Автореферат (1150825), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Получена полная свободнаяэнергия ячейки ХЖК в сферических координатах:∫︁⊥ 2= 22 0 +[()(′ )2 + ()(′ )2 − 2()′ ]−22 0)︀⊥ 2⊥ ∑︁ (︀ 0() 20() 2−+(()−)+(()−), (6)∫︀2=1,28 (⊥ + cos2 )−1 0где() = 11 sin2 + 33 cos2 ,(7)() = sin2 (22 sin2 + 33 cos2 ),(8)() = 0 22 sin2 ,(9) – электрическое напряжение, подаваемое на подложки, – толщина ЖК-ячейки. Выражение (6) справедливо и для НЖК, лишь необходимо положить 0 = 0. Минимизируясвободную энергию (6), можно получить конфигурацию директора для различных по конструкции ячеек.9Для нахождения распределения директора в ЖК-ячейках используется два способа:первый основан на разложении в ряд Фурье полярного угла директора, второй - на применении метода конечных разностей по переменной .В планарной твист-ячейке с закруткой директора на 90∘ с жесткими граничными условиями ((0) = () = /2), используя уравнения Эйлера-Лагранжа, из уравнения (6) исключается азимутальный угол = ().
После этого полная свободная энергия системыпринимает вид:⊥= 22 02 +22∫︁0(︂)︂ 2 ()⊥ ( − 2 )2′ 2()( ) −+ ˜ () +.()21(10)Для нахождения минимума свободной энергии (10) угол () раскладывается в ряд Фурье.С учетом граничных условий разложение будет представлено в виде ряда по синусам:∞ ∑︁ sin (2 − 1).() = +2 =1(11)Задача минимизации состоит в поиске коэффициентов ряда . Для решения этой задачи написана программа в Microsoft Office Excel. Возможности работы в Excel ограниченыколичеством параметров минимизации (не более 200 параметров).
В случае поиска конфигурации в планарной твист-ячейке использование программы в Excel удобно вследствиесравнительно небольшого количества переменных, по которым выполнялась минимизация. Здесь был использован встроенный пакет для поиска минимума функционала. Вчастности, для поиска конфигурации директора использовался метод сопряженных градиентов. При расчетах учитывается первые 40 членов ряда (11). Коэффициенты ряда достаточно быстро убывают c ростом : 1 /5 ≈ 104 , 5 /10 ≈ 103 , 10 /15 ≈ 103 . В этомслучае можно было бы рассматривать и меньшее количество членов ряда. Для твистячейки также была написана программа на языке С, позволяющая использовать методконечных разностей и проводить минимизацию по большему количеству параметров.
Впрограмме используется метод минимизации, предложенный в [2].Вторая рассматриваемая ячейка – гомеопланарная ячейка НЖК. На нижней грани директор ориентирован по нормали к поверхности подложки, сцепление полагается мягким,на верхней грани директор лежит в плоскости подложки, а сцепление – жесткое. Полнаяэнергия для этой системы выражается следующим образом:∫︁]︁⊥ (1) 2⊥ [︁′2˜(())( ()) + (()) + (0). =2 02 (12)Для нахождения минимума функционала (12) строится сетка величин = (/2 ), = 0, 1, ..., 2 − 1, где – целое число, 2 = /2.
Тогда задача сводится к поиску . Дляопределения конфигурации директора написаны программы на языке C и в Excel, позволяющие проводить минимизацию свободной энергии по многим переменным. Результаты,полученные различными методами минимизации, совпадают. Минимизация полной энергии проводится методом сопряженных градиентов и методом, предложенным в работе [2],с = 50.10В работе рассматриваются определенные конструкции ячеек для сравнения с экспериментом, который проводился на кафедре молекулярной биофизики и физики полимеровфизического факультета СПбГУ, под руководством профессора А.П.
Ковшика. Автор неучаствовал в получении экспериментальных данных.Результаты минимизации полной свободной энергии различных ЖК-ячеек представлены в работе в виде зависимостей () и ().Зная конфигурацию директора при различных значениях электрического напряжения, можно получить численно зависимость емкости ячеек от приложенного электрического напряжения. Определение значения емкости, которая представляет собой интегральную характеристику, проводится по формуле Симпсона с помощью программы в Exсel ипрограммы на языке С (для контроля получаемых результатов). Программы позволяютзадавать различные значения для таких параметров системы, как диэлектрические проницаемости, модули Франка, энергии сцепления с подложками, величина электрическогонапряжения, толщина ячейки, площадь подложек, шаг спирали, положения осей легкогоориентирования. Также можно варьировать количество параметров, по которым проводится минимизация полной энергии при поиске конфигурации директора для заданногозначения электрического напряжения.
