Диссертация (1150745)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Санкт-Петербургский государственныйуниверситетНа правах рукописиПономарев Антон АлександровичСистемный анализ регуляторовтипа «предиктор-корректор»05.13.01 Системный анализ, управление и обработка информации(по прикладной математике и процессам управления)Диссертация на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукНаучный руководительдоктор физико-математических наук,профессор А. П. ЖабкоСанкт-Петербург20162ОглавлениеВведение4Обозначения61 Предварительные сведения71.1 Регулятор «предиктор-корректор» . .

. . . . . . . . . . . . . . . .71.1.1Управляемая система . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71.1.2Задача оптимального управления. . . . . . . . . . . . . .81.1.3Метод управления «предиктор-корректор» . . . . . . . . .111.1.4Регулятор с двумя режимами функционирования . . . . .111.2 Обзор литературы . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .121.2.1О регуляторе «предиктор-корректор» . . . . . . . . . . . .121.2.2О существовании оптимального управления . . . . . . . . .131.2.3О реализации в реальном времени . . . . . . . . . . . . . .151.2.4О вычислительном запаздывании . . . . . . . . . . . . . . .171.3 Структура работы . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .192 Анализ нелинейного режима212.1 Оценка области управляемости и выбор горизонта прогноза . . .212.2 Построение явной обратной связи . . . . . . . . . . . . . . . . . .272.2.1Понятия и обозначения, связанные с динамическим программированием . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2.2Вспомогательный результат: непрерывность функции Беллмана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2.32729Шаг 1: оценка близости решения задачи приближенногодинамического программирования к оптимальной обратной связи . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3432.2.4Шаг 2: аппроксимация решения задачи приближенного динамического программирования явной функцией . . . . . .2.2.538Построение субоптимальной обратной связи в заданной близости от оптимальной . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . .3 Анализ квазилинейного режима42453.1 Оптимальное управление в линейно-квадратичной задаче . . . . .463.1.1Построение оптимального управления без ограничений . .463.1.2Оптимальное управление, ограниченное по норме . . . . .483.2 Реализация регулятора в квазилинейном режиме . . . . . . . . . .513.2.1Свойства линейной обратной связи . .

. . . . . . . . . . . .593.2.2Приближенное динамическое программирование . . . . . .624 Компенсация вычислительного запаздывания694.1 Анализ линейного приближения . . . . . . . . . . . . . . . . . . .704.1.1Предсказывающее преобразование состояния . . . . . . . .704.1.2Функционал Ляпунова — Красовского . .

. . . . . . . . . .724.1.3Устойчивость регулятора с компенсацией запаздывания . .744.1.4Робастность регулятора с компенсацией запаздывания. .784.2 Нелинейный случай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .834.2.1Схема компенсации запаздывания . . . . . . . .

. . . . . .4.2.2Устойчивость нелинейного регулятора с компенсацией запаздывания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 Примеры8389925.1 Система первого порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .925.2 Система второго порядка . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .93Заключение964ВведениеПод системным анализом регулятора будем понимать анализ регулятора каксложной системы, на вход которой поступает информация о состоянии управляемого объекта, а на выходе появляется управляющий сигнал. Такое пониманиепротивопоставляется точке зрения на регулятор как на функцию, отображающую выход объекта в управление.Регулятор «предиктор-корректор» основан на повторяющемся решении задачи оптимального управления и поэтому является сложным как с точки зрениясложности вычисления управления, так и с точки зрения анализа.Цели системного анализа регуляторов типа «предиктор-корректор», преследуемые в данной работе, таковы:1.

Практическая реализуемость регулятора в реальном времени. Под реализуемостью понимается:• существование конечного (вероятно, приближенного) алгоритмауправления;• возможность компенсации запаздывания, обусловленного вычислительной сложностью регулятора.2. Устойчивость: начало координат системы, замкнутой приближеннымрегулятором, должно быть асимптотически устойчиво в обычном смысле, и область притяжения должна содержать все допустимые состояния.3. Субоптимальность: приближенный регулятор должен быть в некоторойстепени близок к оптимальному.Для достижения поставленных целей решаются следующие задачи:1.

Оценить область управляемости регулятора с терминальным ограничением (при выполнении некоторых известных условий она также является областью притяжения нулевого решения).2. Найти условия аппроксимации обратной связи «предиктор-корректор»5явной функцией с сохранением устойчивости и достижением заданнойстепени субоптимальности.3. Доказать устойчивость и робастность регулятора с компенсацией вычислительного запаздывания.Используются следующие методы:1. Линейные оценки решений дискретных динамических систем с липшицевой правой частью.2. Для изучения оптимального управления вблизи положения равновесияиспользуется линейно-квадратичная оптимизация.3. Приближенное управление строится с помощью динамического программирования.4. Для оценки близости управления к оптимальному используются аналитические свойства некоторых атрибутов задачи оптимального управления (например, непрерывность и квадратичная аппроксимация оптимального значения функционала качества как функции начального условия).5.

