Диссертация (1150763), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Также он должен обладать конечной энергией:E=∞!−∞|g(x)|2 dx < ∞.(1.15)Исходная функция может быть восстановлена из ее вейвлет-преобразования W (s, u) посредством обратного преобразования, которое определяетсяследующим образом:f (x) = Cg −1∞!∞!W (s, u)g−∞ −∞12x − u 1 duds.ss1/2 a2(1.16)Материнские вейвлетыРезультат вейвлет-преобразования исследуемой функции зависит от выбора материнского вейвлета, выбор же материнского вейвлета определяетсяконкретной задачей анализа сигнала: ведется ли поиск квазипериодическихкомпонентов или отдельных всплесков.Самым известным вейвлетом является вейвлет «мексиканская шляпа»(Mexican Hat, MHAT), Рисунок 1.3:g(x) = (1 − |x|2 ) exp(−|x|2 /2).(1.17)351201−10−4.8−2.40t, с2.44.800.831.672.5 3.33ν, рад/с4.175Рис.
1.3. MHAT вейвлет (слева) и его Фурье-преобразование (справа) [111]Введем также обобщенный MHAT-вейвлет:G(x) = (1 − |x|m ) exp(−|x|m /m),(m > 0),(1.18)также удовлетворяющий условиям (1.14).Преобразование Фурье MHAT-вейвлета, которое показано на Рисунке 1.3,имеет следующий вид:ĝ(ω) =√2πω 2 exp(−ω 2 /2).(1.19)Вейвлет-преобразование, описанное в этой главе, использовалось намидля анализа переменности спектров линий в главе 3.1.2. Поиск магнитного поляФотографическая методикаИнформация о магнитном поле получается из измерений сдвига левоциркулярно поляризованного и правоциркулярно поляризованного профилей.
Величина смещения ∆λ может быть определена через величину напряженностиэффективного магнитного поля Bl (в Гс) по формуле∆λ = ±4.67 · 10−13 geff Bl λ2 ,(1.20)36где ∆λ (Å) — разность левой и правой поляризаций; λ (Å) — лабораторнаядлина волны; geff — эффективный фактор Ланде, который вычисляется поформулеgi + gk (gi − gk )(Ji (Ji + 1) − Jk (Jk + 1))+,(1.21)24где gi , gk и Ji , Jk — факторы Ланде и квантовые числа полных моментовgeff =верхнего (i) и нижнего (k) уровней.Параметр Стокса V может быть получен по следующей формуле:V (w) = 12 (IL − I R ),(1.22)где IL , IR — нормированные интенсивности лево- и правоциркулярно поляризованных компонентов линии.Данный метод можно применять к отдельным линиям, а результат усреднить, но можно также использовать усредненные по всему спектру профилилинии и параметра Стокса V .
Есть два наиболее распространенных способапостроения средних профилей, описанных ниже.1.2.1. Обращение свертки наименьших квадратовМетод LSD (least squares deconvolution, обращение cвертки наименьшихквадратов) впервые предложен в работе [96]. В предположении этого методавсе линии спектра имеют примерно одинаковую форму, только разный масштаб, такое приближение может быть использовано при относительно слабомполе. Если мы также предположим, что блендированные линии в спектрезвезды складываются линейно, то весь спектр Y (v) может быть описан каксумма сдвинутых и масштабированных профилей Z(v):%Y (v) =wi δ(v − vi )Z(vi ).(1.23)iЗдесь Y — модельный спектр: 1−I/Ic или нормализованный поляризованныйспектр V /Ic , где Ic — континуум.37Величина vi = c∆λi /λi — позиция в пространстве скоростей: ∆λi здесь —сдвиг относительно центра i-й линии.
Величина wi — относительный вес линии, описывающий ее вклад в общий спектр.Уравнение (1.23) можно переписать как свертку модельной функцииM (v) =%iwi δ(v − vi )(1.24)и среднего профиля Z(v):M =M ∗Z(1.25)или в виде произведения вектора и матрицы:'Y' = M̂ · Z,(1.26)' — средний профиль, длиной m;где Y' — модельный спектр из n элементов; ZM̂ — модельная матрица (маска) размером n×m, указывающая положения иинтенсивности линий. Величина m обычно составляет 102 –103 , n (количествопикселей в наблюдаемом спектре) может быть 105 –106 .Суть техники LSD состоит в решении задачи, обратной (1.26): мы оцени' исходя из наблюдаемого спектра Y' o , данной маскиваем средний профиль Z,M̂ и статистической неопределенности σ.' может быть оценен путем взвешивания,Вообще средний профиль Zскладывания и усреднения отдельных линий, и результат будет эквивалентен LSD, если в профиле нет блендированных линий, но в реальности этопочти всегда не так.Нами был реализован метод LSD согласно [114].
Мы использовали линей'ную интерполяцию для того, чтобы перевести зеемановский профиль Z(v)вединую сетку длин волн.Маска M̂ была построена следующим образом: спектральная линия свесом wl и центральной длиной волны λl дает следующий вклад в двухдиа-38гональную матрицу M̂ :Mi,j = wl (vj+1 − vi )/(vj+1 − vj ),Mi,j+1 = wl (vi − vj )/(vj+1 − vj ),(1.27)vi = c(λi − λl )/λl и vj ! vi ! vj+1 .(1.28)гдеЗдесь индекс i соответствует пространству длин волн наблюдения, а j пробегает все точки значения лучевой скорости LSD-профиля.
