Диссертация (1149922), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Действительно, в силу ограниченности на области интегрированиянайдется константа , такая что || ≤ , и следовательноZ11 − |()|≤ d| − |(1 + )Ω1Zd1 − .| − |(1.32)Ω1Вычисление последнего интеграла легко выполняется при помощи формулы∞(︁)︁ℓ11 ∑︁ <′ˆ=ℓ ˆ · ,ℓ| − ′ | >>(1.33)ℓ=0где ℓ — полином Лежандра и как обычно > = max{, ′ } и < = min{, ′ }.Используя ортогональность полиномов Лежандра, легко убедиться в справедливости формулыZdˆ21=( + − | − |) .| − |(1.34)Подставляя формулу (1.34) в правую часть (1.32), при ≤ 0 приходим к результатуZ14d − =| − |ZZ0d 2− + 4d 1−(1.35)402−42−=−.2−(3 − )(2 − )(1.36)0Ω1Последнее выражение и, следовательно, абсолютная величина интеграла Φ1ограничены при ≤ 0 .
В случае > 0 имеемZ41 − =d| − |Ω1Z0d 2−4 03−= 3−(1.37)0и тогда приходим к оценке4 03−|Φ1 ()| ≤ . 3−(1.38)23Собирая полученные результаты, приходим к заключению, что существует константа 1 такая, что для любых значений имеет место оценка|Φ1 ()| ≤ 11.1+(1.39)Перейдем к изучению Φ2 . Оценим этот интеграл по абсолютному значению.Имеем, с учетом (1.19) и (1.26),+∞Z1d (1 + )1++2|Φ2 ()| ≤ Zdˆ1.| − |(1.40)0Рассмотрим вначале ограниченные ≤ 0 . В этом случае в силу формулы (1.34)имеем+∞Zd|Φ2 ()| ≤ 4 .(1 + )1++(1.41)0Поскольку последний интеграл сходится и не зависит от , интеграл Φ2 ограничен при ≤ 0 . Рассмотрим теперь случай неограниченных сверху > 0 .В этом случае, используя (1.34) для интеграла по угловой части , неравенство (1.40) приводим к виду2 |Φ2 ()| ≤+∞Zd ( + − | − |).(1 + )1++(1.42)0Замена переменной = в интеграле правой части (1.42) позволяет получитьнеравенство2 +−1+∞Zd(1 + − |1 − |) ≤(1/ + )1++(1.43)0 /≤2 +−1+∞Zd1 +(1 + − |1 − |) .0Для того, чтобы показать, что последний интеграл сходится, разобъем областьинтегрирования по переменной на два интервала ≥ 1 и 0 ≤ < 1.
На24этих интервалах выражение 1 + − |1 − | равняется соответственно 2 и 2 ,следовательно, для интеграла из правой части (1.43) мы получаем+∞Zd1 1++Z1+∞Z(1 + − |1 − |) = 2 d 1−− + 200d1 +.(1.44)1Поскольку 0 ≤ < 1 и > 1 можно считать сколь угодно близким к 1,то оба интеграла в правой части последнего равенства сходятся.
В результатеприведенного анализа правой части (1.43) при > 0 можно написать оценкусверху|Φ2 ()| ≤Φ(1.45)+−1с некоторой константой Φ . Объединяя полученные оценки, приходим к заключению, что для всех доказана справедливость неравенства|Φ2 ()| ≤ 21.(1 + )+−1(1.46)Теперь можно объединить результаты (1.39) и (1.46) в окончательную оценкуабсолютного значения интеграла Φ|Φ())| ≤ |Φ1 ()| + |Φ2 ()| ≤ 1(1 + ) ′(1.47)с ′ = min(1, + − 1) и некоторой константой .
