Автореферат (1150458), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Рассмотрим систему (24), (25) со стационарными нелинейностями. Пусть 1 () = −(). Предположим, что 1* = 0 и = 1 + * 1 Θ для11некоторой диагональной матрицы Θ с неотрицательными элементами. Тогдасистема (24) адаптивно абсолютно стабилизируема в классе неопределенностей Ξ в классе алгоритмов адаптации (26), если алгоритм адаптации имеетвид (28) и для любого ∈ Ξ линейная система (29) строго -пассифицируемаот входа к выходу с диагональной матрицей с неотрицательными элементами.Доказано, что условия Теоремы 5.1 также являются необходимыми и достаточными для существования функции Ляпунова вида "квадратичная формаплюс интеграл от нелинейности". То есть алгоритм (28) охватывает все стабилизирующие алгоритмы из класса (26), которые могут быть получены за счеттакой функции Ляпунова.В подразделе 5.2.2 дается решение задачи адаптивной абсолютной стабилизируемости на основе кругового критерия.Теорема 5.3.
Рассмотрим систему (24), (25). Пусть 1 () = −() и 1 () = , то есть 1 = . Тогда (24) адаптивно абсолютно стабилизируема в классе неопределенностей Ξ в классе алгоритмов адаптации (26), если алгоритмадаптации имеет вид (28) и для любого ∈ Ξ линейная система (29) строго-пассифицируема от входа к выходу с диагональной матрицей с неотрицательными элементами.Доказано, что условия Теоремы 5.3 также являются необходимыми и достаточными для существования квадратичной функции Ляпунова. То есть алгоритм (28) охватывает все стабилизирующие алгоритмы из класса (26), которыемогут быть получены за счет такой функции Ляпунова.В разделе 5.3 приводятся примеры адаптивной стабилизации нелинейныхсистем с секторными нелинейностями.
В подразделе 5.3.1 на основе круговогокритерия приведена синхронизация двух цепей Чуа с неизвестными параметрами. Приведена область параметров Ξ, для которых система является адаптивноабсолютно стабилизируемой на основании Теоремы 5.3. В подразделе 5.3.2 рассматривается задача адаптивной стабилизации продольного движения самолетас помощью Теоремы 5.1.
Показано, что Теоремой 5.3 стабилизируемость рассматриваемой системы не установить.В шестой главе результаты из предыдущей главы расширяются на случаи регулирования и слежения.В разделе 6.1 дается математическая постановка задачи адаптивного абсолютного слежения. Рассматривается нелинейная система со стационарныминелинейностями:˙ = () + () − ()(, ),(30) = ()* ,12где = () ∈ R , = () ∈ R , = () ∈ R – векторы состояния, входаи выхода соответственно; (, ) = col(1 (1 , ), . . .
, ( , )), где ( , ) –непрерывные функции, локально липшицевые по ; (), (), 1 (), () –вещественные матрицы подходящих размерностей, – вектор дополнительныхнеизвестных параметров из известного множества Ξ.Задана вектор-функция () ∈ R желаемого выхода системы. Таким образом, имеется следующая цель управления:‖() − ()‖ 6 Δ при > * ,(31)где Δ и * – некоторые неотрицательные константы.Вводится расширенный выход системы (30):^ = col(, ) = col(()* , )(32)Предполагается, что система (30) замкнута следующей обратной связью: = * ^,= (^ ),(33)(34)где () – непрерывная матричнозначная функция.Нелинейности ( , ) предполагаются монотонно неубывающими относительно вектора , то есть удовлетворяющими следующему соотношению длявсех ∈ Ξ и для всех :( − )( ( , ) − ( , )) > 0, = 1, .
. . , .(35)В разделе 6.2 наряду с нелинейной системой (30) рассматривается линейная система, полученная из (30) заменой 1 () на нулевую матрицу:˙ = () + (), = ()* .(36)Показано, что при условии строгой -пассифицируемости линейной системы (36) существует вектор-функция 0 (, ), удовлетворяющая следующимусловиям: * ()0 = (),(37)0 + 0* ^0 − ( * 0 ) = 0,где матрица 0 () = col(0 (), 0 ()), матрица 0 определяется из условия пассифицируемости системы (36), а матрица 0 () имеет следующий вид:{︂}︂()0* = −0−1 + diag,(38)13где обратимость 0 () = ()* (() + ()0 ()* ()* )−1 () следует из ( )свойств пассивных систем и = 1 для = 0.Тогда вектор-функция 0 (, ) может быть определена следующим образом:0 () = ( + 0* * )−1 0−1 ().(39)В подразделе 6.2.1 рассматривается задача регулирования.
Предполагается, что желаемый выход системы () постоянный: () ≡ . В этом случаеможно достичь выполнения (31) для всех Δ, то есть выполненияlim ‖() − ‖ = 0.→∞(40)Предлагается алгоритм адаптации (34) следующего вида:vec(/) = − (2 ⊗ ^)* ( − ),(41)где = * > 0 – произвольная вещественная положительно определенная(2 × 2 )-матрица, – некоторая вещественная (2 × 2)-матрица.Теорема 6.1. Рассмотрим систему (30), (32), (33).
