Радиоэлектронные системы Основы построения и теория. Справочник . Под ред. Я.Д. Ширмана (2007) (1151789), страница 141
Текст из файла (страница 141)
19.9. Цифровая фильтрация случайных процессов 19.9.т. Спектры иогцноспзи и модели дискретных случайных процессов При анализе таких спектров используют: ° непосредственный спектральный анализ; ° корреляционный спектральный анализ; ° различные методы «нелинейного» спектрального анализа [0.28, 1.66, 1.109, 8.2, 8.8, 8.24]. Непосредственный спектральный анализ. Вычисляя ДПФ (БПФ), находят спектральные составляющие реализации случайных напряжений.
Их модули возводятся в квадрат и усредняются по реализациям. Корреляционный спектральный анализ. Оценивая ве(цественную или комплексную дискретные корреляционные функции Е-элементной выборки отсчетов 2 Е (р, м — Яи>и>, . Ф, = — — — - 2.(7((7*(-,, (19.37) (Б — !) ), ! 2(1 — !)>.„! их уже подвергают ДПФ (БПФ). Весовые функции (окна). Существенны как при непосредственном, так и при корреляционном спектральном анализе.
Усеченные с двух сторон выборки неполно отражают особенности протяженного колебательного процесса. Условие (19.23) неискаженной фильтрации выборок еще не обеспечивает правильного описания частотных свойств процесса. «Нелинейные» методы спектрального анализа стационарных случайных дискретных процессов. Связаны с их пролонгацией за пределы «окна» вырезающей функции на основе априорных моделей форчирования анализируечьт процессов (1.66, 1. 109, 8.8).
19.8.2. Модели формирования стационарных дискретных случайных процессов Процесс представляется как выходное напряжение цифрового, рекурсивного в общем случае фильтра и)с = чъ на который воздействуют независимые отсчеты шума у>с = )цс с единичной дисперсией: м л и>, = Яа )(ь + ~Ьлиь ) . (19.38) ет! л=! Спектр процесса соответствует тогда квадрату модуля !К(г)! частотной характеристики (!9.22).
Различа- 2 ют варианты моделей трех типов: ° СУ вЂ” со скользящим усреднением; ° АР— авторегрессионные; ° АРСУ вЂ” АР с использованием СУ. В модели СУ Ьл = О, так что частотная характеристика К(г) = ~ ~а„,г может описывать энергетические 2 спектры )К())! с провалами. В модели АР все а„,=О при т>1, а а! чО. Частотная характеристика фильтра К(7) = а! ((1-2.Ь) г л) может аппроксимировать энергетические спектры с пиками.
Общие модели АРСУ могут описывать энергетические спектры и с провалами, и с пиками. Пример оценивания параметров модели АР процесса. Умножая на иы! модель АР процесса л ие = а)Ре + ~Ьлия-х (1939) л=) и переходя к математическим ожиданиям, получают л Ч! =', Ьло( л+Абсо.
(!9.40) л=! 2 Здесь (р, = М(щ иы,), А = а), Ьсл = М(р, рл) — символ Кронекера (1 при ( = lс и 0 при ! ч )с). Коэффициенты Ьл определяют, решая систему уравнений (19.40). Удобен релуррентный метод решения, основанный на увеличении числа неизвестных и числа уравнений Л + ! системы (19.39) от шага к шагу. Поскольку оценки нензвест- ных при этом изменяются, как верхний индекс проставляется номер шага. Вводится обозначение Г- = Ь(л> . На нулевом шаге Л = 0 система вырождается в уравнение ())о = А с одним неизвестным, откуда А = (ро. (о> ()) Через него выражается решение А( на первом шаге: А =(1 — Г) )А( )), Г) = Ь)(> =(р)/А( >).