Поскольку + − 1 > , тоиз оценки (1.47) следует утверждение, сформулированное в конце предыдущегопараграфа, то есть функция Φ ∈ C( ′ ), с ′ ≥ . Равностепенная непрерывностьмножества функций Φ определяется свойствами функции 0 Отсюда следует,что при 0 ≤ < 1 ядро интегрального уравнения (1.25) действительно определяет оператор, компактный в C() (можно взять, например, = 1/2).Свободный член уравнения (1.25) как функция не принадлежит классуC(), поскольку имеет сингулярность при → 0. Действительно, асимптотическое поведение при → 0 свободного члена уравнения (1.25) следует из явноговида (1.24)√1i 0 (, 0, ) =++ ().44(1.48)25Чтобы избавиться от сингулярности в уравнении (1.25) при → 0, итерируемего один раз, что приводит к выражениюZ(, ) = 0 (, 0, ) − d 0 (, , ) ()0 (, 0, )ZZ+ d 0 (, , ) () d ′ 0 (, ′ , ) ( ′ )( ′ , ).(1.49)Исследуем асимптотическое поведение второго слагаемого из (1.49).
Рассмотрим функциюZ (, ) = d 0 (, , ) ()0 (, 0, ).(1)(1.50)Вновь разобьем область интегрирования на две части Ω ∈ R3 , определенныев (1.29) при оценке интеграла Φ, с теми же предположениями относительнорадиуса 0 . Снова интеграл в правой части (1.50) представится в виде суммыинтегралов 1(2) , определенных формуламиZd 0 (, , ) ()0 (, 0, ). () =(1.51)ΩРассмотрим вначале интеграл 1 () при ≤ 0 . Выясним поведение данного интеграла при → 0.
Выделим в подынтегральных сомножителях, входящихв интеграл 1 , их главные особенности, то есть воспользуемся представлениями(︁√i |−|)︁−110 (, , ) =+4| − |4| − |, () = − () = − 0 + − (() − 0 ),(︁ √)︁i −11+.0 (, 0, ) =44(1.52)(1.53)(1.54)С учетом свойств функции второе слагаемое в (1.53) можно записать в виде − (() − 0 ) = −+1 1 (),(1.55)где функция 1 является гладкой ограниченной функцией своих аргументов.Тогда наиболее сингулярный член 1 () при → 0 будет даваться выражением,26получаемым подстановкой в (1.51) с = 1 главных членов разложений подынтегральных сомножителей, определенных в (1.52)–(1.55).
Обозначим этот член1 , явный вид которого дается интеграломZ21 () = 0 /(4)d | − |−1 −−1 .(1.56)Ω1Вычисление интеграла по угловым переменным в (1.56) легко выполняется припомощи формулы (1.34) и приводит к результату⎡1 () =Z0 ⎣ 1d 1− +4 Z0⎤d − ⎦ .(1.57)0Далее в зависимости от величины получаем два случая, именно если ̸= 11 () =00−+1 +0−+1 ,4(2 − )( − 1)4(1 − )(1.58)если же = 1, интеграл 1 равен1 () = −00ln() + [1 + ln(0 )].44(1.59)Из (1.58) видно, что если 1 < < 3/2, то 1 имеет полярную сингулярность−+1 , если же < 1, то первое слагаемое в (1.58) исчезает при → 0.
Таким образом, 1 регулярен и имеет конечный предел. Из приведенного анализаинтеграла (1.56) ясно, что учет менее сингулярных членов разложений подынтегральных функций в 1 () даст несингулярные вклады при → 0.Покажем, что абсолютная величина остатка 1 () − 1 () ограничена по при ≤ 0 . Чтобы исследовать остаток 1 () − 1 (), воспользуемся элементарной формулой( + )( + )( + ) − = + ( + ) + ( + ) + ( + ), (1.60)где , , , , , — комплексные числа. Применяя ее к произведению подынтегральных сомножителей в интеграле 1 , записанных в форме (1.52)–(1.55),получим(1)(2)(3)(4)1 () − 1 () = 1 () + 1 () + 1 () + 1 (),(1.61)27где обозначено(1)1 () =1(4)2Zd −(︁ √)︁ (︁ √)︁i |−|i −1 −1Ω1Z| − |1 (),√i − d 1 (),| − |Ω1(︁ √)︁i |−|Z−11(3)−−11 () =(),d (4)2| − |Ω1(︁ √)︁√i i |−|Z−10(4)−−11 () =d .(4)2| − |(2)1 ()1=(4)2(1.62)(1.63)(1.64)(1.65)Ω1Воспользуемся следующей легко проверяемой оценкой ([30], формула 12.6)′|sin()| ≤ | |||,1 + ||(1.66)где ′ ≡ ℑm и — константа, справедливой для всех значений и для всехдействительных ≥ 0.
