Автореферат (1150458), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

. , .(2)При этом нелинейности удовлетворяют так называемому секторному условиюRe {* ( , )} > 0,∀, = 1, . . . , .(3)Предполагается, что связи (3) точны в следующем смысле:inf Re ̸=0,∀ ( , )= 0,sup Re ̸=0,∀ ( , )= +∞.(4)Задача состоит в нахождении необходимых и достаточных условий существования квадратичной функции Ляпунова с симметричной (×)-матрицей () = * ,(5)такой, что ее производная в силу системы (1), (2) удовлетворяет неравенству: / < 0 при Re {* } 6 0, = 1, .

. . , , ̸= 0.(6)В разделе 2.2 доказан новый результат о неущербности -процедуры:Теорема 2.1. Пусть – комплексное линейное пространство, – линейное пространство × C . Рассмотрим вещественнозначные функционалы, 1 , . . . на следующего вида () = 0 () +∑︁Re {* ()}, () = Re {* ()},=16(7)где 0 – любой вещественнозначный функционал на , а , – линейные функционалы на .Тогда -процедура для неравенства () < 0 с ограничениями1 () 6 0, . .

. () 6 0 неущербна.В разделе 2.3 полученный результат о неущербности -процедуры используется для доказательства эквивалентности кругового критерия существованию квадратичной функции Ляпунова:Теорема 2.2. Рассмотрим систему (1), (2) с ограничениями (3), (4) и стабилизируемой парой (, ). Предположим, что ранг ( × )-матриц и равен. Тогда квадратичная функция Ляпунова (5), удовлетворяющая (6), существует тогда и только тогда, когда выполнены следующие частотные условия длянекоторых 1 > 0, . . .

, > 0 :Re {Λ ()} > 0 для ∈ (−∞, +∞),lim 2 Re {Λ ()} > 0,(8)→+∞где Λ = {1 , . . . , }.В работе показано, что вывод Теоремы 2.2 остается верен в случае, когда все матрицы и векторы, входящие в (1) вещественны. При этом матрица функции Ляпунова (5) также будет вещественна.В третьей главе рассматривается задача определения необходимых и достаточных условий существования функции Ляпунова вида "квадратичная форма плюс интеграл от нелинейности" для систем Лурье с произвольным числомнелинейностей из бесконечных секторов в вещественном случае.В разделе 3.1 дается математическая постановка задачи нахождения условий существования функции Ляпунова специального вида.

Рассматривается система Лурье, описываемая следующей системой уравнений:= + , = * ,(9)где вектор-функции = () ∈ R , = () ∈ R , = () ∈ R являютсясостоянием, входом и выходом соответственно, , , – постоянные вещественные матрицы размеров × , × , × соответственно.Передаточная матрица системы (9) имеет вид () = * ( − )−1 ,где – единичная матрица порядка .Система (1) замкнута непрерывными функциями, локально липшицевыми по = − ( ), = 1, . . . , .(10)7Предполагается, что для нелинейностей выполнены следующие соотношения: ( ) > 0, = 1, . . .

, ,(11)означающие, что графики функций (10) должны лежать в бесконечном секторе,который составляют первый и третий квадранты на плоскости.Делается предположение, что связи (11) точны в следующем смысле: ( )= 0, ̸=0inf ( )= ∞, ̸=0sup = 1, . . . , .(12)Задача состоит в нахождении для класса систем (9), (10), для которых выполнено (11), (12), необходимых и достаточных условий существования функции Ляпунова вида «квадратичная форма плюс интеграл от нелинейности» ссимметричной ( × )-матрицей ∫︁ ∑︁* ( ) , ∈ 1 ,(13) () = + 20=1такой, что для всех ̸= 0 ее производная в силу системы отрицательна: / < 0 при 6 0, = 1, .

. . , .(14)В разделе 3.2 сформулирован и доказан основной результат об эквивалентности критерия Попова существованию функции Ляпунова (13), удовлетворяющей (14)Теорема 3.1. Пусть дана система (9), (10) с ограничениями (11), (12) и стабилизируемой парой (, ). Введем диагональную матрицу Θ = diag{1 , . . .

, }с коэффициентами функции Ляпунова на диагонали. Предположим, что ранг( × )-матриц и равен и выполнено Θ * = 0.Тогда существование функции Ляпунова вида (13), для которой выполнено (14), равносильно следующему частотному условию, выполненному для некоторых 1 , . . . , > 0:{︀}︀Re * ( − )−1 > 0 при ∈ (−∞, +∞),(15)lim 2 Re {* ( − )−1 } > 0,→+∞где матрица = Λ + * Θ/2, Λ = diag{1 , . . . , }.В четвертой главе рассматривается обобщение результата предыдущейглавы на комплексный случай. На сколько известно автору, ранее критерий Попова рассматривался только в вещественном случае.

В четвертой главе сделанапопытка получить критерий Попова для комплексного случая и доказана его эквивалентность существованию функции Ляпунова из соответствующего класса.8В разделе 4.1 дается математическая постановка задачи нахождения условий существования функции Ляпунова вида "квадратичная форма плюс вещественная часть интеграла от нелинейности". Рассматривается система Лурье,описываемая следующей системой уравнений:= + , = * ,(16)где вектор-функции = () ∈ C , = () ∈ C , = () ∈ C – состояние, вход и выход соответственно, , , – постоянные комплексные матрицыразмеров × , × , × соответственно.Передаточная матрица системы (16), как и ранее, имеет вид () =* ( − )−1 , где - единичная матрица порядка .Предполагается, что система (16) замкнута локально липшицевыми комплексными функциями от = − ( ), = 1, .

