Диссертация (1149922), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Пространство 2 (R3 ) задается скалярным произведениемZ(, ℎ) ≡ d ()ℎ().(1.6)̃︁0 имеет видУсловие самосопряженности ̃︁0 , ℎ) − (, ̃︁0 ℎ) = 0,((1.7)̃︁0 в 2 (R3 ). Левуюгде и ℎ — некоторые функции из области определения часть последнего равенства можно представить в виде пределаZlim↓0, →∞(︁)︁d ∆ ()ℎ() − ()∆ ℎ() ,(1.8),где область интегрирования , представляет из себя шар радиуса с выколотой -окрестностью точки = 0. Здесь мы воспользовались тем, что на̃︁0 действует как −∆ . Применяя форфункции с носителем в , оператор мулу Грина [20], перепишем последнее выражение в видеZdˆlim 2→∞(︂)︂⃒⃒()ℎ() − () ℎ() ⃒⃒=(︂)︂⃒Z⃒− lim 2 dˆ()ℎ() − () ℎ() ⃒⃒ , (1.9)→0=15где поверхностные интегралы берутся по сферам радиусов и соответственно.Первый предел равен нулю из-за убывания функций и ℎ на бесконечности.Для обнуления второго предела необходимо и достаточно выполнения равенстваlim 2(︂→0)︂()ℎ() − () ℎ() = 0.(1.10)Используя очевидное тождество() =[()] − ()(1.11)и аналогичное тождество для ℎ, перепишем (1.10) в виде(︂)︂lim ℎ() (()) − () (ℎ()) = 0,→0(1.12)откуда ввиду произвольности функций и ℎ следует1 11 (ℎ()) = − lim(()) = ,→0 () →0 ℎ() − lim(1.13)причем константа — фиксированная вещественная константа.
Предельное ра̃︁0 . Константувенство (1.13) является условием самосопряженности оператора , очевидно, надо рассматривать как параметр точечного потенциала. Мы по̃︁0 форлучили, что функция из области определения оператора Шредингера мального вида −∆ + “ ” в пространстве 2 (R3 ) удовлетворяет условию (1.13).Это условие совпадает с граничным условием (1.1).Дальнейшее развитие метода самосопряженных расширений связано в основном с работами авторов монографии [7]. В этой же монографии приведен обзор других современных определений точечных взаимодействий, основанных напостроении операторов Шредингера с масштабно-преобразованными потенциалами путем предельных переходов, нестандартном анализе, применении формДирихле и шкал гильбертовых пространств.
Интерес исследований затем сместился к более сложным, чем точечные, контактным взаимодействиям, средикоторых отметим точечные взаимодействия с внутренней структурой [21, 22],16контактные взаимодействия, сосредоточенные на поверхностях, кривых и графах [23, 24]. Точечные потенциалы используются для описания взаимодействиячастиц в решеточных гамильтонианах [25].В данной диссертации мы рассматриваем случай одноцентрового точечного потенциала, который добавляется в оператор Шредингера в R3 . Этот невозмущенный оператор имеет вид = −∆ + (),(1.14)суммы оператора кинетической энергии −∆ и локального потенциала . Задача состоит в определении возмущенного точечным взаимодействием оператора̃︀ формального вида −∆ + + “ ”. Особый интерес для прилоШредингера жений представляет ситуация, в которой потенциал имеет сингулярность вточке сосредоточения точечного потенциала (без ограничения общности вездедалее будем считать, что этой точкой является точка = 0).Упомянем здесь несколько работ, близких по постановке задачи к настоящей диссертации.
Некоторое количество работ посвящено случаю, в которомпотенциал несингулярен в точке сосредоточения точечного потенциала. Вэтом случае потенциалы могут рассматриваться независимо и точечный потенциал остается таким же, как в случае полного отсутствия локального взаимодействия [1]. В ряде работ был рассмотрен тот частный случай, в котором локальный потенциал является кулоновским потенциалом = n/. В частности,Ландау и Смородинский в работе [26] (см. также [27]), в которой они рассматривали рассеяние протонов на протонах, обобщили подход Бете и Пайерлса [15]на случай системы двух заряженных частиц.
