Автореферат (1150418), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Особоотмечается проблема наличия неопределенностей в задании математических моделей внешних возмущений, представляющая одну из основныхтрудностей при анализе и синтезе систем управления.В качестве основной математической модели морского судна в работерассматривается система нелинейных дифференциальных уравненийx  F (t , x, δ, w ) ,(1)где x  E n – вектор состояния судна, δ  E m – вектор состояния исполнительных органов, w  E l – вектор внешних возмущающих воздействий.В реальных практических ситуациях для внешнего возмущения характерна существенная неопределенность, связанная с непредсказуемостьюповедения воздушной и водной среды, в которой осуществляется плавание.Данное обстоятельство существенно затрудняет анализ и проектированиесистемы управления, одной из центральных задач которой является подавление влияния внешних воздействий на судно.Будем считать, что компоненты функции F являются непрерывно дифференцируемыми по совокупности всех своих аргументов.

Более того, будем полагать, что при любом выборе функций δ  δ(t ) и w  w (t ) , соответствующих рабочим режимам функционирования судна и системы управления движением, для системы (1) существует и единственно решение задачиКоши для начальных условий x 0  x(0) данного режима.Кроме уравнений судна (1) в состав математической модели объектауправления вводятся уравнения динамики приводовδ  F (t , δ, u ) ,(2)где u  E m – вектор управляющих сигналов, и уравнения измерителейy  Fy (t , x, δ),(3)где y  E k – вектор измеряемых динамических переменных.Далее считается, что все компоненты функции Fy непрерывнодифференцируемые, а в состав компонент функции F обычно входят существенные нелинейности (срезки, зоны нечувствительности и т.д.).При синтезе полагаем, что уравнения динамики приводов можно представить простейшей линейной моделью(4)δ  u.7Второй параграф посвящен формализации задач синтеза с учетом указанных неопределенностей.

Здесь вводится базовое понятие размера множества реакций на ограниченные внешние возмущения, минимизация которого в различных вариантах его определения составляет основу принятого в диссертации оптимизационного подхода к синтезу.В частности в параграфе рассматривается результат линеаризацииуравнений (1) – (3) при постоянной скорости хода в окрестности нулевогоположения равновесия по остальным переменнымx  Ax  Bδ  Dw (t ),δ  u, e  Mx, y  Cx,(5)где e  E k e – вектор контролируемых переменных, A , B , D , C и M –матрицы соответствующих размерностей с постоянными компонентами.Существо задачи аналитического синтеза состоит в формированииуравнений обратной связи по измеряемому выходуu  Wy ( s)y  W ( s )δ ,(6)записанные в tf-форме, где Wy (s ) и W (s) – передаточные матрицы сдробно-рациональными компонентами по переменной Лапласа s .

Поискэтих матриц осуществляется в виде решения соответствующей оптимизационной задачи с обеспечением асимптотической устойчивости нулевогоположения равновесия при отсутствии возмущений. Целью оптимизацииявляется достижение желаемых динамических свойств системы.Особое внимание уделяется тому факту, что заранее неизвестно, какими будут функции w (t ) в процессе движения.

Эта неопределенность существенно затрудняет процесс проектирования закона управления, посколькужелаемый результат по динамике судна должен достигаться при любомвыборе функций w (t ) из допустимого множества.В диссертационной работе считается, что указанное возмущающее воздействие является элементом нормированного пространства  с нормойw r . При этом вводится в рассмотрение допустимое множество  wa  возмущающих воздействий wa  w (t )   : w r  w0  ,где w0  0 – заданное конечное вещественное число.При этом совокупностьea  L( wa )  e(t )   : e  L(w ) ,где L :    – линейный оператор, будем называть множеством реакций8на допустимые возмущения.В силу асимптотической устойчивости нулевого положения равновесиязамкнутой системы (5), (6), множество реакций будет ограниченным понорме пространства  , т.е.~ea  ea  e(t )   : e r  e0  ,(7)где e0  0 – некоторое конечное вещественное число.Для формализации задачи в работе используется понятие размера множества реакций ea .~Определение 1.

Радиус e0 шара ea в соотношении (7) будем называть размером множества ea реакций на допустимые возмущения, еслиэто число определяется условиемe0  sup L(w ) r .wwaЗадачей синтеза стабилизирующей обратной связи (6) для объекта сматематической моделью (5) при наличии неопределенности в заданиивозмущающих воздействий будем называть оптимизационную задачуe0  J we Wy , W  infWy , W  a  (8)об аналитическом поиске наилучшей пары Wy , W , обеспечивающей выполнение комплекса структурных и динамических требований к замкнутойсистеме. Здесь множество  a , являющееся сужением совокупности  стабилизирующих регуляторов, определяется указанными требованиями, аJ we – функционал, заданный на движениях системы (5), (6).Особое внимание в диссертации уделяется специальному подходу коценке размера J we множества реакций, базирующемуся на понятии минимального инвариантного эллипсоида.

Основное достоинство этого подхода состоит в относительной простоте вычисления значений функционалаJ we , что существенно облегчает решение задачи (8) на множестве стабили~зирующих регуляторов  . Идея состоит в том, что вместо шара ea рассматривается минимальный инвариантный эллипсоид, содержащие множество ea реакций на допустимые возмущения.В третьем параграфе предлагается оригинальный метод минимизацииразмера множества реакций при учете дополнительного требования обеспечения заданной степени устойчивости.

