Автореферат (1150528), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Ðàâíîâåñèå íàçûâàåòñÿ ñòèìóëèðóþùèì äîõîä, åñëèñðåäè âñåõ ðàâíîâåñèé ìàêñèìèçèðóåò ñóììàðíûé îæèäàåìûé äîõîä èãðîêîâEH1 + EH2 = E (b − s) I{B(b)≥S(s)} . ðàáîòå1 ïîêàçàíî, ÷òî â ðàâíîâåñèè ïðîôèëü ñòðàòåãèé ýòî íåóáûâàþùèå ôóíêöèè.  êëàññå ñòðîãî âîçðàñòàþùèõ è äèôôåðåíöèðóåìûõ ïðîôèëåé ñòðàòåãèé íàéäåíî íåîáõîäèìîå óñëîâèå äëÿ ðàâíîâåñèÿ â âèäå ñèñòåìûäâóõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Äëÿ ñëó÷àÿ ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ðåçåðâíûõ öåí íàéäåíî ðàâíîâåñèå ñ ëèíåéíûìè ïðîôèëÿìè ñòðàòåãèé,à â ðàáîòå2 ïîêàçàíî, ÷òî ýòî ðàâíîâåñèå ñòèìóëèðóþùåå. ðàçäåëå 1.2 íàéäåíû íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ íàõîæäåíèÿðàâíîâåñèÿ â êëàññå äèôôåðåíöèðóåìûõ ïðîôèëåé ñòðàòåãèé äëÿ ñëó÷àÿíåïðåðûâíîé ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ðåçåðâíûõ öåí.  òåîðåìå 1 íàéäåíûíåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ äëÿ ðàâíîâåñèÿ ñðåäè ñòðîãî âîçðàñòàþùèõ è äèôôåðåíöèðóåìûõ ïðîôèëåé ñòðàòåãèé.Òåîðåìà 1.
Ïóñòü ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ F (x) è G(x) èìåþò ïëîòíîñòèf (x) è g(x), íåïðåðûâíûå è ïîëîæèòåëüíûå íà (0, 1); h1 , h2 , α, γ ∈ (0, +∞),F (x) ∼ h1 xα , f (x) ∼ αh1 xα−1 , ïðè x → 0,1 − G(x) ∼ h2 (1 − x)γ ,g(x) ∼ γh2 (1 − x)γ−1 , ïðè x → 1.Ìàðãèíàëüíûå öåíû 0 < a < c < 1 óäîâëåòâîðÿþò òîæäåñòâàì11 − G(a) = 2 +ag(a),α1F (c) = 2 +(1 − c)f (c).γ1 Chatterjee K., Samuelson W. Bargaining under incomplete information // Operations Research. 1983. Vol.31.
N 5. P. 835851.2 Myerson R., Satterthwait M.A. Ecient mechanisms for Bilateral Trading // Journal of Economic Theory.1983. Vol. 29. P. 265281.7Âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ îïòèìàëüíîñòè â êðàéíèõ òî÷êàõZxarg max x(1 − G(x)) − ydG(y) = a,x∈[0,a]0arg max (2 − x)F (x) +Z1ydF (y) = c.x∈[c,1]xÔóíêöèè U (t),V (t) äèôôåðåíöèðóåìûå íà [a, c], ïðèíèìàþùèå çíà÷åíèÿt<U (t)<1, 0<V (t)<t íà (a, c), ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèåì êðàåâîé çàäà÷èU 0 (t) =1 − G(U (t)),2(t − V (t))g(U (t))a < t < c,V 0 (t) =F (V (t)),2(U (t) − t)f (V (t))a < t < c,U (a) = a, V (c) = c,ïðè÷åì V (a) = 0, U (c) = 1.Òîãäà ñòðîãî âîçðàñòàþùèå è äèôôåðåíöèðóåìûå íà [0, c] è [a, 1] ïðîôèëè÷èñòûõ ñòðàòåãèé ïðîäàâöîâ è ïîêóïàòåëåé((−1V (s), 0 ≤ s ≤ c,b,0 ≤ b ≤ a,S(s) =B(b) =−1s,c ≤ s ≤ 1,U (b), a ≤ b ≤ 1,îáðàçóþò áàéåñîâñêîå ðàâíîâåñèå â ìîäåëè îäíîøàãîâîãî äâóõñòîðîííåãîäâîéíîãî çàêðûòîãî àóêöèîíà ñ ðàñïðåäåëåíèÿìè F (x) è G(x) ðåçåðâíûõ öåí.Îïðåäåëåíèå 1.
