Автореферат (1149903), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Собственные функциипредставляются следующим образом:)︂/2∑︁(︂∞√1+̃︀ (;)=1 1+2, ∈[0,+1),1−=0(︂)︂/2∑︁∞√1−̃︀2̃︀ (;)=2 1+, ∈(−1,0].1+=0(17)∞Коэффициенты разложения в каждом из наборов {}∞=0, и {}=0 связаны между собойпятичленными рекуррентными соотношениями:(︂)︂(︂)︂(︂)︂2 21 10 01+ + 2 +2 +++1 + −2+ + 2 + 2 (︂)︂(︂)︂(18)−1 −1−2 −2++ 2 −1 + 1++ 2 −2 =0.
≥2.Сходимость разложений (17) доказывается аналогично тому, как это было сделано в предыдущих параграфах. Далее, с помощью метода 1/−разложения показывается, как из (17)получается решение спектральной задачи в общем случае при ≠ ±1/2. В разделе 2.4представлено решение краевой задачи для квазиуглового уравнения.Третья глава посвящена применению асимптотических методов к квантовой обобщенной задаче двух кулоновских центров. Это можно рассматривать как необходимый дляконтроля численных расчетов, альтернативный подход к решению задачи.
В рамках квазиклассического приближения, теории возмущений и метода эталонного уравнения найдены приближенные выражения для волновых функций и термов. В частности, при → 0квазиклассика дает следующее выражение для уровней энергии[︃]︃212 12(12 −22)3222 =− 2 +(19)3 1−2 +( ).3 (+1/2)(+1/2)11Теория возмущений при →0 дает несколько иное выражение:(1,2,)=−212812(12 −22)[(+1)−32]2++(()2).23 (+1)(2−1)(2+1)(2+3)(20)Напротив, в пределе →∞, когда наблюдается ситуация близких точек поворота, и квазиклассическое приближение и метод эталонного уравнения приводят к одинаковой асимптотике:21/3(12 +22)2/3 22/3 (12 +22)1/3(−)()=−++(−2).(21)2/32/31/34/36 (++1) (++1) На практике более высокие члены разложения в (19), (20) и (21) для контроля численныхрасчетов не требуются.В четвертой главе представлены результаты численных расчетов для констант разделения, волновых функций и термов.
В частности, на Рис. 2 показано, что картина термовсущественно различается при 1 < 2 и при 1 > 2. На основе представленного материалав виде 20 рисунков делаются заключения о структуре энергетического спектра квантовойобобщенной задачи двух кулоновских центров.Вторая часть диссертации посвящена точно решаемым квантовым моделям, описывающим реальные физические системы и допускающим разделение переменных в уравненииШредингера в сфероидальных координатах.В пятой главе сформулированы ограничения на потенциалы квантовых ям конечной глубины и сфероидальной формы, которые допускают разделение переменных в сфероидальныхкоординатах.Рис. 2: Термы двулистной задачи для системы 1 =2,2 =3 (слева) и 1 =3,2 =2 (справа).12Шестая глава посвящена потенциальным моделям дважды тяжелых барионов.
В нейописана новая точно решаемая модель с потенциалом конфайнмента легкого кварка(1 +2)+(2 −1) (2 −1) 4 =Coul +conf =−+− 0.(2 −2)(2 −2)3(22)Очевидно, что функция (22) при больших становится линейной: −−−→ ∼, то есть,→∞удовлетворяет правильному асимптотическому поведению. Кроме того, уравнение Шредингера с потенциалом (22) допускает разделение переменных в вытянутых сфероидальныхкоординатах. В рамках этой модели были выполнены численные расчеты для спектра масснекоторых состояний.
Проведено сравнение полученных результатов как с расчетами других авторов, так и с экспериментальными данными.В седьмой главе рассмотрена точно решаемая модель квантового кольца в виде потенциальной ямы сфероидальной формы с бесконечно высокими стенками (см. Рис. 3 и Рис. 4):{︃0, 0 6 6 0; 0 6 6 0,=(23)∞, 0 < <∞; −1 6 <0, 0 < 6 1.Рис. 3: Поверхности =const, =const сплюснутыхсфероидальных координат в проекции на (,)-плоскость сосью в качестве оси симметрии.
Жирной линией показанаграница квантового кольца.Рис. 4: Изометрическая проекция квантового кольца. Сегментудален, чтобы продемонстрировать поперечное сечение кольца.Показано, что соответствующее уравнение Шредингера допускает разделение переменных в сплюснутых сфероидальных координатах. В результате получается система обыкновенных дифференциальных уравнений[︂]︂2 22 2( +1) (;)− − ( +1)− 2 (;)=0,(24) +1[︂2 ]︂2 22̃︀(1− ) (;)+ −(1− )− (;)=0.(25)1−213 22 =,()()̃︀Здесьпричем – энергетический параметр, а = () и = () являются2константами разделения.
Уравнения (24) и (25), дополненные граничными условиями,образуют краевые задачи, которые должны решаться совместно, а энергетический спектр()()находится из уравнения () = (). Представлены результаты численных расчетов,которые позволяют сделать выводы о влиянии формы кольца на структуру спектра одночастичных состояний.