(!9.41) Решения для произвольного (Л ь ! )-го шага выражаются через решения для Л-го шага: А(л"'>= ! Г2 )А(л) = ( — л» л Гл» = Ьл -! =~Ел+) ХЬ), (рл-).()~! А (19.43) (л+)> Г (л> 1! (л> л=! Ь( «) =Ь( )-Гл.»Ь( ) ()с<Л). (19.44) ! ! ! ((о ! е(л-!) гл) з)а ! 2(л ),((! с!"! ! е' ) л л ),(л л слл! Рнс. 19.27 Величина Г), используемая в первом звене, находится как отношение оценок ф! и фо. Пропуская элементы выборки ил через это звено, можно оценить невязки о е, е(!), используемые для оценивания Г2.
"()> Практические расчеты проводят по сиичетрираванной форл (уле Берга; 19.8.3. Решетчатый филыпр прогнозирования одномерного АР процесса В условиях стационарности случайного процесса последовательные оценки парачетра чаде!и Гл, Ь;( ', А(' ' (л) ол предыдущего примера составляют основу для: ° прогнозирования значения случайного процесса -л .л на (Л+1)-й шаг с выявлением невязки иь — йе = ел значения ин с прогнозированным й; -(л«!) ° обратного прогнозирования значения случайного процесса на ()с - Л-1)-м шаге с выявлением невязки -л .л иь л ! -йс л ! =ел л ! ранее поступившего значения иь с оценкой обратного прогноза и (л> ° вычисления (прогнозирования) на этой основе очередных параметров модели Гл „ Ь, , А (л+(> (л»> Простейший решетчатый фильтр обеспечивает вычисление оценок невязок прямого е(, ) и обратного .(л) прогноза е(л> (рис.
19.27). Состоит из однотипных звеньев, включающих элементы задержки на интервалы дискретизации Лс, показанные в виде линий задержки. 307 и 2 ~~е!к! !'! ~~ е» е» Г вЂ” »=кв2 . (19А5) 1й 1 м еа-л-! 19.9. Использование общей алгебры и теории чисел в цифровой обработке с/ = — 20Д! — 15Д2 — 24Дз = -45 = 15 (шод 60).
Соотношения, подобные приведенному, называют сравнениями по модулю: ц = 75 = 135=45 = 15 (шод 60), Арифметические операции над числами заменяют в модульной арифметике более простыми арифметическими операциями над остатками. Так, сложение чисел 7 с остатками 1, 3, 2 и 8 с остатками 2, О, 3 сводится к сложению их остатков по модулям: 1 + 2 = 0 (!под 3), 3 м 0 = 3 (ш ос! 4), 2 + 3 = 0 (ш ос! 5), после чего сумма !5 восстанавливается по модулям. Операция умножения чисел сводится к умножению остатков по модулям и восстановлению произведения — 20.2 — 24 ! = -64 = 56 (шод 60). Не давая ошибок округления, модульная арифметика использовалась ранее в ЭВМ в остаточных классах 18.!].
Модульную алгебру в настоящее время используют в алгоритмах быстрых сверток. Умножение многочленов и линейная свертка. Для многочленов (полиномов) н-1 л-! у(з) = ~ ~у/з, ч(з) = ,'!"„чзз (19.46) !=о Х=О находится произведение и!- !Ч-2 и (з) = у(з) м(з) = ,'!„и»з »=о (19.47) Его коэффициенты рассчитываются по формуле в-1 зг» = ,'! у/и» / (/с=0,1, ...,и+7Ч-2), (19.48) /=0 Может ускорять обработку, но усложняя обычно программирование [8.10, 8.23.
8.29]. Циклические свертки нашли уже широкое применение. Последние достижения в области БПФВ заслоняют результаты АВПФ (разд. 19.9.5), не исключая, однако, новых применений модульных арифметики и алгебры. 19.9.1. Основы ускорения обработки Связаны с китайской теоремой об остатках теории чисел и ее вариантом для многочленов (см. разд. 28.2). В этом смысле говорят о модульной арифметике, модульной алгебре и их применениях. Модульная арифметика.