В работе [26] граничное условие,которое определяет точечный потенциал, является приближенным. Оно получается приравниванием логарифмической производной -волновой радиальнойволновой функции вещественной константе (1.1) при малом, но все же конечномзначении ее аргумента. Конечное значение берется для того, чтобы избежатьлогарифмической расходимости логарифмической производной в начале коор17динат.
Более строгое определение оператора Шредингера с суммой кулоновского и точечного потенциалов было получено с помощью метода самосопряженных расширений [7, 22]. Область определения этого оператора в пространстве2 (R3 ) состоит из функций, которые с точностью до умножения на константуведут себя в окрестности = 0 следующим образом:1+ n ln + (1).(1.15)В случае потенциалов из более широкого класса задача построения̃︀ может быть решена в рамках метода самосопряженных расшиоператора рений [7–9]. Так в работе [8] рассматривается класс сферически-симметричныхпотенциалов с особенностями типа обратных степеней.
Для сужений этихоператоров на множество функций, исчезающих в окрестности нуля, найденывсе самосопряженные расширения и тем самым построены искомые операторыс точечным взаимодействием. В частности, рассматривалась -волновая частьоператора видаd2n− 2 + + 0 − + (),d(1.16)где n и 0 — вещественные константы, а вещественнозначная функция ограничена. Первое и второе слагаемые представляют из себя сингулярную в точке = 0 часть потенциала . Относительно параметра потенциала предполагалось 0 < < 2 и ̸= 1. В результате применения метода самосопряженныхрасширений было показано, что область определения искомого возмущенного̃︀ состоит из функций, имеющих при → 0 с точностьюоператора Шредингера до умножения на константу асимптотическое поведение10+1− + n ln + (1).
(1 − )(2 − )(1.17)Этот результат справедлив в случае, когда параметр потенциала удовлетворяет условию 0 < < 3/2 (при 3/2 ≤ < 2 получается более сложное выражение).18В работе [9] вначале рассматривался трехмерный оператор , суженныйна множество функций, исчезающих в окрестности нуля. Было показано, чтов согласии с общей теорией любое самосопряженное расширение оператора является оператором того же вида с областью определения, которая состоит изфункций(︀)︀ () = () + (, 0, i) − i (, 0, −i) .(1.18)Здесь константа ∈ C, а является функцией из области определения −∆с носителем, не содержащим точки = 0. Константа ∈ [0, 2) является̃︀ .
По существу условие (1.18) определяет поведениепараметром оператора функций в точках, в которых потенциал имеет сингулярность. В рассматриваемом случае оно позволяет установить вид граничного условия при = 0,которому должна удовлетворять собственная функция оператора Шредингера̃︀ . Поскольку функция из (1.18) не дает вклада при = 0, для полученияграничного условия нужно исследовать асимптотическое поведение функцииГрина (, 0, ) при → 0, чего не было сделано в [9]. Одной из целей настоящей диссертации является исследование этой асимптотики в случае определенного класса потенциалов с особенностями в нуле. Этот класс введен в началепараграфа 1.2 настоящей диссертации.Существует другой подход, который позволяет добавлять точечный потенциал в уравнение Шредингера с потенциалом , основанный на использовании псевдопотенциала.
Псевдопотенциал определяется с помощью функционала, действующего на решение уравнения Шредингера. Этот подход применялсяв работе [28] для определения функции Грина оператора 0 свободного движения, возмущенного точечным взаимодействием. В параграфе 1.3 показано, какметод псевдопотенциала может быть обобщен на случай уравнения Шредингерас потенциалом .
Как и в методе, основанном на самосопряженных расширениях, определяющее значение имеет асимптотика функции Грина (, 0, ) при → 0.19Отметим, что поиск самосопряженных расширений оператора , суженного на множество функций исчезающих в окрестности нуля, приводит лишь ктаким операторам Шредингера формального вида + “ ”, которым соответствует вещественная константа связи точечного потенциала . Точный смыслэтого утверждения станет ясным после того, как с помощью метода псевдопотенциала константа связи будет определена как единственный параметрточечного потенциала. Тем самым метод самосопряженных расширений можноприменять только для определения таких модельных гамильтонианов, в которых точечный потенциал имеет вещественную константу связи.