Обнаружено что некоторые термы при малых, но конечных 050004500q=2400035003000Eq=125002000 q=015001000500000,20,40,60,8η0Рис. 5: Зависимость энергии 0 =0(0) от параметра 0 для первых 12 состояний при =0.5, =1.имеют минимумы (см. Рис. 5). Обсуждается возможность использования потенциальныхям конечной глубины и сплюснутой сфероидальной формы для описания одночастичныхсостояний в квантовых кольцах. Показано, что для исследования этих моделей можноиспользовать результаты, полученные в первой части при решении квантовой обобщеннойзадачи двух кулоновских центров.В заключении сформулированы основные результаты и выводы работы.Основные положения, выносимые на защиту:1. Исследована новая точно решаемая потенциальная модель, в которой квантовая задача двух кулоновских центров рассматривается с мнимым параметром межцентровогорасстояния и комплексо-сопряженными зарядами.
Описана специфика нового классакраевых задач.2. Предложены и теоретически обоснованы новые типы разложения в ряды для квадратично интегрируемых кулоновских сфероидальных функций на мнимой оси.3. Исследовано асимптотическое поведение собственных функций и термов квантовойобобщенной задачи двух кулоновских центров при малых и больших значениях межцентрового параметра с помощью квазиклассического приближения и теории возмущений.144. Установлена структура энергетического спектра квантовой обобщенной задачи двухкулоновских центров.5.
Рассмотрена новая точно решаемая потенциальная модель для дважды тяжелых барионов с линейно растущим потенциалом конфайнмента. В рамках этой модели быливычислены массы некоторых дважды тяжелых барионов и проведено сравнение как срасчетами других авторов, так и с экспериментальными данными.6. Рассмотрена новая модель квантового кольца в виде потенциальной ямы сфероидальной формы и бесконечной глубины. С помощью этой модели удалось изучить влияниеформы кольца на структуру его спектра.7. Предложен новый подход для моделирования одночастичных состояний в квантовыхкольцах с использованием сфероидальных координат.ПубликацииОсновные результаты по теме диссертации изложены в следующих работах:A1.
А. М. Пучков, А. В. Кожедуб, Квазиклассическое приближение в обобщённой задачедвух кулоновских центров, Вестн. С. Петерб. ун-та, Физика-Химия, Сер. 4, вып. 1,105–112 (2002)A2. А. М. Пучков, А. В. Кожедуб, Квантовая обобщённая задача двух кулоновских центров,Вестн. С. Петерб. ун-та, Физика-Химия, Сер. 4, вып. 3, 16–27 (2005)A3. А. М. Пучков, Квадратично интегрируемые решения кулоновского сфероидальногоуравнения на мнимой оси, Вестн. С. Петерб.
ун-та, Физика-Химия, Сер. 4, вып. 2,88–94 (2006)A4. А. М. Пучков, И. Б. Керницкий, Степенные разложения для квадратично интегрируемых кулоновских сфероидальных функций на мнимой оси, Вестн. С. Петерб. ун-та,Физика-Химия, Сер. 4, вып. 1, 116–124 (2008)A5. A. M. Puchkov, A. V. Kozedub and E. O. Bodnia, Generalized quantum mechanicaltwo-Coulomb-center problem (Demkov problem) Chinese Phys. B, 22, 090306 (2013)doi:10.1088/1674-1056/22/9/090306A6. A. M.
Puchkov, A. V. Kozhedub, Two potential quark models for double heavy baryons, AIPConference Proceedings, 1701, 100014 (2016);doi: 10.1063/1.493872A7. A. M. Puchkov, V. A. Roudnev, A. V. Kozhedub, Influence of the shape of a quantum ringon the structure of its energy spectrum, Proceedings of the International Conference DAYSon DIFFRACTION 2015, 103–106 (2015) doi:10.1109/DD.2015.735487315Цитированная литература1. И. В. Комаров, Л. И.
Пономарeв, С. Ю. Славянов, Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции (Наука, Москва, 1976)2. K. Helfrich, H. Hartmann, Theoret. Chim. Acta, (Berlin) 16, 263–277 (1970)3. Е. А. Соловьев, ЖЭТФ, 81, 1681–1692 (1981)4. J. Rainwater, Phys. Rev., 79, 432–434 (1950)5. А. В. Бережной, А. К. Лиходед, Ядерная физика, 79, № 2, 151–156, (2016)6. J. M. Richard, Phys. Rep., № 212, 1–76, (1992)7. A. Majethiya, B. Patel and P. C.
Vinodkumar, Chinese. Phys. C, 34, 1399–1402, (2010)8. T. Yoshida, E. Hiyama, A. Hosaka, M. Oka, K. Sadato, Phys. Rev. D, 92, 114029 (2015),(Published 28 December 2015)9. Д. У. Матрасулов, ТМФ, 117, 3, 364—369 (1998)10. D. U. Matrasulov, M. M. Musakhanov, T. Morii, Phys. Rev. C, 61, 045204 (2000)11. M. A. Braun, J.
Dias de Deus, A. S. Hirsch, C. Pajares, R. P. Scharenberg, B. K. Srivastava,Physics Reports, 599, 1–50 (2015) arXiv:1501.01524 [nucl-th]12. Е. В. Антропова, А. А. Брызгалов, Ф. И. Карманов, Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер.Физ.-мат. науки, Выпуск № 1 (30), 326—333, (2013)13. I.
Filikhin, E. Deyneka, H. Melikyan, B. Vlahovic, Molecular Simulation, 31, 11, 779–785,(2005)14. J. Even, S. Loualiche, J. Phys. A.: Math. Gen., 37, 289–294, (2004)16.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