Теперь можно написать⃒ i√|−|⃒⃒ √⃒ ⃒⃒− 1⃒ = 2⃒i |−|/2 ⃒ · ⃒ sin√| − | ⃒⃒√ 2√| | · | − |√≤ |ℑm |·|−|/2.1 + | | · | − |/2(1.67)Поскольку , ≤ 0 , имеем | − | ≤ 20 , следовательно, на рассматриваемомпромежутке интегрирования⃒(︁ √)︁⃒√√⃒ i |−|⃒− 1 ⃒ ≤ | |0 |ℑm | | − | ≡ ′ | − |⃒ (1.68)при ≤ 0 , в том числе при = 0. С учетом ограниченности |1 | ≤ ′ инеравенства (1.68) получаем ′ ′2(1)|1 ()| ≤4Z0d 3− ′ ′2 04−=.4(4 − )(1.69)0(1)Отсюда следует, что интеграл 1 ограничен при ≤ 0 . Аналогично получаем,28(3)что интеграл 1ограничен:(3)|1 ()| ′≤4Z0d 1− ′ 02−.=4(2 − )(1.70)0(2)В случае интеграла 1(2)′|1 ()| ≤′(4)2имеемZ′−d′=| − | (4)2(︃402−2−2−−4(3 − )(2 − ))︃,(1.71)Ω1где мы воспользовались формулой (1.35), откуда также следует ограниченность(4)при ≤ 0 .
Аналогично, в случае интеграла 1(4)|1 ()|0 ′≤(4)2Zимеем −.d| − |(1.72)Ω1Здесь интеграл в правой части такой же как и в (1.71), и, следовательно, инте(4)грал 1ограничен при ≤ 0 . Отсюда следует утверждение, сделанное выше,об ограниченности при ≤ 0 абсолютной величины остатка 1 () − 1 ().Продолжим исследование 1 ().
Покажем, что при > 0 интеграл 1 ()допускает оценку типа (1.26) c = 1. Действительно, оценивая его по абсолютной величине и выполняя интегрирование по угловой части при помощиформулы (1.34), с учетом || ≤ приходим к оценке4|1 ()| ≤Z0d 1− ,(1.73)0где последний интеграл сходится.Рассмотрим наконец интеграл 2 (). Так как в области Ω2 функция 0 (, 0, 2 )допускает оценку типа (1.26) c = 1, то интеграл 2 () также допускает этуоценку, что следует из анализа интеграла Φ2 . Из проведенных рассмотренийследует окончательное утверждение относительно поведения первой итерации (1) (, ), которое нам понадобится в дальнейшем: при ≤ 0 функция (1) имеет сингулярное поведение, которое описывается формулами (1.58)–(1.59). Тогда29существует такая константа , что⃒⃒⃒⃒ (1)⃒ (, )⃒ ≤ (1) (, ),(1.74)где сингулярная функция (1) в соответствии с формулами (1.58)–(1.59), имеетвид⎧⎪⎪1, при < 1,⎪⎨ (1) (, ) =− ln(), при = 1,⎪⎪⎪⎩ −+1 , при 1 < < 3/2.(1.75)При > 0 первая итерация (1) (, ) допускает оценку типа (1.26) c = 1.Итак, первая итерация уравнения (1.25) имеет сингулярность при → 0 ине принадлежит C().
