Автореферат (1150624), страница 2
Текст из файла (страница 2)
4) Разработать численную схему, реализуюшую представленный подход. Исследовать свойства оценок, предложенных такой схемой. Провести ряд чис- ленных экспериментов и проверить их соответствие теоретическим резуль- татам. 5) Выявить наличие связи между расслоением и (рандомизированным) квази- Монте-Карло в терминах асимптотики смешения и дисперсии в контексте задачи численного интегрирования и предложить адаптацию квази-МонтеКарло для задач, решаемых при помощи моделирования сферическою цро- цесса. Научная новизна Все результаты, полученные в диссертационной работе, являются новыми. А именно: 1) Впервые формально установлена тесная связь между методами квази- Монте-Карло и расслоения для Монте-Карло. Теория квадратурных формул со случайными узлами дополнена новыми теоретическими утверждениями.
2) В отличие от существующих методов квази-Монте-Карло, которые ие предоставляют конструктивной оценки погрешности либо оценивают неизвестную дисперсию, в работе впервые разработан новый метод оценивания схем рандомизированного квази-Монте-Карло, дисперсия которого извест- на теоретически. 3) Предлагаемый метод рандомизации квазислучайных последовательностей и основанная на нбм адаптация метода „блуждания по сферам" предлага- ются впервые. 4) Все иллюстрирующие численные примеры, представленные в диссертационной работе, разработаны автором. Теоретическая и практическая значимость работы Значимость диссертационной работы определяется тремя главными фак- торамн. Во-первых, исследован класс формул, который можно рассматривать как предельный на стыке стохастического и детерминированного подходов в задачах численного интегрирования.
Такого рода формулы могут использоваться как в рамках традиционного метода Монте-Карло, являясь одним из методов понижения дисперсии, так и в сочетании с последовательностями метода квази-МонтеКарло, предоставляя конструктивный механизм опенки погрешности.
Предлагаемая схема может быть применена к произвольной процедуре квази-МонтеКарло и не является особенно трудной ни с точки зрения дополнительных вы- числительных расходов, ни с точки зрения интерпретации конечного результата, Такой подход может быть успешно применен в задачах, например, финансовой математики или вычислительной физики. Во-вторых, дополненный новыми результатами аппарат теории квадратурных формул со случайными узлами может послужить инструментом ддя отыскания новых классов квадратурных формул, обладающих определенными свойствами. Так, найдены достаточные условия для того, чтобы дисперсия таких формул была меньше, чем извсстная ранее верхняя граница. Кроме того, показано, что системы функций с попарно непересекающимися носителями не могут претендовать на пониженную таким способом дисперсию, что может послужить отправной точкой для дальнейших исследований систем с более сложной структурой. В-третьих, новый метод рандомизации квазислучайных последовательностей может успешно конкурировать с существующими в задачах численного интегрирования.
Кроме того, предлагаемая гибридная адаптация метода „блуждания по сферам" сочетает в себе преимущества как Монте-Карло (смещение оценки имеет место, но оно не превосходит смепзения базовой схемы), так и квази-Монте-Карло (значительное уменьшение дисперсии). Предлагаемая схема, по сути, дает возможность использовать квазислучайные конструкции в таких задачах, где это традиционно считается невозможным или нецелесообразным.
Методология и методы исследования В диссертационной работе использовались теория вероятностей, элементы математического и функционального анализа и вычислительных методов, теория методов Монте-Карло и квази-Монте-Карло и теория квадратурных формул со случайными узлами, В численных экспериментах широко использовались последовательности Соболя, рандомизированные при помощи процедуры скрзмблинга.
Программирование велось на языках С+-ь и К с использованием модифицированной библиотеки Н1пйлЬ с открытым исходным кодом, а также ряда пакетов дополнений для К. Положения, выносимые на защиту 1) Получен класс квадратурных формул, обладающих свойством точности для системы обобщенных функций Хаара. Проведен анализ дисперсии таких формул и показано, что такой подход является одним из методов гаранти- рованного уменьшения дисперсии. 2) Представлен ряд утверждений, обобщающих и дополняющих известные ре- зультаты в рамках теории квадратурных формул со случайными узлами.
3) Проведена пара пель между использованием полученного класса формул в рамках подходов Монте-Карло и квази-Монте-Карло. Предложена новая схема оценки погрешности в задачах численного интегрирования методом квази-Монте-Карло. 4) Разработан алгоритм, реализующий описанную схему. Исследованы свойства оценок, построенных этим алгоритмом. Приведены результаты работы алгоритма в широком спектре вычислительных задач и показана его эффек- тивность.