С увеличением этого количества заметно возрастает время минимизации.Теоретические и экспериментальные зависимости электрической емкости ячеек от приложенного электрического напряжения приведены на Рис. 1 и 2.Также в работе приводится относительное среднеквадратичное отклонение ∆ результатов расчетов электрической емкости для различных значений энергии сцепления отрезультатов эксперимента.Предлагается для описания светочувствительных ЖК [1] использовать приведенныйвыше подход. В этом случае, если система будет испытывать под действием света переходв состояние с другим направлением спирали, необходимо учитывать неоднородность распределения директора по двум направлениям, n(r) = n(, ).
Предполагается, что вдольоси система остается однородной.Тогда функционал свободной энергии Франка принимает вид: =2∫︁ ∫︁0ˆ (, )Ψ(, ),Ψ (, )(13)0где , , – размеры системы вдоль осей , и соответственно, Ψ – пятимерныйвектор⎛ ⎞⎜⎟⎜ ⎟⎜⎟⎟Ψ=⎜⎜ ⎟ ,⎜⎟⎝ ⎠0 =, =,(14)ˆ – симметричная матрица 5 × 5, сзначок – обозначает операцию транспонирования, 11Рис. 1: Зависимость электрической емкости 90∘ твист-ячейки кирального ЖК с жесткойпланарной ориентацией от приложенного напряжения. ○ – экспериментальные данные начастоте измерений 1 кГц, – экспериментальные данные на частоте измерений 10 кГц.Сплошная линия – численный расчет емкости для 1 кГц, пунктирная линия – численныйрасчет емкости для 10 кГц. Толщина ячейки = 13 мкм; площадь поверхности подложки⊥ = 10.1 см2 ; диэлектрические проницаемости ⊥ = 6.95, ‖ = 19.23; значения модулейФранка для ЖК-1466: 11 = 1.1 · 10−6 дин, 22 = 0.38 · 10−6 дин, 33 = 0.9911 .Рис. 2: Зависимость электрической емкости гомеопланарной ячейки НЖК от приложенного напряжения.
○ – экспериментальные данные на частоте измерений 1 кГц, –экспериментальные данные на частоте измерений 10 кГц. Сплошная линия – численныйрасчет емкости для 1 кГц, пунктирная линия – численный расчет емкости для 10 кГц. Площадь поверхности подложки ⊥ = 10.2 см2 ; толщина ячейки = 22.5 мкм. Все остальныеконстанты совпадают с используемыми для Рис. 1.12элементами, зависящими от тригонометрических функций полярного и азимутального углов.Как и ранее строится сетка величин = ( /2 , /2 ), = ( /2 , /2 ), = 0, 1, ..., 2 , = 0, 1, ..., 2 , где , – целые числа.
Тогда задача сводится к поиску , с помощью прямой минимизации свободной энергии (13) и использования методаконечных разностей. Написана программа на языке С, позволяющая реализовать минимизацию свободной энергии Франка ЖК-ячейки. Программа использует метод многомернойминимизации, предложенный в [2]. В ней также можно задавать различные параметрыячейки, такие как модули Франка, диэлектрические проницаемости и т.д.В третьей главе рассматривается распространение света в ЖК-ячейках во внешнем электрическом поле, превышающем порог Фредерикса. Изучается влияние искажения структуры ЖК на особенности распространения необыкновенного луча. ЖК-ячейкиобладают такой же конструкцией, как и ранее. Главные значения тензора диэлектрической проницаемости ˆ, определяющего оптические свойства среды, берутся на оптическойчастоте измерений.
Среда полагается немагнитной.НЖК по своим оптическим свойствам являются одноосными жидкими кристаллами,ХЖК в свою очередь можно рассматривать как локально одноосную систему. Распространение света в таких системах описывается уравнениями Максвелла. Нас интересуютрешения волнового уравнения для поля световой волны. Рассматривается случай, когдаволна падает на плоскость = 0 (нижняя грань ячейки). Будем считать, что в нашейсистеме присутствует большой параметр равный отношению шага спирали к длине световой волны Ω = 0 /. Поэтому мы решаем волновое уравнение с помощью метода ВКБ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
