Диссертация (1149922), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Полученная в предыдущем разделе асимптотика функции Грина используется здесь для определениявида псевдопотенциала.Вторая главапосвящена изучению оператора Шредингера с суммой дальнодействующего кулоновского и точечного потенциалов. В разделе 2.1 с помощью метода псевдопотенциала точечное взаимодействие добавляется в уравнение Шредингера с кулоновским потенциалом. Для этого координатная асимптотика функции Грина оператора Шредингера с кулоновским потенциалом вначале координат вычисляется из известного явного вида этой функции.
Далеев этом разделе тем же методом псевдопотенциала получен явный вид функцииГрина оператора Шредингера с суммой кулоновского и точечного потенциалов,а также получено уравнение для вычисления дискретного спектра этого оператора. Эти результаты будут использоваться в главе 3 при рассмотрении системыэлектрон-позитрон. В разделе 2.2 найдены представления в виде интегралов ирядов функций Грина операторов Шредингера с обрезанным кулоновским потенциалом и хвостом кулоновского потенциала.
Эти представления подробно9исследуются в пределе радиуса обрезания, стремящегося к бесконечности. Вконце раздела обсуждается применение полученных результатов к задаче определения оператора Шредингера с суммой кулоновского и точечного взаимодействий.Втретьей главерассматривается система электрон-позитрон в рамкахнерелятивистского модельного гамильтониана, в котором возможность аннигиляции электрон-позитронной пары описывается точечным потенциалом аннигиляции с чисто мнимой константой связи. Раздел 3.1 представляет из себякраткое описание физики позитрона, позитрония и механизмов аннигиляциипри взаимодействии позитрона с нормальной материей.
Приводится обоснование выбора модельного гамильтониана. В разделе 3.2 уравнение для определения спектра позитрония решается при помощи разложения по малой константесвязи потенциала аннигиляции. В разделе 3.3 изучается рассеяние в системеэлектрон-позитрон. На основе обобщения оптической теоремы на случай гамильтониана с суммой кулоновского и чисто мнимого точечного потенциаловполучено сечение аннигиляции электрон-позитронной пары в явном виде.Некоторые часто встречающиеся в тексте диссертации обозначения:C — множество комплексных чисел.R3 — евклидово пространство 3-мерных вещественных векторов. — вектор из R3 . — скалярная величина, и, в частности, евклидова норма вектора, как, например, = ||.ˆ = /|| — единичный вектор. · — скалярное произведение векторов из R3 .∆ — трехмерный оператор Лапласа, действующий по переменной .2 () — гильбертово пространство квадратично интегрируемых в области функций.(·, ·) — скалярное произведение в 2 ().() — спектр оператора .10 () — дискретный спектр оператора .() = ( − )−1 — резольвента оператора энергии .(, ′ , ) — функция Грина, ядро оператора ().() — трехмерная дельта-функция.( ) — О большое от .( ) — о малое от .~ = ℎ/2 — постоянная Планка.11Глава 1Суперпозиция точечного взаимодействия ипотенциала, имеющего степенную особенность1.1.
Обзор методов определения точечныхвзаимодействийПервой работой, оказавшей значительное влияние на развитие теории, вкоторой был фактически использован одномерный точечный потенциал, принято считать работу Кронига и Пенни [14], в которой авторы рассматривалидвижение электрона в кристаллической решетке.
Здесь точечный потенциалвводится как предел потенциала прямоугольной ямы, чья ширина стремится кнулю, а глубина к бесконечности таким образом, что энергия основного состояния гамильтониана с этим потенциалом стремится к определенному пределу.Трехмерный точечный потенциал впервые был использован в работах Бете и Пайерлса [15] и Томаса [16] для описания взаимодействия между протономи нейтроном. При определении потенциала взаимодействия между нуклонамив дейтроне Бете и Пайерлс использовали гипотезу об очень малом радиуседействия ядерных сил. Согласно этой гипотезе получается, что частицы взаимодействуют только в -волновом состоянии, то есть в состоянии с нулевыморбитальным моментом, так как при ненулевых значениях момента волноваяфункция системы пренебрежимо мала в области действия ядерных сил.
