Автореферат (1150744), страница 3
Текст из файла (страница 3)
В нелинейном режиме значение εприведено в теореме 4, а в квазилинейном1 Lf MuL` Lf Muопт + 1 + LIоптопт.ε=IДоказана следующая теорема об устойчивости и субоптимальности регулятора с квазилинейным режимом, основанным на решении задачи приближенного динамического программирования.Теорема 9. Пусть функция uдин (x) определена равенством2uдин (x) = arg min F (x, u), где F (x, u) = ` f (x, u), u + kf (x, u)kP ,uа явная обратная связь uявн (x) построена по алгоритму теоремы 4. Тогдаобратная связь(uдин (x), kxk 6 r,u(x) =uявн (x), kxk > rстабилизирует нулевое равновесие системы (1) и является γr-субоптимальнойв области Br , где314L3f MIопт4 kKk + Mu3дин ρ3 (X ) + 1 + MFопт + MIопт.γ=IОсновной вывод третьей главы таков: оценка субоптимальности линейного регулятора (теорема 8) равна константе ε, т.
е. не зависит от окрестностилинейного приближения. Для регулятора с динамическим программированием(теорема 9) оценка субоптимальности γr уменьшается с сокращением радиусаr окрестности, в которой используется динамическое программирование. Этопозволяет строить регулятор с наперед заданными оценками субоптимальностии скорости убывания функции Ляпунова.
С другой стороны, преимуществомлинейной обратной связи является ее простота.Глава 4 называется «Компенсация вычислительного запаздывания». В нейисследовано применение метода компенсации запаздывания к регулятору «предиктор-корректор» при наличии в управлении двух компонент с разными запаздываниями. Два запаздывания могут возникнуть, если управление состоитиз двух иерархически соединенных подсистем, работающих с разной частотой.121. Низкочастотный регулятор по некоторому «сложному» алгоритму каждые h > 1 тактов вычисляет последовательность управляющих сигналовна h тактов вперед. Эту последовательность будем называть программной. Соответствующую программную траекторию обозначим x̄(Kh),x̄(Kh + 1), . . .
, x̄ (K + 1)h − 1 . Например, эта последовательность можетполучаться замыканием модели (1) обратной связью uявн (x).2. Высокочастотный регулятор — это «простой» быстрый регулятор, например, линейный. Он выдает новый сигнал на каждом такте. Его цель —стабилизировать программную траекторию x̄(·).Итак, сигнал u(k) складывается из двух компонент: u1 с запаздыванием hтактов и u2 с запаздыванием в один такт:u(k) = u1 k − h) + u2 (k − 1).(5)В параграфе 4.1 проведен анализ робастности метода компенсации запаздываний в окрестности нуля, где справедливо линейное приближение управляемого объектаx(k + 1) = Ax(k) + Bu(k),k = 0, 1, .
. .С учетом вычислительного запаздывания (5) модель системы имеет видx(k + 1) = Ax(k) + Bu1 (k − h) + Bu2 (k − 1).(6)Пусть существуют такие матрицы F1 и F2 , что все собственные числа матрицыĀ = A + BF1 + Ah−1 BF2 меньше единицы по модулю. Это необходимое условиеприменимости метода компенсации запаздывания.Компенсация запаздывания предполагает использование модели системы дляпостроения так называемого «предиктора», но пусть известны только оценкипараметров системы: вместо матриц A и B доступны Â и B̂. Управление с компенсацией запаздывания, построенное по неточной модели, имеет вид#"h−1Xhh−1−κh−1u1,2 (k) = F1,2 Â x(k) +ÂB̂u1 (k + κ − h) + ÂB̂u2 (k − 1) .
(7)κ=0В работе доказана следующая теорема о робастности компенсатора запаздывания по отношению к неточностям в модели.Теорема 10. Система (6), замкнутая управлением с неточной компенса-13цией запаздывания (7), асимптотически устойчива, если σ̃ < 1, где−1σ̃ = σ + 2µ λ−1×min (V ) + muhn o× 2 max ĀV B + σ 1−h F1T W1 , ĀV Ah−1 B + F2T W2 +2 2 + 2µλmax (V ) max kBk , Ah−1 B +i+ µσ 1−h λmax (W1 ) + µλmax (W2 ) ,µ = max kF1,2 k × n × max E − Âh A−h , Âh−1−κ B̂ − Ah−1−κ B + (Âh − Ah )A−1−κ ,o h−1B̂ − Ah−1 B + (Âh − Ah )A−1 B : κ = 0, 1, .
. . , h − 1 ,Âчисло σ ∈ (0, 1) таково, что ĀT V Ā−σV +σ 1−h F1T W1 F1 +F2T W2 F2 < −W , а V —положительно определенное решение уравнения ĀT V Ā − V = −2W − F1T W1 F1 −−F2T W2 F2 при произвольных положительно определенных матрицах W , W1,2 .В параграфе 4.2 метод компенсации двух запаздываний распространен нанелинейный случай:x(k + 1) = f x(k), u1 (k − h) + u2 (k − 1) ,k = 0, 1, . . .(8)Введено преобразование состояния x 7→ p, определяемое равенствомp(k) = P x(k), u(·) ,(9)где отображение P задано системойP x(k), u(·) = ξ(h), ξ(0) = x(k),ξ(1) = f ξ(0), u1 (k − h) + u2 (k − 1) , ξ(2) = f ξ(1), u1 (k − h + 1) ,ξ(3) = f ξ(2), u1 (k − h + 2) , . . . , ξ(h) = f ξ(h − 1), u1 (k − 1) .Определение (9) содержит алгоритм: чтобы найти p(k), следует последовательно найти ξ(1), ξ(2), .