Покажем, что следующая итерацияZ (2) (, ) ≡Zd 0 (, , ) () d ′ 0 (, ′ , ) ( ′ )0 ( ′ , 0, )(1.76)принадлежит C(). Внутренний интеграл по ′ представляет из себя функцию (1) (, ), исследованную выше. Как функция он может иметь сингулярностьне сильнее чем −+1 (или ln при = 1) при ≤ 0 и допускает оценкутипа (1.26) c = 1 при > 0 . Вновь разделим внешний интеграл по наинтегралы по областям Ω1 и Ω2 . Полученные таким образом интегралы имеютвидZd 0 (, , ) () (1) (, ). () =(1.77)ΩОценим интеграл 1 по абсолютной величине. При этом будем различатьслучаи < 1, = 1 и 1 < < 3/2.
Рассмотрим вначале случай ограниченных ≤ 0 . В соответствии с (1.74) и (1.75) в случае 1 < < 3/2 будем иметьZ 1−2|1 ()| ≤d4| − |Ω1⎛ ⎞ZZ01= ⎝d 3−2 + d 2−2 ⎠(1.78)(︂ 0)︂113−2.= −3−2 +2(2 − )(3 − 2)3 − 2 030Таким образом с учетом < 3/2 сингулярности при → 0 не возникает и интеграл 1 ограничен по абсолютной величине. В случае = 1, при котором перваяитерация (1) как функция содержит логарифмическую сингулярность, справедлива оценка4Z⎛Zln 1= − ⎝d ln +| − |0Ω1)︂(︂31 ln − + 0 − 0 ln 0 .= 24|1 ()| ≤ −Z0d⎞d ln ⎠(1.79)Следовательно, и в этом случае сингулярности при → 0 не возникает и интеграл 1 ограничен.
В случае < 1 имеем|1 ()| ≤4Z−d=| − |4(︃402−2−2−−4(3 − )(2 − ))︃(1.80)Ω1и как и в предыдущем случае сингулярности не возникает.Рассмотрим теперь случай неограниченных сверху > 0 . При 1 < < 3/2получаем|1 ()| ≤4=Z 1−2d=| − |Ω1 04−2(4 − 2)Z0d 3−2(1.81)0.В случае = 1 имеем|1 ()| ≤ −4Zdln =−| − |d ln (1.82)0Ω1=Z0)︀ (︀ 20 /4 − 02 ln 0 /2 .В случае < 1 получаем|1 ()| ≤4ZΩ1 − 03−d=| − |(3 − )(1.83)31Интеграл 2 по области Ω2 рассматривается совершенно аналогично интегралу 2 . Итак, мы получаем, что вторая итерация, определенная в (1.76),принадлежит C().Если теперь ввести вместо (, ) функцию (, ) по формуле(, ) = (, ) − 0 (, 0, ) + (1) (, ),(1.84)то эта функция будет удовлетворять интегральному уравнениюZ(, ) = (, ) − d 0 (, , ) ()(, ).(2)(1.85)Ранее было показано, что свободный член (2) этого уравнения принадлежитC(), а ядро 0 (, , ) () определяет компактный в C() оператор.
Используя методику работы [31], нетрудно показать, что однородное уравнение (1.85)может иметь нетривиальное решение только для дискретного набора вещественных значений параметра . Эти значения определяют дискретный спектр ()оператора . На основании альтернативы Фредгольма приходим тогда к заключению, что решение уравнения (1.85) существует и единственно при всех∈/ () и является функцией класса C().Объединяя результаты, полученные в данном разделе, сформулируем окончательное утверждение о поведении функции (, 0, ) при → 0: в случае1 < < 3/2 имеет место представление(, 0, ) =]︀1 [︀1/ + 0 /−1 + 1 + (1),4(1.86)в случае = 1 справедливо равенство(, 0, ) =1[1/ + 0 ln()] + 2 + (1),4(1.87)и в случае < 1 поведение функции Грина имеет стандартный характер(, 0, ) =1+ 3 + (1).4Здесь константа 0 дается выражением0 =0(2 − )(1 − )(1.88)32и все конечные вклады от соответствующих выражений из полученных вышеформул обозначены , = 1, 2, 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