Наряду с цифровым представлением цвзых чисел через двоичные (и т.п.) разряды 15=1.2 м1.2 +12 +1.2 и 15=1.10 +510, используют их представление через остатки от деления на взаимно простые числа (модули). Остатки числа — 15 по модулям 3, 4, 5 составят ь/!=О, Д2=3, ЬЗ!=О.Числа ц восстанавливают в виде линейных комбинаций остатков (вычетов) ь)!, Д2, ...
в пределах произведения модулей аналогичной с (19.18). Коэффициенты дискретной свертки (19.18) можно найти поэтому, перемножая полиномы. Свертки(!9.18) называют линейными. Циклическая свертка. Формируется уже аналоговым КИХ-фильтром при воздействии на него периодического входного напряжения. Так, при четырехкратном повторении входной выборки у(з) = з + 2 на фильтр с импульсной характеристикой ч(з) = 2з + ! возникает выходной эффект и (з) =з + 2з +з + 24 + з + 2з + »+ 2. 7 6 5 4 3 2 Проявляется период 2,1 с отступлениями только на краях свертки. Для перехода от линейной свертки к циклической с периодом и используют приведение ее многоч»ена по людулю з — 1 (разд. 28).
Элементы циклической свертки с длиной циклов и находят по формуле п-! и'(/с) = Х'"мУ!»-м) (19.49) в!=о где (/с — т) = /с — т (шод и). Циклические свертки используют для пол/чепца линейных сверток с протяженностью не выше периода циклической, как в (19.23), 19.9.2. Применение модульной алгебры многочленов лри вычислениях коротких сверток Длинные свертки сводят к коротким (разд. 19.9.4).
Эффективность их вычисления повышают за счет: ° модульной алгебры многочленов; ° циклических сверток; ° специальных приемов вычислений. Линейная свертка двухэлементных последовательностей. Пусть свертываются двухэлемеитная импульсная характеристика фильтра ч(з) = ггз + чо и двух- элементный сигнал у(з) = у из + уо! 2 и(з) = и! 2з + и! !з + и! о = (ч !з + ч О) (У!з + уо). (19 49а) Вычисление произведения зв(з) требует четырех операций умножения и одной операции сложения: 7»2г М!УЬ М ! =Ч!УО+ЧОУЬ И'О=ЧОУО. Модульная алгебра позволяет сократить число операций умножения до трех. увеличивая числа операций сложения до трех.
Используя модули з, з — 1, з м а (разд. 28.2), вводят остатки от деления перемножаемых двучленов на модУли: чо, то + гь чо — а чь Угн Уо + Уь Уо — ау! и произведения(19.49а): 01 = чОУО 02 (чо+ ч !)(704 У!) ьзз =(чо — ач !)(уо-ау!). Используя (28.9), находят коэффициенты (19.49а) при а = 1 и при а -+ со; !го = Д! ], »г ! = 0,5Я вЂ” 0,5Д! и 2= -Я+0 5Д2 +05Дз(,,' и 0=0! ),,„, сг! =Ж-Й-ч!у! (, 2 1 У! 1д»т Требуются три операции умножения и пять операций (а = 1) сложений или три операции (а -+ сс) сложения. 308 Циклическая свертка двухэлементных последовательностей. Пусть по-прежнему свертываются последовательности»(з) = »гз и- »О и у(з) = у1з в уо но периодические и используется китайская теорема об остатках для двух взаимно простых модулей з — 1 и з ь 1. 2 Их произведение з — 1 обеспечивает цикличность свертки при длине цикла 2.
Вычеты перемножаемых многочленов»!з +»О и у!в + уо по этим модулям составляют» о +» 1, » о — » и уо + уь уо — у!. Вычеты произведения н(з) находятся в виде Д1 = (» о +» 1)(уо + У1), Д2 = (»о — »!)(уо — у1) и вычисляются посредством двух умножений. Восстановив двучлен в(з) согласно китайской теореме об остатках (28.8), можно найти коэффи- 1 0 циенты приз=з, з = 1; в! = 0,5()! — 0,5Д2, и о = 0,5Д1+ 0,5Щ. (19.50) Число умножений сократилось с трех (при линейной свертке) до двух за счет увеличения числа сложений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