Тогдавезде кроме малого радиуса действия ядерных сил волновая функция имеетвид убывающего решения -волнового уравнения Шредингера для свободнойчастицы = exp(−/)/ и, следовательно, для нее выполняется−1 d (︀ )︀ 1 = , d(1.1)где — некоторая положительная константа. Устремив радиус действия ядер12ных сил к нулю, Бете и Пайерлс постулировали, что равенство (1.1) выполняется и при → 0 и заменяет собой ядерное взаимодействие. Таким образомточечный потенциал впервые был получен в виде граничного условия, дополняющего уравнение Шредингера.Томас предложил модель тритона, в которой взаимодействие протона инейтрона также описывается трехмерным точечным потенциалом. Последнийбыл введен здесь как предел по преобразованиям масштаба локального потенциалаlim −2 (/) .→0В этой же работе альтернативно точечное взаимодействие было заменено граничным условием(︁ )︁+ 1 при → 0,(1.2)с константой , которое хотя и отличается по форме от граничного условия Бете∼и Пайерлса (1.1), но эквивалентно последнему.
Интересно отметить, что спектртрехчастичного гамильтониана, соответствующего такой модели тритона, получился неограниченным снизу, что впоследствии получило название эффектТомаса. Точечные потенциалы в форме граничных условий, предложенные вработах [15, 16], в основном используются в физической литературе [1, 17].В работе Ферми [4], в которой рассмотрено рассеяние нейтронов на атомных ядрах, точечный потенциал был впервые введен в уравнение Шредингерав виде псевдопотенциала, определенного с помощью трехмерной -функции.
Вупрощенном виде уравнение, использованное Ферми, можно записать в виде[︀]︀−∆ − 2 (, ) = 4()(, ).(1.3)Здесь — волновая функция системы. Ферми заменяет в правой части уравнения функцию на плоскую волну exp{ ·}, что соответствует использованиюпервого борновского приближения.В работе Брейта [3], в которой также рассмотрено рассеяние нейтроновна ядрах, автор показал, что уравнение (1.3) с трехмерной -функцией не кор13ректно, и что таким образом -функция в качестве потенциала может использоваться только в борновском приближении. Вместо этого он ввел потенциалв виде граничного условия (1.2), придав величине физический смысл длинырассеяния, и получил интегральное уравнение для волновой функции. От интегрального уравнения он перешел к дифференциальному, которое в упрощенномвиде можно записать как[︀]︀−∆ − 2 (, ) = 4().(1.4)Следуя работе Брейта, Блатт и Вайскопф в монографии [5] переписалиправую часть последнего уравнения с помощью функционала, действующегона волновую функциюd(),(1.5)→0 dи тем самым впервые корректным образом точечное взаимодействие было вве4() limдено в виде псевдопотенциала.Простота моделей, основанных на использовании точечного потенциаладля описания взаимодействия частиц, способствовала тому, что они быстро завоевали популярность в задачах атомной и ядерной физики.
В работе [18] точечный потенциал вновь был использован для описания взаимодействий междунуклонами. Параметры потенциалов были определены по данным экспериментов по низкоэнергетическому рассеянию в системах нейтрон-протон и протонпротон. В работе [19] рассмотрены Бозе и Ферми-газы в модели твердых сфер.Для описания столкновений между частицами авторы рассматривают задачурассеяния частицы на твердой сфере радиуса . Авторы показали, что такое рассеяние описывается уравнением Шредингера с псевдопотенциалами, действующими в разных парциальных волнах. В пределе радиуса сферы → 0 в -волнепсевдопотенциал имеет тот же вид, что и в монографии Блатта и Вайскопфа(отметим, что длина рассеяния на твердой сфере равняется радиусу сферы ).Строгое математическое определение оператора Шредингера с точечнымпотенциалом было впервые дано в работе Березина и Фаддеева [6]. Метод этой14работы основан на теории расширений симметричных операторов.
Рассмотримэтот метод на примере построения оператора Шредингера формального вида−∆ + “ ”. Невозмущенным оператором здесь является оператор кинетическойэнергии −∆ . Требуется определить возмущенный точечным взаимодействи̃︁0 в гильбертовом пространстве квадратичноем самосопряженный оператор интегрируемых функций 2 (R3 ). Его полное определение включает областьопределения оператора и описание действия оператора на функции из своейобласти определения. Всякий самосопряженный оператор формального вида−∆ + “ ” должен совпадать с оператором −∆ на множестве функций () изобласти определения −∆ с носителем, не содержащим точки = 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
