Диссертация (1150763), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Последнее может вести к переоценке электронной концентрации плазмы в области излучения рентгеновских линий neдо 2-х порядков.27Глава 1Методы анализа переменности профилейлиний и поиска магнитного поля1.1. Анализ переменностиНаиболее простой способ анализа переменности — это построение динамических спектров (Рисунки 1.1, 2.1 и 3.2) и наложение друг на другаиндивидуальных или разностных профилей (Рисунок 1.1). При высоком соотношении сигнал/шум переменность будет заметна невооруженным глазом.Но для определения количественных характеристик переменности (амплитуды, частоты и т.
д.) используются другие методы: Фурье-анализ, вейвлет-анализ, спектр-анализ временных вариаций, или temporal variance spectrum analysis (TVS), и его модификации. О них мы расскажем ниже.1.1.1. Методы TVS и smTVSВ работе [108] был предложен метод обнаружения переменности приотсутствии видимых на глаз изменений — TVS-анализ. В методе сравниваетсястандартное отклонение в линии и соседнем с ней континууме. TVS-спектропределяется выражениемN%&1 wi Fi (λ) − F (λ)TVS (λ) =N − 1 i=1( N'2 %i=1wi ,(1.1)здесь N — количество полученных спектров, Fi (λ) — нормированный на континуум поток1 в i-м спектре на длине волны λ, wi — относительный вес i-го1В главах 2 и 3 вместо «нормированного потока» использовалась «нормированная интенсивность»,что численно одно и то же.28SiIII 45681Fλ /Fcont0.950.90.850.80.015–(Fλ − F)λ /Fcont0.0100.0050−0.005−0.010−0.0150.20.40.15tobs , сут.0.30.10.050.200.1−0.050−0.1−60−40−200204060V, км/сРис.
1.1. Индивидуальные, разностные профили и динамический спектр (сверху вниз) линии SiIII λ 4567.82 Å в спектре звезды ι Her в шкале доплеровских смещений от централинии, в км/с. Отклонения индивидуальных профилей линий от среднего показаны оттенками серого. Светлым областям на рисунке соответствуют участки профилей, лежащиевыше уровня среднего профиля, темным — ниже [107]29наблюдения, обратно пропорциональный величине квадрата стандартного отклонения F (λ) в области длин волн вблизи линии, переменность профилякоторой исследуется, F (λ) — усредненный по всем наблюдениям поток надлине волны λ:1F (λ) =N −1N%i=1wi Fi (λ)(N%wi .(1.2)i=1Чтобы определить, является ли увеличение амплитуды вариаций профилей реальной переменностью, мы берем малый уровень значимости α & 1 гипотезы о том, что увеличение амплитуды вызвано случайной вариацией шумового компонента профиля. Величина TVS(λ) имеет распределение χ2 /(N −1)при N − 1 степенях свободы (так как является среднеквадратичной суммойN − 1 независимых величин).
Мы определяем χ2α таким образом, чтобы вероятность P (χ2 /(N − 1) > χ2α ) = α. В результате если величина TVS(λ) превы-шает χ2α , то гипотеза о переменности профиля линии принимается. То естьесли для заданного уровня значимости величина стандартного отклоненияв линии превышает его величину в континууме, то переменность считаетсяобнаруженной.Если амплитуда переменности профилей линий достаточно велика, товеличина TVS в линии превышает значение TVS в соседнем континууме,если же амплитуда TVS мала по сравнению с шумовым компонентом, тоанализ TVS не может дать определенного ответа на наличие или отсутствиепеременности.
Поэтому было предложено усовершенствование метода TVSпод названием smTVS в работе [40].Перед получением спектра временных вариаций индивидуальные спектры были сглажены с широким, по сравнению с размером пикселя δλ, гауссовым фильтром S. При этом амплитуда шумового компонента уменьшается+в S/δλ раз.30TVS 1/20.020.0100.010(б)19 Сер, 6−7 сентября 2001, Hα0.0050.010TVS 1/2(а)19 Сер, 6−7 сентября 2001, Hα65436563(в)α Cam, 5−6 сентября 2001, Hα0.0050065830.002654365636583(г)α Cam, 5−6 сентября 2001, Hα0.00165456565658506545λ, Å65656585λ, ÅРис. 1.2. (а), (б): TVS- и smTVS-профилей линий Hα в спектре звезды 19 Сер соответственно.
(в), (г): то же для звезды α Cam. Ширина фильтра 1 Å [40]Спектр smTVS представляется выражением [109]( n, n'&%%21wi ,smTVS(λ, S) =wi Fi (λ, S) − F (λ, S)N − 1 i=1i=1(1.3)здесь обозначения аналогичны уравнению 1.1, за исключением величиныFi (λ, S), которая также сглажена с гауссовым фильтром шириной S.При S = 0 величина smTVS соответствует величине TVS, введенной вработе [108].TVS и smTVS показаны на Рисунке 1.2: переменность профилей линииHα в спектре звезды 19 Сер хорошо видна в обоих случаях, но переменностьпрофилей линии Нα в спектре звезды α Cam видна только с помощью smTVSпри ширине фильтра 1 Å.Метод smTVS позволяет детектировать микропеременность с амплитудой 1% и меньше в единицах интенсивности континуума.Описанная методика позволяет только определить наличие или отсутствие переменности, для того чтобы выяснить, является ли переменность регулярной, стохастической и т.