Цель управления (40) достигается в классе неопределенностей Ξ в классе нелинейностей (35) в классеалгоритмов (34), если алгоритм адаптации имеет вид (41) и линейная система(36) строго -пассифицируема от входа к выходу с диагональной матрицей с неотрицательными элементами.Аналогично предыдущей главе доказывается, что условия Теоремы 6.1необходимы и достаточны для существования квадратичной функции Ляпунова.В подразделе 6.2.2 рассматривается общий случай задачи слежения, тоесть случай, когда () непостоянна.
В этом случае цель (40) не может бытьдостигнута. Ставится задача нахождения оценочно -оптимального алгоритма,то есть алгоритма, с которым достигается некоторая оценка оптимума Δ.В дальнейшем предполагается, что эталонный сигнал () непрерывнодифференцируем, а нелинейности ( , ) дважды непрерывнодифференциру⃒⃒⃒ ( (),) ⃒емы по . Предполагается, что max ‖()‖˙6 Δ , max ⃒ () ⃒ 6 Δ (),max |′′ ( )| 6 Δ′′ () для всех ∈ Ξ, = 1, . . . , и некоторых Δ >0, Δ () > 0, Δ′′ () > 0.Вводятся обозначения: ˜0 (, ) = vec(0 (, )), ˜0 () = vec(0 ()),˜0 (, ()) = vec(0 (, ())), где матрицы 0 , 0 , 0 определяются из (37) и (38).Доказываются следующие оценки:max ‖˜0 (, ())‖ 6 ‖0 ()‖ + ‖0−1 ()‖ +⃒⃒⃒ ( (), ) ⃒⃒ = 1 () (42) max max ⃒⃒ () ⃒14max ‖˜˙ 0 (, ())‖ 6 max max | ′′ (())| = 2 ().(43)В качестве алгоритма адаптации рассматривается алгоритм (41) с регуляризацией:vec(/) = − [( ⊗ ^)* ( − ) + vec()] ,(44)где = * > 0 – произвольная вещественная положительно определенная(22 × 22 )-матрица, – некоторая вещественная ( × )-матрица, , –дополнительные положительные параметры.Также задается следующий класс алгоритмов: = 0 (, )* ^,(45)где 0 (, ) = col(0 (), 0 (, )), где{︁0 () – некоторая(×)-матрица и 0 (, )}︁ ( ())– ( × )-матрица вида () + diagс некоторой матрицей ().
Алго ()ритмы (45) рассматриваются как подкласс "идеальных" алгоритмов, для которыхизвестны значения параметров и значения нелинейностей ().Основной результат сформулирован в следующей теореме.Теорема 6.3. Рассмотрим систему (30), (33) с алгоритмом адаптации вида(44). Предположим, что эталонный сигнал () непрерывно дифференцируем,а нелинейности ( , ) ⃒дважды⃒ непрерывно дифференцируемы по . Пусть⃒ ( (),) ⃒max ‖()‖˙6 Δ , max ⃒ () ⃒ 6 Δ (), max |′′ (())| 6 Δ′′ () для всех ∈ Ξ, = 1, . . . , и некоторых Δ > 0, Δ () > 0, Δ′′ () > 0.
Определим1 () и 2 () из (42) и (43) соответственно. Пусть 2 является минимальнымсобственным числом матрицы . Тогда цель (31) достигается, если 2 >0 и линейная система (36) строго -пассифицируема от входа к выходу с диагональной матрицей с неотрицательными элементами. Если более2 2221 ( −0 )+2, тогда алгоритм (44) оценочно -оптимальный втого > 0 = 2 (2 − )0классе неопределенностей Ξ в классе алгоритмов (45).Из доказательства Теоремы 6.3 видно, что ее условия достаточны длясуществования квадратичной функции Ляпунова, однако, в отличие от случаярегулирования и Теоремы 6.1, их необходимость не установлена.В разделе 6.3 рассматриваются примеры слежения для системы Чуа.Определяются области параметров, при которых выполнены условия адаптивного абсолютного слежения.В заключении перечислены основные результаты работы.15Публикации автора по теме диссертации1.
Lipkovich, M. Equivalence of MIMO Circle Criterion to Existence ofQuadratic Lyapunov Function / M. Lipkovich, A. Fradkov // IEEETransactions on Automatic Control. — 2016. — Vol. 61, no. 7. — P. 1895–1899.2. Fradkov, A. L. Adaptive absolute stability / A. Fradkov, M. Lipkovich //IFAC-PapersOnLine. — 2015.
— Vol. 48, no. 11. — P. 258–263.3. Липкович, М. М. О необходимости критерия Попова для существования специальной функции Ляпунова у систем с несколькими нелинейностями / М. М. Липкович, А. Л. Фрадков // Автоматика и Телемеханика. — 2015. — № 5. – С. 90–99.4. Lipkovich, M. Existence of quadratic Lyapunov function for the systems withseveral nonlinear blocks / M.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
