Диссертация (1149922), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Оказалось, что в слу­чае достаточно сильной сингулярности потенциала стандартная сингулярность(−1 ) функции Грина в начале координат модифицируется, так что она обла­дает дополнительной полярной сингулярностью вида (−+1 ), кроме случая = 1, в котором возникает логарифмическая сингулярность.Именно эта дополнительная сингулярность приводит к модификации опре­деления точечного потенциала. В частности, изменяется область определения в̃︀ с точечным взаимодействием. Дей­пространстве 2 оператора Шредингера ствительно, согласно методу самосопряженных расширений эта область факти­чески состоит из функций с тем же сингулярным поведением в начале коорди­нат, что и исследованная функция Грина. Модифицируется также явный видпсевдопотенциала, который добавляется в уравнение Шредингера в подходе спсевдопотенциалом.Показано, что добавление псевдопотенциала в уравнение Шредингера при­водит к появлению сингулярности в асимптотике при → 0 волновой функции,40являющейся решением этого уравнения.

Эта сингулярность полностью опре­деляется исследованной асимптотикой функции Грина. При этом необходиморазличить три случая в зависимости от значения параметра потенциала .В случае особенности потенциала вида − с < 1, асимптотика волновойфункции имеет стандартный вид (1.112), совпадающий с тривиальным случаем = 0 (1.2). В случае 1 ≤ < 3/2 асимптотика содержит дополнительнуюсингулярность. Эта сингулярность является результатом наложения особенно­стей потенциала и точечного взаимодействия. При = 1 дополнительнаялогарифмическая сингулярность имеет ту же форму (1.111), что и в случаекулоновского потенциала (1.15).

В случае 1 < < 3/2 дополнительная сингу­лярность имеет вид полярной особенности вида −+1 (1.110). Из полученныхвыражений легко получается точный вид псевдопотенциала (1.99). Он опреде­ляется сингулярными членами асимптотик волновых функций. Во всех перечис­ленных случаях значений параметра псевдопотенциал выражается формула­ми (1.113)–(1.114). Псевдопотенциалы выражены в явном виде через парамет­ры потенциала , определяющие его поведение в точке сингулярности.

Отсюдаможно сделать важный вывод, что вид точечного взаимодействия полностьюопределяется именно этими параметрами. Отметим еще раз, что в отличие отметода самосопряженных расширений подход с псевдопотенциалом позволяетопределять точечные потенциалы как с вещественными, так и с комплекснымиконстантами связи .Мы рассмотрели класс короткодействующих потенциалов V(, ) с < 3/2и > 1. Такой выбор параметров не является критическим, прежде всего этокасается .

С небольшими изменениями техники результаты диссертации можнообобщить на случай более слабого условия > 0, для чего необходимо получитьболее тонкие оценки интегралов типа 2 , оперируя с неабсолютно сходящимисяинтегралами. Условие на параметр тоже может быть ослаблено до < 2, чтоприведет к появлению дополнительных сингулярностей у функции Грина.41Глава 2Суперпозиция точечного и кулоновскогопотенциалов2.1. Метод псевдопотенциала в случае кулоновскогопотенциалаВ предыдущей главе было показано, что при построении операторов Шре­дингера формального вида −∆ + + “ ” решающее значение имеет асимпто­тическое поведение при → 0 функции Грина (, 0, ) невозмущенного опера­тора −∆ + .

В случае короткодействующих потенциалов из класса V(, ),определенного формулами (1.19), (1.20) и (1.21), вид асимптотики был полученв предыдущей главе. Эти результаты нельзя применить в случае кулоновскогопотенциала () = n/, поскольку он не является потенциалом из V(, ), из­за нарушения условия (1.19) убывания на бесконечности. Однако координатноепредставление функции Грина оператора Шредингера с кулоновским потенци­алом известно в явном виде [35]. Это позволяет в данном разделе вычислитьасимптотику этой функции в начале координат, а затем при помощи методапсевдопотенциала построить оператор Шредингера с суммой кулоновского иточечного потенциалов.Итак, теперь невозмущенным оператором является оператор Шредингерас кулоновским потенциалом = −∆ + n/.(2.1)Нашей задачей является построение возмущенного точечным взаимодействием̃︁ при помощи добавления псевдопотенциала в урав­оператора Шредингера нение Шредингера.

Уравнение Шредингера с псевдопотенциалом имеет вид[︀]︀ − 2 (, ) + ()(, ) = 0.(2.2)42Псевдопотенциал как обычно определим равенством ()(, ) = () .(2.3)с константой . Предположим, что 2 ∈/ ( ). Обращая оператор в левойчасти равенства (2.2), перейдем к интегральному уравнению Липпманна-Швин­гера, которое с учетом (2.3) будет иметь видZ(, ) = (, ) − d ′ (, ′ , 2 + i0)( ′ ) .(2.4)Здесь (, ′ , ) — функция Грина оператора Шредингера с кулоновским по­тенциалом. Кулоновская волновая функция рассеяния (, ) является реше­нием уравнения( − 2 ) (, ) = 0,(2.5)которое удовлетворяет асимптотическому граничному условию (, ) ∼ exp[i · + i ln( − · )] + exp[i − i ln(2)](2.6)при → +∞.