. . , ξ(h) при ξ(0) = x(k) и положить p(k) = ξ(h).Доказано следующее достаточное условие устойчивости регулятора, основанного на компенсации запаздывания.Теорема 12. Пусть при всех p̄(k) ∈ X и u1 (k − κ) ∈ U (κ = 1, 2, . . . , h − 1)существует (m × n)-матричная функция F2 p̄(k), u1 (k − h), u1 (k − h + 1), . . . ,u1 (k − 1) и симметрические положительно определенные (n × n)-матричныефункции V p̄(k), u1 (k − h), u1 (k − h + 1), .
. . , u1 (k − 1) и W p̄(k), u1 (k − h),u1 (k − h + 1), . . . , u1 (k − 1) , связанные равенствомĀT p̄(k), u1 (·) V p̄(k), u1 (·) Ā p̄(k), u1 (·) − V p̄(k), u1 (·) = −W p̄(k), u1 (·) ,14где Ā p̄(k), u1 (·) = A p̄(k), u1 (k) + Φ p̄(k), u1 (·) F2 p̄(k), u1 (·) . Тогда управлениеu2 (k) = F2 p̄(k), u1 (·) P x(k), u1 (·) − p̄(k) ,где p̄ — программная траектория, заданная регулятором u1 , стабилизируетсистему (8).Теорема 12 предлагает следующий алгоритм выбора управления u2 (k) приизвестном программном управлении u1 (k) и программной траектории p̄(k).1.
На такте k, имея x(k), u1 (k − h), u1 (k − h + 1), . . . , u1 (k − 1), u2 (k − 1),построить ξ(κ) из определения отображения (9).2. Положить p(k) = ξ(h).3. Выбрать u2 (k) = F2 p̄(k), u1 (·) p(k) − p̄(k) .ЗаключениеВ работе предложены методы построения области управляемости нелинейного регулятора «предиктор-корректор», аппроксимации обратной связи и компенсации нескольких вычислительных запаздываний. Методы снабжены доказательствами и оценками допустимых параметров. Они объединены принципомсистемного анализа — единого подхода, опирающегося на прямой метод Ляпунова анализа устойчивости.Тематика диссертации соответствует пунктам 2, 4, 5 и 11 паспорта специальности 05.13.01 — системный анализ, управление и обработка информации (поприкладной математике и процессам управления).Публикации автора по теме диссертацииСтатьи в журналах и изданиях, рекомендованных ВАК РФ1.2.3.4.Ponomarev A.
Nonlinear predictor feedback for input-affine systems with distributed input delays // IEEE Transactions on Automatic Control. — 2016. —Vol. 61, no. 9. — Pp. 2591–2596.Ponomarev A. Reduction-based robustness analysis of linear predictor feedbackfor distributed input delays // IEEE Transactions on Automatic Control. —2016. — Vol.
61, no. 2. — Pp. 468–472.Пономарев А. А. О выборе параметров метода «предиктор-корректор» //Вестник Мордовского университета. — 2010. — № 4. — с. 124—132.Пономарев А. А. Оценка области управляемости метода «предиктор-корректор» // Вестник Мордовского университета. — 2012. — № 2. — с. 92—98.155.Пономарев А.
А. Построение субоптимального управления в регуляторе«предиктор-корректор» // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. —2014. — № 3. — с. 141—153.Другие публикации1.2.3.4.5.6.7.Ponomarev A. Performance testing of an approximate model predictive controlalgorithm // Proceedings of 2014 International Conference on Computer Technologies in Physical and Engineering Applications (ICCTPEA) / ed.
by E. I.Veremey. — Saint Petersburg, 2014. — P. 140.Пономарев А. А. Аппроксимация управления в регуляторе «предиктор-корректор» // Устойчивость и процессы управления: Материалы III международной конференции. — СПб.: Издательский Дом Федоровой Г.В., 2015. —с. 329—330.Пономарев А.
А. О выборе параметров метода «предиктор-корректор» //Процессы управления и устойчивость: Труды 42-й международной научнойконференции аспирантов и студентов / под ред. А. С. Еремина, Н. В. Смирнова. — СПб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос. ун-та, 2011. — с. 52—57.Пономарев А. А. Построение субоптимальных управлений в регуляторе «предиктор-корректор» (MPC) // Процессы управления и устойчивость: Труды44-й международной научной конференции аспирантов и студентов / подред. Н. В. Смирнова, Т. Е.
Смирновой. — СПб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос.ун-та, 2013. — с. 53—58.Пономарев А. А. Предиктор Смита в нелинейном случае // Процессы управления и устойчивость: Труды 41-й международной научной конференции аспирантов и студентов / под ред. Н. В. Смирнова, Г. Ш. Тамасяна. — СПб.:Издат. Дом С.-Петерб. гос. ун-та, 2010. — с. 47—52.Пономарев А. А.
Приближенная реализация регулятора «предиктор-корректор» в нелинейном случае // Процессы управления и устойчивость. Труды 46-й международной научной конференции аспирантов и студентов. 2(18) /под ред. Н. В. Смирнова. — СПб.: Издательский Дом Федоровой Г.В., 2015. —с.
84—89.Пономарев А. А. Функционал Ляпунова для управляемой линейной системы с компенсатором запаздывания // Процессы управления и устойчивость.Труды 45-й международной научной конференции аспирантов и студентов.1(17) / под ред. Н. В. Смирнова. — СПб.: Издательский Дом ФедоровойГ.В., 2014. — с. 26—30.16.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