Общая маска M̂получается сложением соответствующих элементов, полученных по формуле(1.27), для всех линий в спектре звезды. Список линий рассчитывается на основе параметров атмосферы звезды: микротурбулентности, электронной температуры, содержания тех или иных элементов и т. д., например, с помощьюVALD: http://vald.astro.uu.se/.Проблема нахождения и подгонки среднего профиля Z(v) для данноймаски M̂ и наблюдения Y o эквивалентна минимизированию функции χ2 :' T · Ŝ 2 · (Y' o − M̂ · Z)' → min,χ2 = (Y' o − M̂ · Z)(1.29)где Ŝ — диагональная квадратная матрица обратных ошибок: Sii = 1/σii дляиндивидуальных пикселей наблюдаемого спектра.Для нахождения Z и минимизации χ2 используем метод наименьшихквадратов:' = (M̂ T · Ŝ 2 · M̂ )−1 · M̂ T · Ŝ 2 · Y' o .Z(1.30)M̂ T · Ŝ 2 · Y' o в (1.30) — взвешенная кросс-корреляция маски и наблюденногоспектра; M̂ T · Ŝ 2 · M̂ — автокорреляционная матрица.Таким образом, мы получаем средний зеемановский спектр.Данный алгоритм был нами реализован на языке Python и использовандля оценки поля в главе 2.391.2.2.
Анализ главных компонентовPrincipal component analysis (PCA) — анализ главных компонентов. LSDне единственный способ очистки спектра от шума и получения среднего профиля: в работе [115] было предложено применение метода PCA для очисткиспектра от шума.Представим параметр Стокса (например, V ) как вектор длиной Nλ . Рассмотрим матрицу Ô размером Nobs ×Nλ , где Nobs — количество наблюдаемыхлиний.
Матрица содержит в строках данные о каждой из наблюдаемых линий, в идеале Nobs - Nλ ; данных условий можно добиться с использованиемэшелле-спектрографов.Главные компоненты матрицы Ô являются собственными векторами данной матрицы, то есть мы раскладываем Ô по ортогональному базису. Таким образом, метод PCA сводится к диагонализации матрицы Ô, но так какNobs - Nλ , наша матрица не квадратная по определению.
Более того, при использовании сингулярного разложения из-за большой размерности матрицымогут возникнуть вычислительные трудности.Может быть показано [115], что правые сингулярные вектора Ô равныправым сингулярным векторам матрицы:X̂ = ÔT · Ô.(1.31)Матрица X̂ имеет размерность Nλ × Nλ . То же справедливо и для левыхсингулярным векторов, которые являются собственными векторами X̂ ) == Ô · ÔT .
Матрица X̂ ) имеет размерность Nobs × Nobs и обычно много большематрицы X̂.'iТаким образом, для i-го главного компонента B' i = ki B' i,X̂ · B(1.32)где ki — i-е собственное число. Все собственные вектора можно поместить в40матрицу B̂ размером Nλ × Nλ , содержащюю собственные вектора как столбцы.Так как эта матрица содержит базис наблюдения, мы можем записатьследующее выражение:Ô = Ĉ · B̂ T ,(1.33)где Ĉ — матрица коэффициентов проекции матрицы наблюдений в базиссобственных векторов, которая может быть получена как Ĉ = Ô · B̂.Таким образом, мы получили разложение наблюдаемого спектра по ортогональным векторам. Фильтрация шума состоит в использовании толькопервых собственных векторов (B̂ ) ):Ô) = Ĉ ) · B̂ )T ,(1.34)где матрица O) — матрица наблюдений после удаления шума; матрица Ĉ ) аналогична Ĉ и определяется как Ĉ ) = Ô · B̂ ) .
В целом выбор количества первыхсобственных векторов является эмпирической задачей. Пример разложенияпо собственным векторам представлен на Рисунке 1.4.PCA можно представить как обобщение основной идеи LSD, когда каждая спектральная линия является линейной комбинацией нескольких функций.Описанные методы LSD и PCA являются не самыми простымы способами очистки спектра, кроме них также разработаны, например, методы [116]нелинейной свертки (в отличие от LSD).41S/N = 3.360−4−2024v, км/сРис. 1.4. Пример первых четырех собственных векторов (снизу вверх) из работы [115] дляслучая S/N = 3.360 (параметр Стокса V )1.3. Модифицированный дифференциальный методВ методе МДМ используется стандартное соотношение между параметрами Стокса V , I и производной по профилю [117]:V (λ)1 dI(λ)= −∆λB=I(λ)I(λ) dλ! " 1 dI(λ)2 ',= −K0 geff λ0 BlI(λ) dλ−1где K0 = e/4πme c2 = 4.6686 · 10−13 Å(1.35)Гс−1 (e — заряд электрона; me — егомасса; c — скорость света); geff — эффективный фактор Ланде; λ0 — центральная длина волны линии.! "'lВ оригинальном дифференциальном методе (далее ДМ) значение Bопределяется методом наименьших квадратов из выражения (1.35).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
