Диссертация (1149922)
Текст из файла
Санкт-Петербургский Государственный УниверситетНа правах рукописиГрадусов Виталий АлександровичОб операторах Шредингера с суммойлокального и точечного потенциалов сналожением особенностей01.04.02 – Теоретическая физикаДИССЕРТАЦИЯна соискание ученой степеникандидата физико-математических наукНаучный руководительд. ф.-м. н., проф.Яковлев Сергей ЛеонидовичСанкт-Петербург – 20142ОглавлениеВведениеГлава 1..
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3Суперпозиция точечного взаимодействия и потенциала,. . . . . . . . . . . . . . . . . .111.1.Обзор методов определения точечных взаимодействий . . . . . .111.2.Особенности функции Грина оператора Шредингера с потенциаимеющего степенную особенностьлом, имеющим степенную особенность . . . . . . . . . . . . .
. .191.3.Метод псевдопотенциала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .321.4.Выводы к первой главе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39Глава 2.Суперпозиция точечного и кулоновского потенциалов2.1.Метод псевдопотенциала в случае кулоновского потенциала . .
.2.2.Функция Грина оператора Шредингера с обрезанным кулонов4141ским потенциалом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48Выводы ко второй главе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62. . . . . . . . . . . . . . . . .643.1.Взаимодействие позитрона и электрона . .
. . . . . . . . . . . . .643.2.Спектр позитрония . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .693.3.Сечение аннигиляции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .733.4.Выводы к третьей главе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .902.3.Глава 3.Система электрон-позитронЗаключениеСписок литературы3ВведениеАктуальность темы исследования.Модель точечного взаимодействия,в физической литературе обычно называемого потенциалом нулевого радиуса,широко применяется в современных исследованиях.
В основном точечные потенциалы используются для построения моделей межчастичных взаимодействий вквантовой механике [1]. Среди недавних примеров использования в физике отметим применение к задаче рассеяния позитрона на атоме водорода, где дляописания взаимодействия между позитроном и электроном использовался модельный гамильтониан с суммой кулоновского потенциала и одноцентрового точечного потенциала с мнимой константой связи. Последнее необходимо для описания процесса аннигиляции позитрона и электрона в рамках нерелятивистскойквантовой механики [2].
В работе [2] и нескольких последующих этот потенциал был определен в виде трехмерной -функции, которая добавляется как слагаемое в гамильтониан системы. Введенный таким образом потенциал нельзяиспользовать как обычный потенциал в уравнении Шредингера [3]. Единственным способом его учета в рамках стандартных методов квантовой механикиоказывается подстановка -функции в формулы квантовомеханической теориивозмущений, что формально оправдывается малостью получаемых поправок.Однако существуют методы, позволяющие определить точечный потенциал более корректным образом и не прибегать к теории возмущений.
Еще в ранних работах [3–5] были предложены два подхода к определению одноцентровых точечных потенциалов в уравнении Шредингера. Первый из них состоитв том, что уравнение дополняется сингулярным граничным условием в точкесосредоточения точечного взаимодействия. Второй подход состоит в том, чтоточечное взаимодействие добавляется в уравнение Шредингера в виде некоторого дополнительного потенциала — так называемого псевдопотенциала, которыйопределяется с помощью функционала, действующего на волновую функцию.Строгое математическое определение оператора Шредингера с точечным взаи4модействием впервые было дано в работе Березина и Фаддеева [6]. Метод этойработы основан на теории самосопряженных расширений симметричных операторов. Дальнейшее развитие метода связано в основном с работами авторовмонографии [7].Большой интерес для приложений представляет ситуация, в которой одноцентровый точечный потенциал добавляется в оператор Шредингера в R3с локальным потенциалом .
Последний может иметь сингулярность в точке сосредоточения точечного потенциала. Речь идет об операторе Шредингераформального вида −∆ + + “ ”, где слагаемое “ ” символически обозначает точечный потенциал с параметром , который играет роль константы связиточечного потенциала. Этот оператор может быть определен методом самосопряженных расширений [7–9]. В этом случае оператор вводится с помощью координатной асимптотики функции Грина оператора Шредингера с потенциалом . Эта асимптотика в общем случае локального потенциала из достаточноширокого класса остается неисследованной. Кроме того, метод самосопряженных расширений приводит лишь к таким операторам Шредингера, у которыхконстанта связи является вещественной. Приведенный выше пример использования точечного потенциала с мнимой константой связи для описания взаимодействия в системе электрон-позитрон показывает необходимость разработкиметода корректного определения оператора Шредингера −∆ + + “ ” с комплексной константой связи .Цели и задачи диссертационной работы:Целями данной диссертационной работы являлись разработка методов корректного определения оператора Шредингера с суммой локального потенциала и точечного потенциала скомплексной константой связи с особенностями в одной и той же точке и разработка формализма для нахождения наблюдаемых системы двух квантовыхчастиц в физической модели, которая описывается с помощью гамильтонианас суммой потенциала с особенностью и точечного потенциала, на примере системы электрон-позитрон.5Для достижения поставленных целей были решены следующие задачи:∙ Исследована координатная асимптотика в начале координат диагональной части функции Грина оператора Шредингера с потенциалом, имеющим степенную особенность.∙ Дано обобщение метода определения точечного взаимодействия с помощью псевдопотенциала на случай уравнения Шредингера с локальнымкороткодействующим и кулоновским потенциалами.∙ Исследована функция Грина оператора Шредингера с обрезанным кулоновским потенциалом.∙ Разработан формализм для определения спектра позитрония и наблюдаемых задачи рассеяния, в том числе сечения аннигиляции, в системе электрон-позитрон.Научная новизна.В данной работе впервые были в явном виде полученысингулярные члены координатной асимптотики в начале координат диагональной части функции Грина оператора Шредингера с локальным потенциаломиз достаточно широкого класса короткодействующих потенциалов со степенной особенностью, что позволило обобщить определение операторов Шредингера с суммой локального и точечного потенциалов на случай потенциалов изэтого класса.