Íàçîâåì n-ïîðîãîâûì ïðîôèëåì ñòðàòåãèé ñ ìàðãèíàëü-íûìè öåíàìè 0 < a1 < . . . < an < 1, ïîðîãàìè 0 = σ0 < σ1 < . . . < σn < 1 =σn+1 , 0 = β0 < β1 < . . . < βn < 1 = βn+1 ïðîôèëü ñòðàòåãèé ïðîäàâöîâ âèäà(ai åñëè σi−1 ≤ s < σi ,i = 1, ..., nS(s) =s åñëè an = σn ≤ s ≤ 1,ãäå σi ≤ ai , i = 1, ..., n, è ïðîôèëü ñòðàòåãèé ïîêóïàòåëåé âèäà(b åñëè 0 ≤ b ≤ β1 = a1 ,B(b) =ai åñëè βi < b ≤ βi+1 ,i = 1, ..., nãäå βi ≥ ai , i = 1, ..., n. ðàáîòå3 ïîëó÷åíî íåîáõîäèìîå óñëîâèå äëÿ íàõîæäåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ñðåäè n-ïîðîãîâûõ ïðîôèëåé ñòðàòåãèé â âèäå ñèñòåìû àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé.  ðàçäåëå 1.3 íàéäåíû íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ äëÿ íà3 Leininger W., Linhart P.B., Radner R.
Equilibria of the sealed-bid mechanism for bargaining with incompleteinformation // Journal of Economic Theory. 1989. Vol. 48. P. 63106.8õîæäåíèÿ ðàâíîâåñèÿ â êëàññå n-ïîðîãîâûõ ïðîôèëåé ñòðàòåãèé äëÿ ñëó÷àÿíåïðåðûâíûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ ðåçåðâíûõ öåí.  ðàçäåëå 1.4 íàéäåíûðàâíîâåñèÿ äëÿ ñëó÷àÿ ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ðåçåðâíûõ öåí.  êëàññå n-ïîðîãîâûõ ïðîôèëåé ñòðàòåãèé íàéäåíî ñòèìóëèðóþùåå ðàâíîâåñèå äëÿëþáîãî ÷èñëà ïîðîãîâ.  ðàçäåëå 1.5 ïðèâîäÿòñÿ ïðèìåðû ðàâíîâåñèé äëÿñëó÷àåâ íåðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ðåçåðâíûõ öåí.Âî âòîðîé ãëàâå ðàññìàòðèâàþòñÿ ìîäåëè ìíîãîøàãîâûõ ïåðåãîâîðîâ. ðàçäåëå 2.1 ïðåäëîæåíà ìîäåëü ìíîãîøàãîâîãî äâóõñòîðîííåãî çàêðûòîãî àóêöèîíà, îáîáùàþùàÿ êëàññè÷åñêóþ ìîäåëü èç ïåðâîé ãëàâû. Ââîäèòñÿ êîýôôèöèåíò äèñêîíòèðîâàíèÿ δ , è ðàññìàòðèâàåòñÿ èãðà ñ áåñêîíå÷íûìâðåìåííûì ãîðèçîíòîì.
Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî íà êàæäîì øàãå êîëè÷åñòâîïðîäàâöîâ ðàâíî êîëè÷åñòâó ïîêóïàòåëåé, c ðàñïðåäåëåíèÿìè ðåçåðâíûõ öåíF (x), G(x). Íà êàæäîì øàãå i = 1, 2, . . . äëÿ ïåðåãîâîðîâ ôîðìèðóþòñÿ ñëó÷àéíûì îáðàçîì ïàðû ïðîäàâåö-ïîêóïàòåëü. Ïîñëå ýòîãî èãðîêè îäíîâðåìåííî îáúÿâëÿþò öåíó íà òîâàð. Ïðîäàâåö çàïðàøèâàåò öåíó S , ïîêóïàòåëü ïðåäëàãàåò öåíó B . Åñëè B ≥ S , òî ðåçóëüòàòîì ïåðåãîâîðîâ ÿâëÿåòñÿ çàêëþ÷åíèå ñäåëêè ïî öåíå (S + B)/2. Ïîêóïàòåëü è ïðîäàâåö, çàêëþ÷èâøèå ñäåëêó,ïîêèäàþò èãðó. Åñëè ïðåäëîæåííàÿ ïîêóïàòåëåì öåíà B ìåíüøå, ÷åì çàïðàøèâàåìàÿ ïðîäàâöîì öåíà S , òî ñäåëêà íå çàêëþ÷àåòñÿ, èãðîêè ïåðåõîäÿò íàñëåäóþùèé øàã i + 1, íà êîòîðîì ïîêóïàòåëü (ïðîäàâåö) âñòóïàåò â ïåðåãîâîðû äëÿ çàêëþ÷åíèÿ ñäåëêè ñ äðóãèì ïðîäàâöîì (ïîêóïàòåëåì).Ó÷àñòíèêè ïåðåãîâîðîâ ñòðåìÿòñÿ ìàêñèìèçèðîâàòü ñâîé äîõîä îò ñäåëêè.
