Диссертация (1150745), страница 10
Текст из файла (страница 10)
е. все собственные числа матрицы Ā по модулю меньше единицы.Выберем произвольные положительно определенные матрицы W , W1 и W2 .Предположим, что V — положительно определенное решение уравнения ЛяпуноваĀT V Ā − V = −2W − F1T W1 F1 − F2T W2 F2 ,т. е.ĀT V Ā − V + F1T W1 F1 + F2T W2 F2 = −2W.На основании непрерывности можно утверждать, что существует такое числоσ ∈ (0, 1), что имеет место матричное неравенствоĀT V Ā − σV + σ 1−h F1T W1 F1 + F2T W2 F2 < −W.Будем считать, что число σ выбрано именно так, и построим функционал v,который на движениях замкнутой системы принимает видv(k) =kp(k)k2V+h−1Xκ=0σ −κ ku1 (k − h + κ)k2W1 + ku2 (k − 1)k2W2 .(4.8)В исходных переменных этот функционал имел бы следующую более сложнуюформу:2h−1X hh−1−κh−1v(k) = A x(k) +ABu1 (k + κ − h) + A Bu2 (k − 1) +Vκ=0+h−1Xκ=0σ −κ ku1 (k − h + κ)k2W1 + ku2 (k − 1)k2W2 .744.1.3Устойчивость регулятора с компенсациейзапаздыванияВ следующих двух леммах доказывается, что функционал (4.8) обладаеттребуемыми для доказательства устойчивости свойствами (верхней и нижнейквадратичными границами).
Для краткости введем обозначение u1 (k − h) u1 (k − h + 1)...U (k) = . u1 (k − 1) u2 (k − 1)Лемма 18. Справедлива оценкаv(k) 6 Mv kx(k)k2 + kU (k)k2 ,гдеn 222Mv = max Ah V λmax (V ), Ah−1−κ B V λmax (V ), Ah−1 B V λmax (V ),σ1−hoλmax (W1 ), λmax (W2 ) : κ = 0, 1, . . . , h − 1 .Доказательство.
Оценка получается из (4.8) применением неравенства Юнга,неравенства треугольника и неравенства Коши — Шварца.Лемма 19. Справедливы оценкиv(k) > mu kU (k)k2 ,v(k) > mx kx(k)k2 ,гдеmu = min λmin (W1 ), λmin (W2 ) ,−1 h h T−1−1mx = λmin (A ) V + mu G A ,75G = QQT ,h−1h−2h−1Q = A B, A B, . . . , AB, B, A B .Замечание. Нижняя оценка функционала через полную норму kx(k)k2 +kU (k)k2 следует из леммы 19:v(k) >min{mx , mu }kx(k)k2 + kU (k)k2 .2Доказательство. Начнем с оценкиv(k) > kp(k)k2V + mu kU (k)k2 ,(4.9)где переменная p(k) связана с x(k) и U (k) равенством (4.3):p(k) = Ah x(k) + QU (k).Первое неравенство леммы получается отбрасыванием kp(k)k2V в (4.9).Чтобы получить второе неравенство леммы, необходимо оценить снизу правую часть неравенства (4.9).
