Ширман Я.Д. Теоретические основы радиолокации (1970) (1151795), страница 95
Текст из файла (страница 95)
Формулы (8) — (11) показывают, что ошибки определения координат выражаются через производные фазового запаздывания ф по частоте и координатам. Учитывая малое отличие относительной диэлектрической постоянной ег атмосферы от единицы а а = е„: — 1 = из — 1 « 1 и =)/ е, = 1+— 2 имеем (о '1 о) (' ф= — !+ — — ) аЛ, с 2 с / откуда !(ф с( о) 1 о) à — — - !+ — — ~ ад! йо д(о с 2 с,) (!) дф 1 щ ('да — — — — Ж,' ' де 2 с ) де дф 1 щ 1' да — — — — с(Е, .др 2 с,) д~4 (!) дф в) д1 1 щ д /' + ~ аН, дг с дг 2 с дг,) где ! — длина криволинейного пути.
Поскол()ку .траектория распространсния неизвестна, для вычисления воспользуемся методом п о с л е до в а тел ь н ы х п р и б л и же н и й. 530 П. Ю в 1 в Г ф= — г+ — — ~ акр, с 2 с „ г с(ф г 1 (' Н (ва) + ) "Ре дв о 2с ) с(в о г дф 1 в ('да дв 2 с .1 дв — = — — "— др, о г дф 1 в Гда дй 2 с )др о дф в( а~ в 2) (12) (13) (15) Подставляя (13) — (16) в (8) — (11), получим о к о н ч а т е л ь н о е в ыражение для погрешности измерения дальности гц 1 Гд (ва) Лг= — ~ пl 2 ) йо о (17) и промежуточные — для погрешностей измерения угловых координат Г Ле = — — —, с(р, о о гд .г о о Представляя подь~нтегральные выражения в внде,произведения иапо, где о = г = — 1/г,а и = ) ..Ар, и интегрируя по частям, находим о к о н ч а т е л ьо ные выражения для угловых погрешностей: Г Ле= — — ) ~ — — — ) — дг, 2 ~-~=г гц,) де о (18) Ц 'ч;.
зевса ец (',х„1 1 ~ да 2,,' Г Гц~ др 681 Считая луч в первом.приближении п р я м о л и н ей н ы м (случай загоризонтной радиолокации из рассмотрения исключается), получим; г Точность формул первого приближения обычно достаточна для практических расчетов. Более точные формулы можно получить, если процесс последовательного приближения продолжить. б) Флюктуационные ошибки Флюктуации фазового запаздывания и измеряемой дальности определяются флюктуациями ба коэффициента преломления: ц бф= — ба (г) «(г, 2с ~ о (20) « ! ( бг = ~ — ~ ба (г) дг, где знак «+» относится к тропосфере, а знак « — » — к ионосфере. Считая здесь для простоты атмосферу статистически однородной (стационарной по про- странственной координате), для дисперсии ошибки измерения дальности за- пишем Гц Г 'ц 'ц 1ГГ Г (бг)» = — ~ ~ ба(г,)ба(г«) Иг, д㻠— (ба)»~ р(г,— г«) дг, Фг», о о о о где р (гд — г») — коэффициент корреляции.
Принимая (г, — г,~э р(г,— г»)=е (21) Ф 'ц 'ц '1 Дг)» (ба)» с(г е-л (х/г«1'«(х 4 о о Для га (( гц пределы интегрирования во втором интеграле можно растянуть до бесконечности (допуская небольшие ошибки лишь при г«ж г и гц — г, = г«) и, интегрируя, найти дисперсию ошибки измерения дальности в виде (бг) = (ба) гц г«. 4 Прн «том нерегулярная среднеквадратичная ошибка измерения дальности о~=0,53~(ба)'г г~ Оценим далее ошибку определения угловых координат.
Выберем две точки А и 8 (рис. П 8.1), лежащие в плоскости, перпендикулярной истинному направлению на данную цель, и удаленные друг от дру~ а на расстояние Н. Флюктуацни угла прихода связаныс флюктуациями значений диэлектриче- 532 П. В 'где 㫠— характерный размер атмосферной неодн«»рояйа)а!МЬ74в"Проводя за- мену переменных г» =. г, + х, получим ской постоянной, а значит, и величин бал(г) и бав(г) на лучах, идущих в точки А и В. Отклонение направления прихода волны от истинного направления на цель, характеризуемое углом бу, и сдвиг фаз Ьфлв колебаний в точках А и В связаны соотношением з)п бу= — —, с бфлв о полученным из простых геометрических соображений.
