Автореферат (1150624), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Естественной выглядит задача выведения такого класса формул, который обладал бы свойством точности для функций Хаара, которые были использованы Соболем И.М. для построения ЛП, последовательностей. Подобный результат для одномерного случая уже был получен Ермаковым С.М. Для обобщения вышеупомянутого результата для произвольной размерности производится построение систеиы обобщенных функций Хаара 1Х,)" ,! для некоторого произвольного разбиения гиперкуба на и = 2", и Е Пгг, непересекающихся частей Хг,..., Хп равного объема. Эта система ортонормирована, и поэтому к ней применимы теоремы из теории квадратур со случайными узлами. Результатом применсния после некоторых упрощений является следующая теорема. ются следующим образом: (хы.,.,хя) Е Еа1(сн...,зя) ЕЬ Зс2' Е (1,...,п)х, Е Х, . (3) Теория квадратур со случайными узлами не дает ответа на вопрос о дисперсии такой формулы, поскольку поскольку точное выражение для дисперсии известно только для регулярных систем.

Однако непосредственный подсчет дисперсии формулы (1) с плотностью узлов (2) приводит к следующему результату. Теорема 2. Дисперсия формулы (1) ранна 1 Р Ъаг(оя) = — / )г(хдх — — 1 / )(х)с)х) ~— — ~ ~(а, — сс,), (4) гс, п~,/ а ст ст !кс где Е 1 Е (1. 2,... гс) и ыь = / )(х)с)х. Эта дисперсия меньше дисперсии МС на величину -~ 2,'(а, — а )з, которая ~<э вссгда неотрицательна. Далее, из этих двух теорем можно сделать несколько важных выводов. Во-первых, уже на данном этапе можст быть сформулирована идея вычислительной схемы на основе оценок коэффициентов ои..., оя.

Во-вторых, в свете нового класса формул, точного для обобщенных функций Хаара, возникает возможность использования рандомизированных точек Соболя вместо расслоенной выборки МС, и при этом будут выполнены как условие расслоения (2), так и несмещенность оценки (1) для исходного интеграла 1. Истинная дисперсия квадратурной формулы Яя отличается от теоретической оценки сверху (полученной Ермаковым С.М. и Золотухиным В.Г) множителем —,', перед суммой квадратов коэффициентов Фурье-Хаара. Таким образом, для рассматриваемой нерегулярной системы получено улучшение порядка сходимости. При этом заведомо известно, что ни для какой регулярной системы подобного улучшения не может быть.

Из этого возникает вопрос: существуют ли другие нерегулярные системы, обладающие тем же свойством, что и система Хаара? Если да, то возможно ли улучшение порядка, отличное от —,2 1 Для ответа на поставленные вопросы вводится класс систеи со скользящип носителем, каждая из которых состоит из п Е сэ' ортогональных функций (и',)," и для которых выполнено яирр(зе,) = Х, для с = 1,..., п, и при этом вся система линсйно независима с константой на всем гиперкубе Г,.

Для всего такого класса справедливо следующее утверждение. 11 Теорема 3. Квадратурная формула, точная для системы 1гп,,)" ,з со скользящим носитслеи, не ииеет уменьшения дисперсии, то есть известная оценка сверху превращается в строгое равенство. Эта теорема отсекает большой класс потенциальных систем.

Отсюда следует такой вывод: либо система обобщенных функций Хаара (и системы, сводимые к ней линейной заменой) является уникальными в этом отношении, либо другие системы, дающие гарантированное уменьшение дисперсии, существуют, ио имеют какую-то более сложную структуру. Полученные результаты свидетельствуют о том, что ключевую роль в применении теории квадратурных формул со случайными узлами играют множества линейной зависимости функций внутри той или иной выбранной ортонормированной системы. Оказывается, что можно сформулировать эту зависимость конструктивным образом, и полученная теорема будет новым дополнением к существующей теории.