Для доказательства устойчивости и робастности регулятора с компенсацией запаздывания используется метод Ляпунова — Красовского.Результаты, выносимые на защиту:1. Метод оценки области управляемости нелинейного регулятора «предиктор-корректор» (теорема 2).2. Алгоритм аппроксимации обратной связи нелинейного регулятора «предиктор-корректор» (теоремы 8 и 9).3. Оценка робастности метода компенсации распределенного запаздыванияв линейных системах (теорема 10) и обобщение этого метода на нелинейные системы (теорема 12).6Обозначения• M T — транспонирование матрицы M ;• O — нулевая матрица, E — единичная;• λmax (M ) и λmin (M ) — наибольшее и наименьшее собственные числа симметрической матрицы M ;√√pTT• kxk = x x, kAk = λmax (A A), kxkM = xT M x (M — положительноопределенная матрица);• Br = {x : kxk < r}, Br (x̄) = {x : kx − x̄k < r};• ρ(X) = sup{kxk : x ∈ X};∂f (x, u)— матрица частных производных f по u:•∂u∂f1 ∂f2∂fn ∂u1 ∂u1 .

. . ∂u1  ∂f1 ∂f2∂fn...∂f (x, u) ∂u2 =  ∂u2 ∂u2; ..∂u......  . ∂f1 ∂f2∂fn ...∂um ∂um∂umo(x)• o(x) понимается в обычном смысле: lim= 0;x→0 kxk1,x > 0,• sign x = 0,x = 0,−1, x < 0;• conv(x1 , x2 , . . . , xN ) — выпуклая оболочка набора точек.7Глава 1Предварительные сведения1.1Регулятор «предиктор-корректор»1.1.1Управляемая системаВ данной работе идет речь об управляемых системах видаx(k + 1) = f x(k), u(k) ,k = 0, 1, . . . ,(1.1)где x ∈ Rn , u ∈ Rm .Предположение 1. f (0, 0) = 0.Предположение 2.

Функция f допускает выделение линейной части:kf (x, u) − f (x̄, ū) − A(x̄, ū)(x − x̄) − B(x̄, ū)(u − ū)k 66 Mf kx − x̄k2 + ku − ūk2 ,где A(x̄, ū) и B(x̄, ū) — некоторые матрицы, а Mf — константа, одинаковая длявсех точек (x̄, ū).Предположение 3. Функция f липшицева:kf (x, u) − f (x̄, ū)k 6 Lf kx − x̄k + ku − ūk .Предположение 4. При любой равномерно ограниченной последовательности u(k) и любом начальном состоянии x(0) система (1.1) имеет решение x(k),определенное при всех k > 0.Предположение 5. Функция f (x, u) обратима по x, т.

е. существует однозначная функция f −1 (x, u) такая, что f −1 f (x, u), u ≡ x, причем эта функция8также липшицева: −1f (x, u) − f −1 (x̄, ū) 6 Lf −1 kx − x̄k + ku − ūk .Замечание. Предположения 2–5 могут быть обоснованы, например, если система (1.1) получена дискретизацией непрерывной системы, которая обладаетсвойствами продолжимости решений, непрерывной зависимости решений от начальных условий и управления и дифференцируемости решения по начальнымусловиям [9].Обозначение 1.

x k, x0 , u(·) есть cостояние системы (1.1) на шаге k приначальном состоянии x0 и управлении u(·).1.1.2Задача оптимального управленияВведем квадратичный функционал, характеризующий управление при заданном начальном условии:T −1 X00I (x , u(·)) =` x k + 1, x , u(·) , u(k) + `T x T, x , u(·) ,0(1.2)k=0где T — некоторое положительное число или бесконечность.Предположение 6. Весовые функции ` и `T в функционале (1.2) положительно определены, т. е.`(0, 0) = `T (0) = 0,`(x, u) > 0`T (x) > 0∀x, u : x2 + u2 6= 0,∀x 6= 0.Предположение 7. Весовые функции ` и `T в функционале (1.2) допускают квадратичное приближение в окрестности нулевого положения равновесия,причем градиенты допускают соответствующее линейное приближение:22 33`(x, u) − kxkM − kukN 6 M` kxk + kuk ,9 ∂`(x, u)− 2M x 6 M∂x ` kxk2 + kuk2 , ∂x ∂`(x, u)− 2N u 6 M∂u ` kxk2 + kuk2 , ∂u2 3`T (x) − kxkMT 6 M`T kxk , ∂` (x) T− 2MT x 6 M∂`T kxk2 .

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов диссертации