Учитывая малость угла бу и используя формулу (20), получим Г „ бу = ~ (ба,, (г) — бав (г)) с!г, Г 2Й о Рис. П8.1 К расчету флюктуационной ошибкиопре- деления угловых координат откуда 'ц 'ц 1 Г (бу)'= —, ~ (бал(г,) — бав (г,)1~бал(г ) — бав(г )1,!г,,!г, о о Приняв для коэффициентов корреляции зависимость вида (21), имеем — — (' — '")' ба ! (г,) ба„(г ) бав (г,) бав (г ) = (ба)э е Учитывая геометрию лучей (рис. П8.1) и полагая среду статистически изотропной, получим далее, что бал (г,) бав(г ) бал (г ) бав(г,) (ба)а е Е. 'о После интегрирования приходим к выражению у 2 (бу)' = — (ба)' — — гцго го~ 1 — е 2 ДЗ Для случая, когда размер антенны много меньше характерного размера Дй оя (з неоднородности д (( г„, значение е 1 — и — и среднеквадратичная 'о ошибка угла прихода Приложение 9 ('к ф 5.2, б.4 и 7.5) Элементы теории разрешения Пусть принимается колебание с комплексной амплитудой 1'(1), которое может содержать два налагающихся случайных сигнала и помеху: Г(1)=А,Х, (г)+А Х,(1)+й(((), где А„А, могут принимать значения О и 1, Полным разрешением можно назвать возможность одновременного вынесения решений А ~ и А 2 о значениях А, и А, с достаточно малой вероятностью ошибок.
В ряде случаев представляют интерес более простые заключения о наличии илн значении параметра одного из сигналов в присутствии случайного другого сигнала. Так, если качественные показатели обнаружения (измерения параметров) второго сигнала остаются выше допустимых в присутствии случайного первого сигнала, будем говорить, что второй сигнал р а з р е ш а е т с я в смысле обнаружения (измерения параметров). Если, кроме того, разрешается и первый сигнал в присутствии второго, говорят, что сигналы в з а и м н о р а з р е ш а ю т с я. Для разрешения, как и обнаружения (измерения), могут быть найдены оптимальные операции обработки и соответствующие качественные показатели. Приразрешениивсмыслеобнаружения такими качественными показателями являются условные вероятности правильного обнаружения и ложной тревоги Р и Р Правило оптимальной обработки и качественные показатели Р и Р проанализируем для случая разрешения когерентных сигналов с независимыми релеевскими амплитудными множителями и равно- вероятными начальными фазами.
Считая, что случайный сигнал 1 является дополнительной помехой, правило оптимального обнаружения случайного сигнала 2 найдем из отношения правдоподобия ! 1 (Э'(1)1— Ргп ()'(О) 1 ( г)В Р 1)'(1) — Х, (1, р, В)1 Р, (1), В) ~(р, Р1п 1г (г)1 о о где рзш 1'1(г)3, рш(К(1)4 — плотности вероятности реализации У(1) при наличии и отсутствии второго сигнала; Х,(г, 'р, В) = ВХз(~) е'й — случайная ьомплексная амплнтчда второго сигнала; р,ф, В) — плотность вероятности совместного распределения его случайных параметров.
бд4 П. 9 Здесь 1 [Г(1)/К В1 — отношение правдоподобия еще для одного вспомогательного случая †обнаружен второго сигнала с известными параметрами [), В иа фоне помехи (без первого сигнала): 1,' [г(() [ б, в1 = рв [г(() — х,(1, ~, в)1 Рп [) (()1 Отношение правдоподобия 1([Г(Е)1 в соответствии с изложенной теорией обнаружения флюктуирующего сигнала на фоне белого шума и правилом замены квадрата интеграла двойным интегралом будет 1 ~(1) ~-(.) х, (1) х, (,) ж ~.
4(у в (Э, + У в),) Л'в 1, [ У (()1 = — ехр Эв+ в(в Отношение правдоподобия для сигнала с известными параметрами Х [Г(1)[р, В1 может быть найдено нз выражения (у — *,('в( — 1 в' в(]1, 12 ехр где следует положить 1 ., 1 ) (1) е)(»в ( .+ ) в (() е — )(вв ~ 2 2 ВХ(1) ЕУ (Ло + 6) + ВХ* Š— ! ((Вв С+(З1 1 1 2 '2 Если при этом пренебречь слагаемыми с быстрооспиллирующими множите- лями в подынтегральном выражении, получим: -4 [ (в((( — вх.((( в) (("(((— 1в [У'(() [[3, В1=ехр — вх' ((( -(") в( — 1 в ((( (" ((( в(] 1 .
В результате выражение (1) приводится к виду: ОО 2к ~ 'чв акв нявкв — ((В ~ Ве ~ е Фо е Л(в (1р н о о 535 П. 9 Чтобы воспользоваться ранее полученными результатами, перейдем в (1) от плотностей вероятности к отношениям правдоподобия, вводимым для вспомогательного случая обнаружения флюктунруюшего первого сигнала иа фоне одной помехи М(1) (без мешающего второго сигнала) ,(» Ргп [~ (г)1 Рв [ р'(1)1 где Рп [Г(1)1 — плотность веРоЯтности Реализации Г(1) пРи Условии наличия одной помехи. Тогда р,„[~'(1) — Х, (1, р, В)1 1, [г (» — Х, (1, р, В)1 Р1п [г (г)1 11 [~ (г)1 или аналогично 1(17), $3,8) 2 г „ й)о ~о ~а авв+~о е Эоавв+ )Уо (2) Здесь Я»„в — результат оптимальной обработки сигнала Г (() )с* (1) Ж 1 ~авв = 2 [3) Эоаив эквивалентна яэнергия полезно го сигнала,которая эффективно используется в присутствии мешающего, 1 Г 1 Г Эа аив = Хо (() Р (() "( — — Р (1) Х2 (() М, 2 .) 2,) )г(1) — фун кци я, оп псы на юща я правило оптимальной обработки, Х,(() 1 Г Р (() = Ха (К) — — Д Х (з) Х1 (з) дз.