. . , .(17)Рассматриваются нелинейности, вещественные и мнимые части которыхдифференцируемы как функции вещественных переменных и связаны следующим соотношением: Re (1 , 2 ) Im (1 , 2 )=,21(18)которое можно рассматривать как одно из условий Коши-Римана, выполненноедля * ().Нелинейности удовлетворяют секторному условию:Re{* ( ) } > 0, = 1, . . . , ,(19)являющемуся аналогом бесконечного сектора в вещественном случае.Предполагается, что связи (19) точны в следующем смысле:inf Re ̸=0 ( )= 0,sup Re ̸=0 ( )= +∞.(20)Для каждого обозначим за отрезок, соединяющий точку 0 с точкой = ( * ) на комплексной плоскости. Задача состоит в нахождении необходимых и достаточных условий существования функции Ляпунова вида «квадратичная форма плюс вещественная часть интеграла от нелинейности» с симметричной ( × )-матрицей ⎧⎫⎪⎪∫︁⎨⎬∑︁** () = + 2 Re () , ∈ 1 ,(21)⎪⎪⎩⎭=19такой, что для всех ̸= 0 производная (21) в силу системы (16), (17) отрицательна: / < 0 при Re{* } 6 0, = 1, .

. . , , ̸= 0.(22)В разделе 4.2 сформулирован и доказан основной результат об эквивалентности критерия Попова существованию функции Ляпунова (21), удовлетворяющей (22).Теорема 4.1. Рассмотрим систему (16), (17) с ограничениями (18), (19),(20) и стабилизируемой парой (, ). Введем диагональную матрицу Θ =diag{1 , . . . , } с коэффициентами функции Ляпунова на диагонали. Предположим, что ( × )-матрицы и имеют ранг и матрица Θ * равнанулевой матрице.Тогда функция Ляпунова (21), удовлетворяющая (22) существует тогдаи только тогда когда выполнены следующие частотные соотношения для некоторых 1 , . .

. , > 0:{︀}︀Re * ( − )−1 > 0 при ∈ (−∞, +∞),(23)lim 2 Re {* ( − )−1 } > 0,→+∞где матрица = Λ + * Θ/2, Λ = diag{1 , . . . , }.Полученный критерий по форме совпадает с критерием Попова для вещественного случая из предыдущей главы.На основе полученного частотного критерия приводится теорема об абсолютной устойчивости.Теорема 4.2. Рассмотрим систему (16), (17) с гурвицевой матрицей . Введемматрицу Θ = diag{1 , . . . , } с неотрицательными элементами на диагонали,такую что Θ * неотрицательно определена и выполнено частотное условие (23) для некоторых 1 , . . . , > 0. Тогда система (16), (17) абсолютноустойчива в классе нелинейностей (18), (19).В разделе 4.3 дается пример анализа абсолютной устойчивости сверточной нейронной сети Хопфилда на основе полученной теоремы.В пятой главе формулируется и решается задача адаптивной абсолютнойстабилизации системы с секторными нелинейностями.В разделе 5.1 дается определение адаптивной абсолютной устойчивости.Рассматривается нелинейная система:˙ = () + () + 1 ()(1 , , ), = ()* ,(24)1 = 1 ()* ,10где = () ∈ R , = () ∈ R , = () ∈ R , 1 = 1 () ∈R – состояние, вход и два вектора выхода соответственно; (1 , , ) =col(1 (11 , , ), .

. . , (1 , , )), где (1 , , ) – непрерывные функции, локально липшицевые по 1 ; (), (), 1 (), (), 1 () – вещественные матрицы соответствующих размерностей, – вектор дополнительных неизвестныхпараметров из известного множества Ξ.Система (24) замкнута следующей обратной связью: = * ,= (),(25)(26)где () – непрерывная матричная функция. Уравнение (26) определяет законизменения матрицы . Такие законы называются адаптивными алгоритмами.Отметим, что алгоритм (25), (26) не зависит от неизвестного .Нелинейности (1 , , ) лежат в бесконечном секторе для всех ∈ Ξ:∀, = 1, . . . , , (1 , ) 1 > 0,(27)что означает, что графики функций расположены в первом и третьем квадрантах на плоскости.Задача состоит в нахождении функции () в (26), не зависящей от ∈ Ξ, такой, что система (24) адаптивно стабилизируема алгоритмом (25),(26) для всех нелинейностей из класса (27) для всех неизвестных параметров ∈ Ξ.В разделе 5.2 вводится следующий алгоритм адаптацииvec(/) = − ( ⊗ )* ,(28)где = * > 0 – произвольная вещественная положительно определенная(2 × 2 )-матрица, – некоторая вещественная ( × )-матрица, ⊗ – кронекерово произведение матриц, а vec – оператор векторизации, ставящий матрицев соответствие вектор, получающийся наложением ее столбцов друг на друга.Наряду с нелинейной системой (24) вводится линейная система, получающаяся из (24) заменой 1 () на нулевую матрицу:˙ = () + (), = ()* .(29)В подразделе 5.2.1 дается решение поставленной задачи на основе критерия Попова.Теорема 5.1.

Характеристики

Список файлов диссертации