д., а также выявить параметры переменностии их изменение со временем, используется Фурье- и вейвлет-анализ.311.1.2. Методы Фурье-анализаНаиболее распространенным способом изучения переменности в данныймомент является Фурье-анализ и различные его модификации, в частностиалгоритм CLEAN [110], который позволяет выделить реальные гармоники изполного Фурье-спектра.Частотные свойства случайной функции f (t) определяются прямым преобразованием Фурье [111]:1fˆ(ω) = √2π∞!exp(−iωt)f (t)dt.(1.4)−∞Обратное преобразование Фурье выглядит почти так же:1f (ω) = √2π∞!exp(iωτ )fˆ(τ )dτ.(1.5)∞Квадрат амплитуды преобразования Фурье (спектр мощности) P (ω) =...
ˆ .2= .f (ω). определяет распределение исследуемого сигнала по частотам ω == 2πν.При проведении реальных измерений вместо функции f (t) мы получаемдискретное множество временных точек ti , поэтому использование выражения (1.4) невозможно. По этой причине для определения частотных свойствдискретного процесса используется какая-либо оценка, например периодограмма Шустера.Пусть временной ряд представляет собой центрированный случайныйпроцесс, созданный дискретным множеством реализаций:F (t) = {fk (ti )}Mp=1 , 0 ! t ! T.Тогда периодограмма Шустера [112].2 0/.M −1.%.1..D(ω) = 2 .f (ti ) exp(−iωti ).
,..Mi=0(1.6)(1.7)32здесь угловыми скобками обозначена операция определения математическогоожидания случайной величины, M — число наблюдений. Причем между периодограммой Шустера и спектром мощности существует соотношение [112]∞!D(ω) =−∞g(ω ) )W (ω − ω ) )dω ) ,(1.8)где W (ω) — спектральное окно:.2.M −1..%1 ..exp(−iωti ). .W (ω) = 2 ..M .(1.9)i=0В реальной ситуации имеется только одна реализация случайного процесса F (t) и соотношение (1.7) точно не выполняется.
В общем случае к правой части этого соотношения должно быть добавлено дополнительное слагаемое D0 (ω) [112]. В большинстве случаев этим слагаемым можно пренебречь.При численном расчете обычно переходят от угловой частоты ω к обычной ν = 2πω, тогдаW (ν) = Uν2 + Vν2 ,(1.10)гдеN −11 %Uν =cos(2πνtk )fk ;Nk=0N −11 %Vν =sin(2πνtk )fk —N(1.11)k=0это дискретные спектры мощности, являющиеся сверткой истинного спектраФурье и спектрального окна, которое является характеристикой используемой сетки. В случае неравномерных отсчетов наблюдений в спектре Фурьемогут появиться ложные пики.
Для устранения ложных пиков используетсяалгоритм CLEAN [110].Метод основан на исследовании статистических свойств периодограммыбелого шума, исходя из этого производится отбор значимых пиков на грязномспектре; модификация метода, предложенная в [112], позволяет восстанавливать спектр даже при наличии больших пропусков во временном ряде.33В рамках данной работы в главах 2 и 3 был построен разностный спектр∆I(v) для заданного профиля в момент времени t в шкале длин волн.
Длякаждой линии мы рассчитали плотность спектра мощности Фурье, для оценки была использована периодограмма Шустера, для очистки спектра мощности использовалась модификация алгоритма CLEAN из [112]. Перед построением спектра мощности профили сглаживались с гауссовым фильтромразличной ширины.1.1.3. Метод вейвлет-анализаВейвлет-анализ является одним из наиболее мощных методов анализасигналов: он используется для анализа временных рядов, сжатия изображений, больших массивов данных и т. д. В нашей работе в главе 3 мы использовали вейвлет-анализ для оценки размеров структур в атмосфере ε Per A.Главным недостатком преобразования Фурье являлось то, что его ядро exp(−iωt) не локализовано во времени, а имеет частотную локализацию[111], поэтому, например, Фурье-анализ не отличает сигнал, представляющийсобой сумму двух синусоид, от сигнала, состоящего из двух последовательновключенных синусоид.
В отличие от Фурье-анализа, вейвлет-анализ позволяет получить информацию как о спектральных характеристиках искомыхструктур, так и об их локализации в пространстве параметров. Здесь мы рассмотрим только интегральное вейвлет-преобразование. Дискретное вейвлетпреобразование описано, например, в [113].Вейвлет-преобразование действительной, квадратично интегрируемой одномерной функции f (x) действительной переменной x [111]:Wf (s, u) =1s1/2∞!−∞f (x)g∗12x−udx,s(1.12)где g(x) — действительная функция, называемая «материнский вейвлет»34(wavelet), удовлетворяющая представленным ниже условиям; g ∗ (x) — ее комплексное сопряжение. Вейвлет-преобразование является семейством свертокисходного сигнала с масштабированными и сдвинутыми фильтрами gs (x).Материнский вейвлет g должен удовлетворять следующим условиям:Cg = 2π∞!0| ĝ(ω) |2Таким образом,ĝ(0) = 0,или∞!dω< ∞.ω(1.13)g(x)dx = 0.(1.14)−∞Здесь ĝ — Фурье-преобразование вейвлета.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