Э1+Мо 2 ) Функция 1с(1) в общем случае не совпадает с Хо((). Равенство Я(г)= =Хо(г) имеет место только в том случае, если сигналы Х1(Г) и Хо(С) ортогональны, т. е. когда интеграл ) Х (з)Х~ (з) дз обращается в нуль. Отношение .модуля этого интеграла к квадратному корню из произведения интегралов от квадратов модулей Х,((), Хо(1) называется коэффициент о м к о р р е л я ц и и этих сигналов (6) Р— ~ ~Х,()!'( ~!Х,()~'а Если Х,(г) и Хо(г) отличаются только временным запаздыванием и допплеровской частотой, определение (6) приводит к соотношениям $ 6.3.
Проводя анализ качественных показателей обнаружения прн обработке согласно соотношейию (3), нетрудно проверить, что качество обнаружения определяется энергией Эо а„„ т. е. э ф ф е к т и в н о и с п о л ь з у е т с я ч а с т ь в с е й э н е р г и и Э„ определяемая величиной отношения Эо див Э1 — =1— Р ° Эа Э1+ )Уо (7) 2Эо аив авив = й)о (В) 636 Чем меньше р, тем больше эта часть, т.
е. тем лучше разрешаются сигналы. При одинаковых Фермулу (1) поясним для случая, когда п=а~' аг'. Тогда количество меньших или равных п чисел, делящихся без остатка на а, и ае, соответственно будет и, = и!ад и п,=п!а,. В состав как пд, так и ие чисел, войдут числа, одновременно делящиеся на ад и а„в количестве пд,д = п/ада„в частности само число и. Поэтому количество чисел (включая единицу) меньших и и взаимно простых с и, т. е. не делящихся ни на ад, ни на ад, будет равно др(и)=и — (и +и — и1 г)=п ( 1 — — ~ ~1 — — ) .
Приложение 11 ('к р 8.4) К расчету характеристик обнаружения случайного сигнала при корреляционной обработке При этом в квадратной области интегрирования О <(д, з) < Т пик автокорреляционной функции р(1 — з) приходится на прямую 1 = з. Поскольку за пределами пика, имеющего ширину порядка 1/П (< Т, эта функция очень быстро спадает до близки)д к нулю значений, то пределы интегрирования по одной из переменных, например по д, можно растянуть на бесконечные. Вводя за. геену переменной 1 = з + т, получим гп Рд Р 1 ) р~(т)д(тджх РдР2Т 1 р (т)~(т (2) В случае наличия сигнала в соотношениях(6~),(7*) следует заменить функции уд,,(д) их значениями по формуле (1*).При этом в силу независимости соответствующих случайных процессов подынтегральное выражение формулы (6;) будет Уд (() Уд (Е) = ид (() пд (() + хд (Г) пд (1) + + х (д) и, (1) + х, (() х, (1) = х (Е) х, (Е) Используя (3*), преобразуем его к виду у (() у (() =$~ у (1) у (() р(О) = ~ / Рд уд Рд уд 1+уд 1+7, Тогда из выражения (6*) получим геп = УЭд Эд .
(3) П. 11 538 Проанализируем выражения ((5) — (7), Э 8.4). В ссылках на ч 8.4 используем запись (5*), (7') и т. д. В случае отсутствия сигнала входные напряжения у, г(1) определяются выражениями (4 '), а г=г„=О. В силу независимости помех различных каналов имеем: уд (д) у, (д) = О. По этой же причине уд (д) уд (з) у, (д) у, (з) = = (1+ у,) (1+ у,) и, (Е) и, (з) и, (1) и, (з) . Используя (2*), находим тт г„— Р Р ) ) р (д з)Нд(з. о о У1,2 где Э1, — — Р1 2 Т вЂ значен энергии полезных сигналов в кана- ,2 1.2 1+ лах, выделяемой за время Т на сопротивлении 1 ом. Аналогично, сохраняя лишь отличные от нуля слагаемые и используя (3~), подынтегральное выражение формулы (7*) приводим к виду У~ (1) У1 (з) У2 (1) У2 (з) = и, (1) и, (з) и, (1) и, (з) + и, (1) и, (з) хз (1) хз (з) + + х1 (Г) х, (з) из (1) и, (з) + х, (1) х, (1) х~ (з) хз (з) = 1 + у1 + у2 =Р,Р, р'(1 — з) +- х,(1)х2 (1) х, (з) х,(з) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