В подходе спсевдопотенциалом принадлежности константы связи к полю вещественныхчисел не требуется. В частности и по этой причине в настоящей диссертацииреализован этот подход, допускающий комплексные значения константы связиточечного потенциала.1.2. Особенности функции Грина оператора Шредингерас потенциалом, имеющим степенную особенностьПрежде всего, введем класс локальных потенциалов (), для которыхбудут получены результаты данной главы. Итак, предполагается, что потенциал () является вещественнозначной гладкой функцией при всех ≡ || > 0,удовлетворяющей следующему условию: для всех кроме малой окрестноститочки = 0 существует константа > 0 такая, что выполнено неравенство| ()| ≤ (1 + )−1− , > 1.(1.19)Существенным для данной диссертации является сингулярное поведение потенциала в окрестности точки = 0.
Именно, предполагается, что при → 0потенциал может быть представлен в виде () = − (),(1.20)20где функция () является непрерывной вместе со своими производными довторого порядка и, соответственно, имеет конечный пределlim () = 0 .→0(1.21)В данной диссертации будет использоваться ограничение < 3/2. В дальнейшем описанный класс потенциалов будет обозначаться V(, ).Функция Грина оператора Шредингера (1.14) является решением неоднородного уравнения[−∆ + () − ] (, ′ , ) = ( − ′ )(1.22)и также удовлетворяет интегральному уравнениюZ′′(, , ) = 0 (, , ) − d 0 (, , ) ()(, ′ , ),(1.23)называемому уравнением Липпманна-Швингера. Здесь 0 функция Грина оператора −∆ свободного движения в координатном представлении имеет вид√1exp(i| − ′ |)′0 (, , ) =.4| − ′ |(1.24)В дальнейшем для нас необходимо асимптотическое поведение при → 0 функции (, 0, ).
Обозначив (, ) ≡ (, 0, ) и положив ′ = 0 в (1.23), придемк уравнениюZ(, ) = 0 (, 0, ) − d 0 (, , ) ()(, ),(1.25)которое является нашим основным средством исследования. Мы будем считать,√что ℑm ≥ 0, что соответствует физическому листу энергии. В настоящемразделе мы покажем, что уравнение (1.25) в случае потенциалов ∈ V(, )имеет единственное решение и опишем особенности этого решения.Введем множество C() непрерывных функций () таких, что для любой () ∈ C() существует константа такая, что| ()| ≤ 1.(1 + )(1.26)21Хорошо известно, что множество C() превращается в банахово пространствопосле введения нормы [29]sup (1 + ) | ()| = ‖ ‖ .Покажем, что интегральный оператор с ядром(1.27)0 (, , ) ()из правой части (1.25) является компактным в C() при 0 ≤ < 1.
Для этогорассмотрим интегралZ√i |−|Φ() ≡ d () (),(1.28)| − |√в котором ∈ V(, ), ∈ C() и ℑm ≥ 0. Покажем, что функция Φ ∈C( ′ ), с ′ ≥ , и множество функций Φ является равностепенно непрерывным.Отсюда стандартным образом будет следовать, что ядро (1.27) определяет вC() компактный оператор.Чтобы разделить вклады подынтегрального выражения (1.28) в началекоординат и на бесконечности, разобьем область интегрирования на две частиΩ ∈ R3 , = 1, 2, определенные согласно(1.29)Ω1(2) = { : < (>)0 }.Радиус 0 < 1 выбирается настолько малым, чтобы в области Ω1 можно было использовать представление (1.20) для ().
Тогда интеграл (1.28) представитсяв виде суммы интегралов Φ() = Φ1 () + Φ2 () сZΦ () =√i |−|d () (),| − | = 1, 2.(1.30)ΩОценим вначале интеграл Φ1 по абсолютной величине. В силу того, что ℑm⃒ √⃒√⃒ i |−| ⃒0, имеем ⃒⃒ = −ℑm |−| ≤ 1, и, следовательно,Z1|Φ1 ()| ≤ d − |()|,| − |(1 + )Ω1√≥(1.31)22где также было использовано представление (1.20) для потенциала и условие (1.26) для . Покажем, что правая часть последнего выражения ограничена по .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