Функция (, ) известна в явном виде [36] (, ) = Γ(1 + i)−/2 i· (−i, 1; i[ − · ]).(2.7)В этих формулах = n/(2) — определенный стандартным выражением пара­метр Зоммерфельда, Γ() — гамма-функция и (, ; ) — регулярная функцияКуммера (конфлюэнтная гипергеометрическая функция) [37]. Выполняя инте­грирование при помощи -функции, перейдем от (2.4) к представлению(, ) = (, ) − (, 0, 2 + i0) .(2.8)Теперь нам нужно вычислить асимптотику полученного выражения при → 0.Явный вид кулоновской функции Грина в координатном представлениибыл найден в работе [35]. Воспользуемся приведенной в этой работе формулой (, 0, 2 + i0) =1Γ(1 + i)−i; 21 (−2i) ,4(2.9)43которая выражает функцию Грина через функцию Уиттекера ; () [37]. Под­ставляя это представление в (2.8), выведем точный вид асимптотики волновойфункции (, ) при → 0. Кулоновская волновая функция рассеяния регу­лярна при = 0 и ее асимптотическое разложение имеет вид (, ) = Γ(1 + i)−/2 [1 + ()].(2.10)Кулоновская функция Грина (, 0, ) сингулярна при → 0.

Явный вид этойсингулярности получим, используя представление (2.9). Функцию Уиттекераможно выразить через нерегулярную функцию Куммера [37]11; () = − 2 2 + (1/2 + − , 1 + 2, ),(2.11)в случае − < arg < . При интересующих нас аргументах = −i , = 1/2и = −2i получается−i; 21 (−2i) = −2ii (1 + i, 2, −2i).(2.12)Используем разложение нерегулярной функции Куммера при целых [37][︂(−1)+1 (, + 1, ) = (, + 1; ) ln !Γ( − )]︂∞∑︁()+ {( + ) − (1 + ) − (1 + + )}!( + 1)=0+( − 1)! − ( − , 1 − ; ) .Γ()(2.13)Здесь − < arg < , () = Γ( + )/Γ() — символ Похгаммера, () =Γ′ ()/Γ() — дигамма функция и (, ; ) обозначает полином, который по­лучается отбрасыванием слагаемых в разложении регулярной функции Кумме­ра:∑︁() (, ; ) =.!()(2.14)=0Регулярная функция Куммера (, ; ) получается из (, ; ) как предел (, ; ) = lim (, ; ) .→∞44Подставляя в разложение (2.13) аргументы, соответствующие множителю вформуле (2.12), и сохраняя главные члены получающегося разложения, прихо­дим к асимптотической формуле (1 + i, 2, −2i) = −+i11[1/ + 2 ln ]2i Γ(1 + i)nΓ(1 + i)[4() − i] + ( ln )(2.15)при → 0.

Здесь () определяется согласно() =i4+n4[ln(−2i) + (1 + i) + 20 − 1] ,(2.16)где 0 — постоянная Эйлера-Маскерони [37]. Подставляя (2.12) и (2.15) в (2.9),получаем интересующую нас асимптотику при → 0 кулоновской функцииГрина1[1/ + n ln ] + () + ( ln ).(2.17)4Теперь, подставляя полученные результаты в (2.8), получаем для асимпто­ (, 0, 2 + i0) =тики волновой функции при → 0(, ) =−[1/ + n ln ] + reg + ( ln ),4(2.18)где за reg = Γ(1 + i)−/2 − () обозначена регулярная в точке = 0часть волновой функции. Мы получили, что волновая функция , являющая­ся решением уравнения Шредингера (2.2) с суммой кулоновского потенциала ипсевдопотенциала (2.3), имеет сингулярное поведение в начале координат, ко­торое описывается формулой (2.18).

Положим = reg . Формула (2.18) тогдапринимает окончательный вид(, ) =[1/ + n ln ] + + ( ln ),4(2.19)где константы определяются выражениями = − ,Γ(1 + i)−/2 =.1 + ()(2.20)(2.21)45Эти константы не являются независимыми. Единственным независимым пара­метром является параметр = − / .Теперь можно выписать явный вид псевдопотенциала (1.99) в рассматри­ваемом случае.

С учетом (2.19) непосредственным вычислением проверяетсярезультатd (, ) = ,→0 dlim(2.22)где новая переменная определяется равенством =.1 + n ln Это позволяет записать псевдопотенциал в виде () = ()d ,dили в явном виде(1 + n ln )2 d () = ().1 − nd 1 + n ln (2.23)Этот псевдопотенциал был впервые получен в работе [33].

Заметим, что в пре­деле n = 0 получается стандартное выражение для псевдопотенциала (1.5).В главе 3 мы будем вычислять дискретный спектр оператора Шредингерас суммой кулоновского и точечного потенциалов. Одним из возможных методоввычисления спектра оператора является нахождение полюсов функции Гринаэтого оператора. Для нахождения функции Грина оператора Шредингера сточечным потенциалом можно также использовать подход с псевдопотенциа­лом [28].

Характеристики

Список файлов диссертации