(х). Что же касается разиастн дифференциальных энтропий (1.50), равной комичес«ау информации, солержзшсйсв в одном непрерышюм ~'.0 процессе относительна другого, то ана не аависит от рниц измерения, а зависит от основания логарифмов (т.
е аь Ра слн шцы д я количества инФормации) В лействнтельпосгн л прерывпых процессах физический смысл имеет только информации, т. е. Разность дифференциальных энтропий, лигрфсреициальная энтропия. Заметам, что путем несложных преобразований мажца выразить 1(.т, г') цо аналогии с (1.40) и так: 1(х, г') =. Ь(г') — Л(г')х) = — й(х) + й(г') — й(х, г') (!'52) тле Ь(х г )=) ~ ю(х г )!айса(х г )г!х~!гц Литература 1. Ш си нов К. Математическая теория связи. В сб. «з ать! по теории информацци и кибернетике», Изд-во инострариа'! лите ратуры, 1963.
2. К отель н иков В. А. Теория потенциальной помехПУстоичнва сти. Госэнергоизлат, 1956. 3, Ф а по Р. Передача информации. Статистическая творца с»пан Изд-во «Мир», 1965. 4, Х и нч н н А. Я. Понятие энтранни в теории вероятнастю " апе хи математических наук», 1953, № 3. 5. Хп а чин А. Я. Об основных теоремах теории изфармацин' «Успехи математических наук», 1956, № 1. СССР, 1956. 6.
Колмогоров А. Н. Теория передачи информации 7. . ю а г! н с тейп А. Основы теории информации. Изд-ао пна"р'ц най литературы, !960. 8. . и о бр у шин Р Л, Математические вопросы шенпонпзскай теа рцц оптимального кодирования информации В сб «Г)робле""" 9. М перелачи информации» 1961 вып !О . Ми «алто ц Д Введение в статистическую твори»" 10.
Р Изд-во «Советское радио», 1961, т. 1; 1962, . П. , т. 1949. ам а но вский В. И. Дискретные цепи Ма кав . Гастехиздат' а. 1!. Гне 12В.в 'л е н к о Б, В, Курс теории вероятностей Гостехг!злат 1954. у л о Р д Ф, Проектирование радиолокационных арне" инков ца о аве ста . ических . е лов В сб. «Теория передачи '"ек трическнх сигналов при наличии помех», Изд-во иностранной ли тературы, 1953 л А. Последовательный анализ.
Физматгиз. 1960. 13. Валь 4. Клюс в Н И. Информационцыс основы перелачи Иэл-во «Советское пално», 1966 !5 Б цччю сия информации. Физмд "" ' 6 .!сваи Б. Тса с цчс ю«е основы ° ~ онеги'ескоц ! кч. 1!зл-ва «Советское раааа», 196 и- . „„„„.. Г" 55. !8. Больыаац калцровавия теории ци !а д." )К. Б „ зл-ва «Мца», 1967 И Д е к а б с.
Теоретцчес' техники связи. Изд-аа «Мир» !969. 6! ГЛАВА ВТОРАЯ ДИСКРЕТНЫЙ КАНАЛ И ОСНОВЫ ТЕОРИИ КОДИРОВАНИЯ роятностей переходов р(у'руо), т. е. вероятностей того, что на выходе появится символ у'гв если на вход подан символ ри Эти вероятности, зависят от того, какие шгмволы передавались и принимались ранее. Алфавиты кода на входе и выходе канала могут не совпадать; в частности, возможно, что ги'~~т. Величину о иногда назывзкгт технической скоростью передачи. тмине нсточниу К»1 рующее у „о у' е-оиру иее ' Е у и (- ооггогиении уотрототуо оное уотроаотао оооетении' 3.1.
Дискретные каналы и их классификация Во многих задачах теории связи структура модулятора и демодулятора задана, В этих случаях каналом является та часть линии связи, которая на рис. 1.3 обведена пунктиром. На вход такого канала подаются дискретные кодовые символы у, а с выхода снимаются символом у', вообще говоря ие совпадающие с д (рис. 2.1). Такой канал называют дискретным.
При изучении передачи сообщений по дискретному каналу основной задачей является отыскание методов кодирования н декодирования, позволяющих в том или ином смысле наилучшим образом передать сообщения дискретного источника. Заметим, что почти во всех реальных линиях связи дискретный канал содержит внутри себя непрерывный канал. на вход которого подаются сигналы з(1), а с выхода снимаются искаженные помехами сигналы з'(1). Свойства этого непрерывного канала наряду с характеристиками модулятора н демодулятора однозначно определяют все параметры дискретного канала. Поэтому иногда идскретный канал называют дискретным отображением непрерывного канала.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