Для этого рассмотрим вспомогательную задачуоптимизации:kpk2V + mu kU k2 → min .UЛюбой вектор U может быть представлен в виде суммы двух компонент: своейпроекции на строки Q и ортогональной составляющей, т. е.U = QT c + Ū ,где c — некоторый n-мерный вектор, а Ū удовлетворяет условию ортогональностиQT Ū = 0.Такое представление вектора U позволяет записатьp = Ah x + Gc, 2kU k2 = cT Gc + Ū > cT Gc.76Следовательно,2v > kGck2V + mu cT Gc + 2cT GV Ah x + Ah xV =2= cT (GV G + mu G)c + 2cT GV Ah x + Ah xV . (4.10)Минимум этой оценки достигается, когда c удовлетворяет уравнению(GV G + mu G)c = −GV Ah x,которое, вообще говоря, может иметь множество решений. Нам подходит любоеиз них — например,c = −(G + mu V −1 )−1 Ah x.Подставив это значение в (4.10), получимT T−1−1 −1v> A xG + mu V(GV G + mu G) G + mu V −1 Ah x −2−1− 2(Ah x)T V G G + mu V −1 Ah x + Ah xV .hЗаметим, что(GV G + mu G) G + mu V −1−1−1= GV G + mu V −1 G + mu V −1= GV,поэтому оценка упрощается:hv> A xT V − V G G + mu V−1 −1Ah x.Покажем, что матрицаR = V − V G G + mu V −1−1положительно определена:R G + mu V −1 = V G + mu V −1 − V G = mu E,что приводит к равенству−1R = V −1 + m−1.u G77Следовательно, матрица R положительно определена и имеет место требуемаяоценкаT−1 hv(k) > Ah x(k) V −1 + m−1A x(k) > mx kx(k)k2 .u GЛемма доказана.Покажем, что функционал (4.8) убывает на движениях замкнутой системы(4.7).Лемма 20.
На движениях системы (4.7) функционал (4.8) удовлетворяетнеравенствуv(k + 1) 6 σv(k).Доказательство. Рассмотрим выражениеv(k + 1) = kp(k +1)k2V+h−2Xκ=0σ −κ ku1 (k + 1 − h + κ)k2W1 ++ σ 1−h ku1 (k)k2W1 + ku2 (k)k2W2 .Используя уравнение замкнутой системы (4.7) и выражения для управлений(4.5), получимv(k + 1) =kp(k)k2ĀT V Ā+σ1−h F1T W1 F1 +F2T W2 F2+h−2Xκ=0σ −κ ku1 (k + 1 − h + κ)k2W1 .Сумма в правой части допускает оценкуh−2Xκ=0σ −κ ku1 (k + 1 − h + κ)k2W1 ==h−1Xκ=0σ 1−κ ku1 (k − h + κ)k2W1 − σ ku1 (k − h)k2W1 66h−1Xκ=0σ 1−κ ku1 (k − h + κ)k2W1 == σv(k) − σ kp(k)k2V − σ ku2 (k − 1)k2W2 6 σv(k) − σ kp(k)k2V .78Следовательно,v(k + 1) 6 σv(k) + kp(k)k2ĀT V Ā−σV +σ1−h F1T W1 F1 +F2T W2 F2 .Матрица ĀT V Ā − σV + σ 1−h F1T W1 F1 + F2T W2 F2 отрицательно определена, поэтомуv(k + 1) 6 σv(k).Лемма доказана.Из доказанных лемм следует асимптотическая устойчивость замкнутой системы (4.2), (4.6).