Метод не ориентирован на конкретный способ введения размера и имеет универсальный характер, позволяющий его использовать для произвольных линейных законов управления9с фиксированной структурой.Будем считать, что множество пар Wy , W  передаточных матриц определим двумя требованиями:а) структура обратной связи (6) является исходно фиксированной с выделением вектора h  E p настраиваемых числовых параметровu  Wy ( s, h)y  W ( s, h)δ ;(9)б) выбор вектора h осуществляется в пределах допустимого множества h   h  E p :  i (h)  C  , i  1, nd ,(10)где i (h) – корни характеристического полинома  3 ( s, h) степени ndзамкнутой системы (5), (9). В качестве области C примемC   {s  x  jy  C1 : x   d } , где  d  0 – заданное вещественное число, определяющее степень устойчивости замкнутой системы.Введем в рассмотрение функционал J d , характеризующий размермножества ea реакций замкнутой системы (5), (9) на допустимые возмущения w   wa .Определение 2.

Задачей параметрической минимизации размера множества реакций замкнутой системы (5), (9) при наличии неопределенностив задании возмущающих воздействий будем называть конечномерную задачу о поиске экстремумаJ d  J d (h)  min .h h(11)Теорема 1.3.1. Если решение задачи (11) параметрической минимизации, где допустимое множество  h определяется заданной структурой обратной связи и требованием степени устойчивости не хуже заданной величины  d , достигается в некоторой точке h 0   h , то в пространстве E (  – размерность варьируемого вектора) найдется такая точка ε 0 , что справедливо равенствоh 0  h* (ε 0 ),где вектор ε 0 удовлетворяет условию*ε 0  arg min J d (ε ).εE(12)(13)И обратно: если в пространстве E  найдется точка ε 0 , удовлетворяющая (13), то вектор h 0  h* (ε 0 ) является решением задачи (11).

Или, иными словами, задача (11) параметрической минимизации размера множествареакций эквивалентна задаче на безусловный экстремум10J d*  J d* (ε )  min .(14)εEТеорема сводит оптимизационную задачу (11), которая решается с учетом сложных нелинейных ограничений, к более простой конечномернойзадаче на безусловный экстремум.Во второй главе в центре внимания находится задача о выборе стабилизирующего регулятора, обеспечивающего наименьший размер минимального инвариантного эллипсоида для замкнутой системы с учетом еежелаемых модальных свойств.В первом параграфе рассматривается линейная модель динамики суднаx  Ax  Bδ  Dw (t ),δ  u, y  Cx, e  y.(15)Обратная связь для системы (15) формируется в видеu  K x x  K  δ  K  x  δ   , K   K x K   ,(16)где матрицы K x и K  имеют постоянные компоненты.Как и ранее считается, что в задании внешнего возмущающего воздействия есть неопределенность, однако имеет место ограничениеwt   1 при 0  t   ,(17)где норма понимается в смысле пространства E l .Введем сужение  sk множества  k стабилизирующих регуляторов,определяя его желаемыми модальными требованиями sk   K   k : i (K )  C  , i  1, n  m,(18)где i (K ) – корни характеристического полинома этой системы, C – заданная область на комплексной плоскости.Рассмотрим задачу о выборе стабилизирующего регулятора (16), который обеспечивает наименьший размер J d минимального инвариантногоэллипсоида с учетом желаемых модальных свойств замкнутой системыJ d  J d (K ) minK sk  k.(19)Теорема 2.1.1.

Для функционала J d (K ) в задаче (19) существует минимизирующая последовательность {K (ε i )} регуляторов (16), определяемая последовательностью векторов-параметров ε i  такой, чтоlim{K (ε i )}  K 0  arg min J d (K ) , limJ d K (ε i )   J d (K 0 )  J d0 .i K ski (20)Доказательство имеет конструктивный характер: в нем указывается11конкретный путь выбора соответствующей последовательности ε i  . Набазе теоремы 2.1.1 формируется прямой алгоритм решения задачи (19), основанный на ее трансформации к задаче на безусловный экстремум.Наряду с прямым алгоритмом решения задачи, здесь предлагаются иболее простые вычислительные схемы для минимизации функционалаJ d (K ) на различных сужениях множества  sk .Определение 3.

Совокупность     k стабилизирующих регуляторов с матрицами K  K (, )   B0 P 1 (, ) будем называть множеством параметризованных регуляторов для задачи J d  J d (K )  min . ЗдесьK k и  – произвольные положительные вещественные числа, P (, ) – положительно определенное решение линейного матричного уравненияA 0 P  PA0   B 0 B0  P   1D3 D3  0 .Теорема 2.1.2.

Для произвольного регулятора (16) из совокупности  на множестве  sk всегда найдется регулятор (16), который наиболееблизок к нему в смысле удаления      (, , K )  ν (, )  ν (K ) , где ν –вектор коэффициентов характеристического полинома замкнутой системы.Это утверждение позволяет сформировать два алгоритм поиска приближенного решения задачи (19) с использованием известной методикипоиска минимума функционала J d (K ) на множестве  k .Второй параграф посвящен вопросу уменьшения размера минимального инвариантного эллипсоида с учетом дополнительных требований к динамике замкнутой системы.Определение 4. Замкнутую систему (15), (16) называют астатическойпо выходу y , если при наличии возмущений видаw (t )  w 0 1(t ) ,(21)для любого вектора w 0  E l выполняется равенство lim y  t   0 .

Регуляторt (16), обеспечивающий это условие, называют астатическим по вектору y .Наряду с (16), введем в рассмотрение скоростные регуляторыu  μx  νy ,(22)матрицы μ и ν , которых имеют постоянные компоненты.Теорема 2.2.1. Пусть для системы (15) выполняются условия k  m ,rank C  m . Тогда, при отсутствии внешних возмущений, регуляторu  K x x  K  δ  K (x δ) , являющийся решением задачи*  * (ε)    (, , K (ε ))  min ,(23)εEможно однозначно представить в эквивалентной форме (22), где матрицы12μ и ν однозначно определяются матрицей K .

Характеристики

Список файлов диссертации