Äîõîäîì ó÷àñòíèêîâ ÿâëÿåòñÿ ðàçíèöà ìåæäó ðåçåðâíûìè öåíàìè è öåíîé ñäåëêè, ò. å. äëÿ ïðîäàâöà ýòî δ i−1 ((S + B)/2 − s), äëÿ ïîêóïàòåëÿδ i−1 (b−(S+B)/2). Ïðîôèëü ÷èñòûõ ñòðàòåãèé ó÷àñòíèêîâ ýòî ôóíêöèè îò ðåçåðâíûõ öåí S(s), B(b). Èãðîêè èñïîëüçóþò ÷èñòûå ñòðàòåãèè, íî ïîñêîëüêóïàðû ïðîäàâåö-ïîêóïàòåëü ôîðìèðóþòñÿ ñëó÷àéíûì îáðàçîì, òî â êà÷åñòâåâûèãðûøåé ðàññìàòðèâàåòñÿ ñóììàðíûé îæèäàåìûé äîõîä ïðè çàêëþ÷åíèèñäåëêè íà òåêóùåì øàãå è ïðè ïðîäîëæåíèè èãðû.Âûèãðûø ïðîäàâöà ñ ðåçåðâíîé öåíîé s è çàïðàøèâàåìîé S ðàâåíZH1 (s, S, S(s), B(b)) =11 − δP{B(b) < S}B(y) + S− s dG(y).2y:B(y)≥SÂûèãðûø ïîêóïàòåëÿ ñ ðåçåðâíîé öåíîé b è ïðåäëàãàåìîé B ðàâåíZH2 (b, B, S(s), B(b)) =11 − δP{S(s) > B}b−x:S(x)≤B9S(x) + B2dF (x).Ïîëó÷åíû íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ðàâíîâåñèÿ â êëàññå äèôôåðåíöèðóåìûõ ïðîôèëåé ñòðàòåãèé.
Ñëó÷àé δ = 0 ñîîòâåòñòâóåò îäíîøàãîâîé çàäà÷å èç ïåðâîé ãëàâû.  òåîðåìå 2 íàéäåíû íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûåóñëîâèÿ ðàâíîâåñèÿ ñðåäè ñòðîãî âîçðàñòàþùèõ (ò.÷. ïðîèçâîäíàÿ êîíå÷íà èáîëüøå íóëÿ âî âñåõ òî÷êàõ) è äèôôåðåíöèðóåìûõ ïðîôèëåé ñòðàòåãèé.Òåîðåìà 2. Ïóñòü ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ F (x), G(x) èìåþò íåïðåðûâíûåíà [0, 1] ïëîòíîñòè f (x), g(x). Ïóñòü f (x) ïîëîæèòåëüíàÿ íà [0, 1), g(x)ïîëîæèòåëüíàÿ íà (0, 1].Ôóíêöèè U (t),V (t), äèôôåðåíöèðóåìûå è âîçðàñòàþùèå íà [a,c], óäîâëåòâîðÿþùèå t<U (t)<1, 0<V (t)<t íà (a,c), åñòü ðåøåíèå êðàåâîé çàäà÷è∂U=∂t(1−G(U ))(1−δG(U )),1R2g(U ) (1−δ)(t−V )− 2δ (U −1 (y)−t)dG(y)a < t < c,U∂V=∂tF (V )(1−δ+δF (V ))#,VR2f (V ) (1−δ)(U −t)− 2δ (t−V −1 (x))dF (x)a < t < c,"0U (a) = a, V (c) = c,ïðè÷åì V (a) = 0, U (c) = 1,U 0 (a) =3(1 − G(a))(1 − δG(a))=,R12δ2g(a) (1 − δ)a − 2 (U −1 (y) − a)dG(y)aV 0 (c)=F (c)(1−δ+δF (c))3= .cR22f (c) (1 − δ)(1 − c)− 2δ (c − V −1 (x))dF (x)0Ìàðãèíàëüíûå öåíû 0 < a < c < 1 óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì îïòèìàëüíîñòè â êðàéíèõ òî÷êàõZaZ11[x(1 − G(x)) + ydG(y) + U −1 (y)dG(y)] = a,arg maxx∈[0,a] 1 − δG(x)x1arg max[(2 − x)F (x) −x∈[c,1] 1 − δ + δF (x)aZc0V −1 (y)dF (y) −ZxydF (y)] = c.cÒîãäà ñòðîãî âîçðàñòàþùèå è äèôôåðåíöèðóåìûå íà [0, c] è [a, 1] ïðîôèëè÷èñòûõ ñòðàòåãèé ïðîäàâöîâ è ïîêóïàòåëåé((−1V (s), 0 ≤ s ≤ c,b,0 ≤ b ≤ a,S(s) =B(b) =−1s,c ≤ s ≤ 1,U (b), a ≤ b ≤ 1,10îáðàçóþò áàéåñîâñêîå ðàâíîâåñèå â ìîäåëè ìíîãîøàãîâîãî äâóõñòîðîííåãîçàêðûòîãî àóêöèîíà ñ ðàñïðåäåëåíèÿìè F (x) è G(x) ðåçåðâíûõ öåí.Òåîðåìà 3.
Ïîðîãîâûå ïðîôèëè ñòðàòåãèé S(s), B(b) ñ ìàðãèíàëüíîé öåíîéa ∈ (0, 1) îáðàçóþò áàéåñîâñêîå ðàâíîâåñèå â ìîäåëè ìíîãîøàãîâîãî äâóõñòîðîííåãî çàêðûòîãî àóêöèîíà ñ ðàñïðåäåëåíèÿìè F (x) è G(x) ðåçåðâíûõ öåí,åñëè âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ îïòèìàëüíîñòè â êðàéíèõ òî÷êàõZa1arg max[x(1 − G(x)) + ydG(y) + a(1 − G(a))] = a,x∈[0,a] 1 − δG(x)x1[(2 − x)F (x) − aF (a) −arg maxx∈[a,1] 1 − δ + δF (x)ZxydF (y)] = a.aÓñëîâèÿ òåîðåìû 3 ÿâëÿþòñÿ íåîáõîäèìûìè è äîñòàòî÷íûìè äëÿ íàõîæäåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ñðåäè ïîðîãîâûõ ïðîôèëåé ñòðàòåãèé äëÿ ëþáûõ (íåîáÿçàòåëüíî íåïðåðûâíûõ) ðàñïðåäåëåíèé ðåçåðâíûõ öåí.Òåîðåìà 4. Ïóñòü F (x), G(x) èìåþò êóñî÷íî-íåïðåðûâíûå è îãðàíè÷åííûåïëîòíîñòè f (x) ≤ L íà [a, 1] è g(x) ≤ M íà [0, a]. Êîýôôèöèåíò äèñêîíòèðîâàíèÿ äîñòàòî÷íî áëèçîê ê åäèíèöå, òàêîé ÷òî(1 − G(a))2δ ≥1−,2aMδ ≥1−F 2 (a).2(1 − a)LÒîãäà ïîðîãîâûå ïðîôèëè ñòðàòåãèé S(s), B(b) ñ ìàðãèíàëüíîé öåíîéa∈(0,1) îáðàçóþò áàéåñîâñêîå ðàâíîâåñèå â ìîäåëè ìíîãîøàãîâîãî äâóõñòîðîííåãî çàêðûòîãî àóêöèîíà ñ ðàñïðåäåëåíèÿìè F (x) è G(x) ðåçåðâíûõ öåí.Ïî òåîðåìå 4 äëÿ ëþáîé ìàðãèíàëüíîé öåíû a ∈ (0, 1) ïðè îãðàíè÷åííûõïëîòíîñòÿõ ðàñïðåäåëåíèÿ èãðîêîâ f (x), g(x) è äîñòàòî÷íî áëèçêîì ê åäèíèöåäèñêîíòèðîâàíèè δ áóäåò èìåòü ìåñòî ðàâíîâåñèå ñ îäíèì ïîðîãîì.