5) Разработан альтернативный метод рандомизации квазислучайных последовазельностей. Показано, что его использование, с одной стороны, значительно эффективнее, чем традиционное расслоение. С другой стороны, естественная параметризация предлагаемого метода позволяет сохранить асимптотику квази-Монте-Карло и превосходить существующие методы рандомизации в численных экспериментах. 6) На основе предлагаемого алгоритма рандомизации предложена адаптация метода „блуждания по сферам" для решения внутренней задачи Дирихле для оператора Лапласа. Степень достоверности и апробация результатов Достоверность и обоснованность теоретических результатов диссертационной работы подтверждается их согласованностью с известными утверждениями в теории методов Монте-Карло и квази-Монте-Карло, в частности с фактами теории квадратурных формул со случайными узлами.
Данные, полученные в ходе обширных вычислительных экспериментов, соответствуют полученным теорстичсским результатам. Они приведены и подробно описаны в тексте дис- сертацин. Основные результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях: — ййпй 1пгегпайопа! Сопгегепсе оп Мопге Саг1о апг1 Опав|-Мопге Саг1о МегпогЬ ш Бс!еп!!Вс Сошрпг|пя (МСОМС-2010, Варшава, Польша); — Бекер!пгегпайопа) 3Уог)галер оп Рйппз!айоп (!%8-2013, Римини, Италия); — ййпй 1МАСБ Яеш)паг оп Мопсе Саг!о Мег!зог(а (1МАСБ-2013, Ан-леВьс, Франция); — Е!етспй 1п!етагюпа! Сопйчспсе оп Мопге СаНо апй ОпазБМопгс Саг!о Мейооз |п Яс1епг!()с Сошрпг!пя (МСОМС-2014, Лювен, Белы ия). Исследование по теме диссертационной работы выполнено при частичной поддержке грантов РФФИ №!1-01-00769-а и №14-01-00271.
Публикации по теме диссертации Основные результаты по теме диссертации изложены в 5 печатных изданиях, 3 [1 — 3) из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК. В [1) соискателем сформулированы и доказаны теоремы 1 и 2 о виде и дисперсии формулы, точной для обобщенной системы Хаара, а также представлены результаты численных экспериментов. В [3] соискателю принадлежит лемма 2.5, а также теоремы 2.6, 3.1 и 3.2. В обеих совместных работах соавтору — научному руководителю — принадлежит общая постановка задачи и план исследований.
Структура работы Диссертация состоит нз введения, трех глав и заключения. Она изложена на 106 страницах текста с 32 рисунками и 3 таблицами. Список литературы содержит 75 наименований, Содержание работы Во введении обосновывается актуальность исследований, проводимых в рамках данной диссертационной работы, приводится обзор научной литературы по изучаемой проблеме, формулируются цели работы. Теорема 1. Квадратурная формула, точная для первых и обобщенных функций Хоара, ил!ест вид Яп=-~ У(т,), 11) |=1 где хг,гпз.... квн — случайные точки из У,, с совтестныи роспределениеи, зада- ваеиым плотностью — (хгхез,...
свп) Е [,гйа1! гргтгхвз,... хвп) = и О, (хг,тз,... нвп) ф 1Л.ай (2) где гЛ а1 — мнолсество, полученное обьединениеи всевозиозгсных лгнотсеств ЕггЯг,..., гн), которые для произвольной перестиновки (гг,..., гв) онределя- 10 Первая глава посвящена построению класса квадратурных формул со случайными узлами, точных для обобщенных функций Хаара. Дается краткая характеристика методов Монте-Карло (далее МС) и квази- Монте-Карло (далее ОМС) в рамках традиционной задачи численного интегрирования по единичному в-мерному гиперкубу 11, = 10,1)'" от интегрируемой функции у Е х.'г(1гв) по мере Лебега. Приведены основные результаты: факты несмещенности опенки интеграла и величина дисперсии в методе МС, неравенство Коксмы-Хлавки в методе ОМС.
Очерчены основные проблемы для практическою применения методов: большая дисперсия для МС и неконструктивность неравенства Коксмы-Хлавки. Приводятся широко распространенные способы решения этих проблем: прием расслоенной выборки для МС и рандомизированный вариант ОМС. Легко наблюдать, что расслоение для метода МС имеет под собой ту же идею о наиболее равномерном заполнении всех областей гиперкуба Е н что и метод ОМС, который оперирует понятием днскрепанса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