На практике, однако, параметры модели системы, т. е. матрицы A и B, по которым строится предсказывающая переменная p, известнынеточно. Покажем, что замкнутая система, тем не менее, остается асимптотически устойчивой при небольших неточностях в вычислении управления, иполучим оценки допустимых неточностей.4.1.4Робастность регулятора с компенсациейзапаздыванияПусть модель, описываемая системой (4.2), точна, и пусть она неизвестна,но доступна ее оценкаx(k + 1) = Âx(k) + B̂u1 (k − h) + B̂u2 (k − 1).Здесь матрицы  и B̂ — аппроксимации соответствующих параметров точноймодели.Регулятор, аналогичный (4.6), построенный по неточной модели системы,имеет вид"u1,2 (k) = F1,2 Âh x(k) +h−1Xκ=0#Âh−1−κ B̂u1 (k + κ − h) + Âh−1 B̂u2 (k − 1) .Сравнивая его с точным регулятором (4.5), замечаем, чтоu1,2 (k) = F1,2 p(k) + ∆u1,2 (k),(4.11)79где"hh − A x(k) +∆u1,2 (k) = F1,2h−1Xκ=0Âh−1−κ B̂ − Ah−1−κ B u1 (k + κ − h) +#+ Âh−1 B̂ − Ah−1 B u2 (k − 1) .Здесь переменную x(k) можно заменить через p(k) и u(·), пользуясь формулой(4.3):−hx(k) = −A p(k) +h−1Xκ=0A−1−κ Bu1 (k + κ − h) + A−1 Bu2 (k − 1).Таким образом, получается"E − Âh A−h p(k) +∆u1,2 (k) = F1,2+h−1Xκ=0Âh−1−κ B̂ − Ah−1−κ B + (Âh − Ah )A−1−κ u1 (k + κ − h) +#+ Âh−1 B̂ − Ah−1 B + (Âh − Ah )A−1 B u2 (k − 1) .Приходим к выводу, что система (4.4), замкнутая неточным регулятором с компенсацией запаздывания (4.11), после предсказывающего преобразования (4.3)естьp(k + 1) = Āp(k) + B∆u1 (k) + Ah−1 B∆u2 (k).(4.12)Видно, что в силу неточности параметров системы, используемых для построения регулятора, запаздывание в системе компенсировалось не полностью, т.
к.прошлые значения управления входят в ∆u1,2 (k). Эти запаздывающие слагаемые, однако, малы, если значения Â и B̂ достаточно близки к A и B. Следовательно, можно ожидать, что устойчивость сохранится при достаточно малойпогрешности модели.Чтобы получить оценку допустимых погрешностей, используем построенный выше функционал Ляпунова — Красовского (4.8). В следующей леммеоценивается убывание этого функционала.80Лемма 21.
Вдоль движений системы (4.2), замкнутой неточным регулятором с компенсацией запаздывания (4.11), функционал (4.8) удовлетворяетнеравенствуv(k + 1) 6 σ̃v(k),где−1σ̃ = σ + 2µ λ−1(V)+m×uminhn o1−h Th−1T× 2 maxĀV B + σ F1 W1 , ĀV A B + F2 W2 +2 + 2µλmax (V ) max kBk2 , Ah−1 B +i1−h+ µσ λmax (W1 ) + µλmax (W2 ) ,µ = max kF1,2 k × nh −h h−1−κh−1−κhh−1−κ × max E − Â A , ÂB̂ − AB + (Â − A )A,o h−1h−1hh−1 Â B̂ − A B + (Â − A )A B : κ = 0, 1, .