Ïîêàçàíî, ÷òî äëÿ ñëó÷àÿ ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ðåçåðâíûõ öåí ó÷àñòíèêîâíà [0, 1] ðàâíîâåñèå ñ îäíèì ïîðîãîì ñóùåñòâóåò, åñëè êîýôôèöèåíò äèñêîíòèðîâàíèÿ δ ≥ 2/3, à ðàâíîâåñèå ñ âîçðàñòàþùèìè è äèôôåðåíöèðóåìûìèïðîôèëÿìè ñòðàòåãèé íå ñóùåñòâóåò ïðè δ ≥ 4/5. ðàçäåëå 2.2 èññëåäóåòñÿ ìîäåëü ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïåðåãîâîðîâ î ìîìåíòå âñòðå÷è.  ðàáîòå4 ïðåäëîæåí ìåòîä îáðàòíîé èíäóêöèè äëÿ íàõîæäåíèÿðàâíîâåñèÿ â êëàññè÷åñêîé çàäà÷å ïåðåãîâîðîâ 2-õ ëèö î ðàçäåëå ïèðîãà.  ðàáîòå5 èññëåäîâàíî ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü ðàâíîâåñèÿ â ïåðåãîâîðàõn ëèö ïðè íåïðåðûâíûõ áåç ëîêàëüíûõ ìàêñèìóìîâ ôóíêöèÿõ ïðåäïî÷òåíèé.4 RubinsteinA.
Perfect equilibrium in a bargaining model // Econometrica. 1982. Vol. 50. P. 97-109.D., Ponsati C. Bargaining one-dimensional social choices // Journal of Economic Theory. 2007.Vol. 137. P. 627651.5 Cardona11Ó÷àñòíèêè I1 , . . . , In äîãîâàðèâàþòñÿ î âðåìåíè âñòðå÷è x èç èíòåðâàëà[0, 1]. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî èõ ïðåäïî÷òåíèÿ îïèñûâàþòñÿ íåîòðèöàòåëüíûìèíåïðåðûâíûìè ôóíêöèÿìè uj (x) ñ îäíèì ìàêñèìóìîì cj íà èíòåðâàëå [0, 1],òàê ÷òî uj (x) âîçðàñòàåò íà [0, cj ] è óáûâàåò íà [cj , 1]. Ïî êðàéíåé ìåðå äëÿäâóõ èãðîêîâ ïðåäïî÷òåíèÿ èìåþò âèä u1 (x) = x, u2 (x) = 1 − x. Ôóíêöèèïðåäïî÷òåíèé îñòàëüíûõ ó÷àñòíèêîâ Ij , óäîâëåòâîðÿþò ñâîéñòâàì uj (δx) ≥δuj (x), uj (1 − δ + δx) ≥ δuj (x), äëÿ âñåõ x, δ ∈ [0, 1].Èãðîêè ïî î÷åðåäè I1 →I2 → .
. . →In →I1 →. . . ïðåäëàãàþò îäíó àëüòåðíàòèâó, äëÿ ïðèíÿòèÿ êîòîðîé íóæíî ñîãëàñèå âñåõ ó÷àñòíèêîâ. Íà øàãå i = 1èãðîê I1 ïðåäëàãàåò àëüòåðíàòèâó x1 ∈ [0, 1], è îñòàëüíûå èãðîêè ëèáî ïðèíèìàþò, ëèáî îòâåðãàþò åå. Åñëè âñå èãðîêè ñîãëàñíû, òî âðåìÿ âñòðå÷è x = x1âûáðàíî è ïåðåãîâîðû çàâåðøàþòñÿ. Èíà÷å, èãðà ïåðåõîäèò íà øàã i = 2,èãðîê I2 ïðåäëàãàåò x2 , à îñòàëüíûå ãîëîñóþò. È òàê äàëåå, ïîêà ó÷àñòíèêèíå ïðèäóò ê ñîãëàñèþ. Íà øàãå i âûèãðûø èãðîêà Ij ðàâåí δ i−1 uj (x), åñëèïðèíÿòà àëüòåðíàòèâà x, ãäå δ ∈ (0, 1) åñòü êîýôôèöèåíò äèñêîíòèðîâàíèÿ.Ðåøåíèå èùåòñÿ â âèäå ñòàöèîíàðíîãî ñîâåðøåííîãî ïî ïîäûãðàì ðàâíîâåñèÿ ïî Íýøó. Íàéäåíû òî÷íûå ðåøåíèÿ äëÿ ñëó÷àåâ n = 2, 3, 4 èãðîêîâ.Òåîðåìà 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