Теорема 4. Пусть (,р,)," з — ортонормированная система па Х Пусть 6 и 6 яв;тюте» лзаксииально гаирокиъш подмнолсес)пении гй где 1,р,)," ~ и 1р,)п з линейно зависимы, соответственно. Очевидно, что г) з С 0 С Х Верхняя граница для дисперсии квадратурной фориулы со случайными уазаии, точной для ~р,)," ~ зависит от .иер множеств 0 и О.з следующили образин: 1) если р(0) = О, то сметена регулярна, и неравенгяаво обращается в строгое равенство; 2) если О < р10) < р(Х), то систена нерегулярна, и (а) если р10 ~) =- р(гз), то неравенство обращается в строгое равенство; (й) если р10 з) < 1з10), то истинная дисперсия, вообще говоря, меныае, чеи верхняя граница. В качестве нетривиального иллюстрирующего примера рассмотрена достаточно простая система из двух функций на отрезке [О, 1].

Она удовлетворяет условию уменьшения дисперсии в соответствии с теоремой 4, и прямой подсчет дисперсии действительно приводит к таковому, Вторая глава посвящена практическим аспектам использования полученного класса формул. Определенную сложность представляет выбор схемы оценивания дисперсии формулы Я„. В связи с этим ставится задача построить эквивалентное выражение дисперсии через коэффициенты Фурье-Хаара. Непосредственный переход к коэффициентам Фурье-Хаара затруднителен, поэтому рассматривается 12 вспомогательная система обобщенных индикаторов ! е) ))1..!. Эта система также ортонормирована и сводится к системе Хаара линейной заменой.

Существование такой замены и свойства матрицы перехода Н сформулированы и доказаны рядом вспомогательных лемм. Окончательным результатом является следующая теорема. Теорема 5. Формула (1) является точной как ддя систечы обобщенных функций Хаара, так и для счете вы обобщенных индикаторов. Ее' дисперсия люжет быть выражена тречя эквивалентныти способачи! где хй и е, — козффициечты Фурье функции ~ по систечал! 1Х,)," ! и 1е,)," !, соответственно: хй = !З) Х)), е, = ц') е,). Далее по аналогии с известным приемом рандомизации квазислучайных последовательностей (рандомизированный квази-Монте-Карло, КОМС) представлена обобщенная схема, опирающаяся на формулу (!) с и узлами и т повторами.

В такой схеме дисперсия становится, вообще говоря, функцией двух переменных, т, и и, и может быть представлена в следующем виде. Теорема б. Обобщенная схема с т повпюрачи и а узла.чи в каждом повторе, Б1п)п)Р имеет диспеРсию (5) Скорость убывания такой дисперсии по переменной т такая же, как и в методе МС, что вполне естественно для рандомизированной схемы. А скорость убывания по переменной и, зависит от того, насколько хорошо функция !' приближается системой Хаара.

Однако не вызывает сомнений тот факт, что порядок убывания должен быть выше, чем по переменной т, Это рассуждение говорит о том, что с теоретической точки зрения при выборе между количеством подразбиений и и количеством повторов ьп имеет смысл наращивать именно первый параметр. Однако когда речь идет об оценивании среднего в соответствии с центральной предельной теоремой, параметр количества повторов не может быть слишком мал. Кроме того, точное выражение для дисперсии ЩМС неизвестно, так что даже достаточно большого количества вполне может оказаться недостаточно.

Одним из ключевых преимуществ предлагаемого подхода является известная величина дисперсии (теорема 6). Это обстоятельство позволяет оценить дисперсию непосредственно, то есть построить некоторую теоретическую оценку, доказать ее (асимптотическую) несмещенность, а затем предложить алгоритм ее подсчета. Ранов для схемы без повторов было рассмотрено несколько эквивалентных выражений для дисперсии (теорема 5), поэтому потенциальных оценок может быть построено несколько. В частности, в одной из статей автора и Ермакова С.М. была предложена оценка на основе А=~ (бсс — б), (6) СЧС где бь — оценка пы то есть интеграла от функции 7' по подразбиению Хь.

Такая оценка была использована в численных экспериментах, но ее математическое ожидание ранее исследовано ие было. Этот пробел восполняется в диссертационной работе: доказана асимптотическая несмещенность оценки А. Впрочем, смещение оценки А для конечных тч и и можст быть значительным, в связи с чем предлагается новая оценка на основе А, где вместо Йс используются йь =-. /†„,"',бь.

Показано, что смещение такой оценки убывает быстрее, благодаря чему оценка дисперсии будет более точной. Наконец, рас- смотрена сще одна возможная оценка вида (7) которая обладает минимальным смещением из всех рассматриваемых. Эта оценка будет использоваться в качестве основной в ходе вычислительных экспери- ментов.

Характеристики

Список файлов диссертации