. . , h − 1 .Доказательство. Рассмотрим выражениеv(k + 1) = kp(k +1)k2V+h−2Xκ=0σ −κ ku1 (k + 1 − h + κ)k2W1 ++ σ 1−h ku1 (k)k2W1 + ku2 (k)k2W2 .Используя уравнение замкнутой системы (4.12), (4.11), получим2v(k + 1) = Āp(k) + B∆u1 (k) + Ah−1 B∆u2 (k)V ++h−2Xκ=0σ −κ ku1 (k + 1 − h + κ)k2W1 ++ σ 1−h kF1 p(k) + ∆u1 (k)k2W1 + kF2 p(k) + ∆u2 (k)k2W2 =81=kp(k)k2ĀT V Ā+σ1−h F1T W1 F1 +F2T W2 F2+h−2Xκ=0σ −κ ku1 (k + 1 − h + κ)k2W1 +T+ 2p (k) ĀV B∆u1 (k) + Ah−1 B∆u2 (k) +1−h TT+ σ F1 W1 ∆u1 (k) + F2 W2 ∆u2 (k) +2h−1+ B∆u1 (k) + A B∆u2 (k)V + σ 1−h k∆u1 (k)k2W1 + k∆u2 (k)k2W2 .Пользуясь оценкойh−2Xκ=0σ −κ ku1 (k + 1 − h + κ)k2W1 6 σv(k) − σ kp(k)k2Vиз доказательства леммы 20, получаемv(k + 1) 6 σv(k) + kp(k)k2ĀT V Ā−σV +σ1−h F1T W1 F1 +F2T W2 F2 +T+ 2p (k) ĀV B∆u1 (k) + Ah−1 B∆u2 (k) +1−h TT+ σ F1 W1 ∆u1 (k) + F2 W2 ∆u2 (k) +2+ B∆u1 (k) + Ah−1 B∆u2 (k)V + σ 1−h k∆u1 (k)k2W1 + k∆u2 (k)k2W2 <2T< σv(k) − kp(k)kW + 2p (k) ĀV B + σ 1−h F1T W1 ∆u1 (k) +h−1T+ ĀV A B + F2 W2 ∆u2 (k) +2+ B∆u1 (k) + Ah−1 B∆u2 (k)V + σ 1−h k∆u1 (k)k2W1 + k∆u2 (k)k2W2 6T6 σv(k) + 2p (k) ĀV B + σ 1−h F1T W1 ∆u1 (k) +h−1T+ ĀV A B + F2 W2 ∆u2 (k) +2+ B∆u1 (k) + Ah−1 B∆u2 (k)V + σ 1−h k∆u1 (k)k2W1 + k∆u2 (k)k2W2 .Заметим, что в обозначениях лемм 18 и 19∆u1,2 (k) 6 µ kp(k)k + kU (k)k .82Применив к оценке v(k + 1) неравенства1−h Th−1T2p (k) ĀV B + σ F1 W1 ∆u1 (k) + ĀV A B + F2 W2 ∆u2 (k) 66 2 kp(k)k ĀV B + σ 1−h F1T W1 k∆u1 (k)k +h−1T+ ĀV A B + F2 W2 k∆u2 (k)k 6n o1−h Th−1T6 2µ maxĀV B + σ F1 W1 , ĀV A B + F2 W2 ×T× kp(k)k + kU (k)k2,B∆u1 (k) + Ah−1 B∆u2 (k)2 6V26 2λmax (V ) kBk2 k∆u1 k2 + Ah−1 B k∆u2 k2 62 26 2µ2 λmax (V ) max kBk2 , Ah−1 B kp(k)k + kU (k)k ,σ 1−h k∆u1 (k)k2W1 6 µ2 σ 1−h λmax (W1 ) kp(k)k + kU (k)k2иk∆u2 (k)k2W2 6 µ2 λmax (W2 ) kp(k)k + kU (k)k2,приходим к оценкеhn o1−h Th−1Tv(k + 1) 6 σv(k) + 2µ maxĀV B + σ F1 W1 , ĀV A B + F2 W2 +2 + 2µ2 λmax (V ) max kBk2 , Ah−1 B +i22 1−h2+ µ σ λmax (W1 ) + µ λmax (W2 ) kp(k)k + kU (k)k .Используя неравенствоkp(k)k + kU (k)k26 2 kp(k)k2 + kU (k)k2 62−16 2 λ−16 2 λ−1min (V )v(k) + kU (k)kmin (V ) + mu v(k),следующее из леммы 19, получаемv(k + 1) 6 σ̃v(k).Лемма доказана.83Следующая теорема дает оценку робастности системы, стабилизированнойнеточным компенсатором запаздывания.Теорема 10.
Система (4.2), замкнутая управлением с неточной компенсацией запаздывания (4.11), асимптотически устойчива, если число σ̃, определенное в лемме 21, меньше единицы.Доказательство. Следует из лемм 18, 19 и 21.Замечание. Число σ̃, определенное в лемме 21, меньше единицы, если µ достаточно мало́, что достигается близостью Â и B̂ к A и B.4.2Нелинейный случайВ данном параграфе предлагается распространение метода компенсации запаздывания в управлении на нелинейные системы с несколькими запаздываниями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