Найдены удобные представления и предельные соотношения дляфункции Грина оператора Шредингера с обрезанным кулоновским потенциалом. Разработан формализм для определения наблюдаемых квантовой системы двух частиц, которая описывается гамильтонианом с суммой локальногои точечного потенциалов. В том числе, с помощью обобщения оптической теоремы для гамильтонианов с кулоновскими потенциалами определено сечениеаннигиляции в системе электрон-позитрон.Теоретическая и практическая значимость.Результаты, изложенныев диссертации, могут быть использованы для построения моделей в задачах6квантовой физики, в которых взаимодействие между частицами описываетсясуммой локального и точечного потенциалов. Функция Грина оператора Шредингера с обрезанным кулоновским потенциалом может использоваться при построении методов решения задачи рассеяния в системах заряженных частиц,основанных на обрезании кулоновского потенциала.Положения, выносимые на защиту:1.
Методы определения операторов Шредингера с суммой локального и точечного потенциалов обобщены на случай класса короткодействующихлокальных потенциалов со степенной особенностью в начале координати случай комплексной константы связи точечного потенциала.2. Функция Грина оператора Шредингера с обрезанным кулоновским потенциалом в некоторых областях конфигурационного пространства выражена через кулоновскую функцию Грина с точностью до действия оператором, зависящим от угловых переменных.
В пределе радиуса обрезанияпотенциала, стремящегося к бесконечности, эти функции совпадают.3. Найдено уравнение для определения спектра, а также получены явныевыражения для наблюдаемых задачи рассеяния в квантовой системе двухчастиц, которая описывается гамильтонианом с суммой локального и точечного потенциалов. С помощью обобщения оптической теоремы на гамильтонианы с кулоновским потенциалом получено выражение для сечения аннигиляции в системе электрон-позитрон в модели точечного потенциала аннигиляции.Степень достоверности и апробация результатов.Основные результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры Вычислительной физики СПбГУ и сектора “Квантовые системы нескольких частиц” ЛТФ ОИЯИ,а также на следующих конференциях:7∙ Russian-Ukrainian Seminar on Few-Body Problems with Strong and CoulombInteractions, Kiev, Ukraine, 2012∙ 43rd Annual Meeting of the APS Division of Atomic, Molecular and OpticalPhysics, Orange County, California, 2012∙ International Workshop on Few-Body Systems (FBS2012), Dubna, Russia,2012∙ The 22nd European Conference on Few-Body Problems in Physics, Krakow,Poland, 2013Публикации.Материалы диссертации опубликованы в 4 печатных работах в рецензируемых журналах [10–13].Личный вклад автора.Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы.
Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяющим.Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.Структура и объем диссертации.Диссертация состоит из введения, 3глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации 94 страницы, изних 88 страниц текста. Библиография включает 56 наименований на 5 страницах.Первая главапосвящена описанию методов определения операторов Шредингера с точечными потенциалами. Раздел 1.1 представляет собой краткий обзор литературы, связанной с развитием этих методов.
Приведен обзор работ,относящихся к раннему этапу развития квантовой механики, в которых быловведено понятие и появились первые корректные определения точечного потенциала, для обоснования которых использовались различные эмпирическиеи физические соображения. Далее описывается современный этап, связанный сразвитием методов строгого математического определения операторов Шредин8гера с точечными взаимодействиями, начало которому было положено появлением работы Березина и Фаддеева [6]. В основном эти методы основаны на теории самоспряженных расширений операторов. Приводится обзор работ, посвященных определению оператора Шредингера формального вида −∆ + + “ ”методом самосопряженных расширений.
В этих работах установлено, что определение этого оператора выражается через координатную асимптотику в начале координат диагональной части функции Грина трехмерного оператораШредингера с локальным потенциалом . Поэтому в следующем разделе 1.2эта асимптотика исследуется в случае потенциалов из определенного классакороткодействующих локальных потенциалов с заданной степенной особенностью в начале координат. Это исследование основано на изучении уравненияЛиппманна-Швингера для функции Грина. Глава завершается разделом 1.3, вкотором излагается обобщение метода псевдопотенциала добавления точечногопотенциала в уравнение Шредингера с потенциалом .
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
