Автореферат (1149903), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Рассмотреть квантовый аналог обобщенной задачи двух неподвижных центров. Разделить переменные в соответствующем уравнении Шредингера в сплюснутых сфероидальных координатах. Провести подробную классификацию краевых задач и выяснитьих специфику.2. Построить численно устойчивые алгоритмы решения краевых задач. Выполнить численные расчеты и выяснить структуру энергетического спектра квантовой обобщеннойзадачи двух кулоновских центров.3.
Рассмотреть новую потенциальную модель для дважды тяжелых барионов с правильным асимптотическим поведением потенциала конфайнмента, допускающую разделение переменных в вытянутых сфероидальных координатах. Провести численные расчеты для спектра масс некоторых частиц. Сравнить эти результаты с предсказаниямидругих моделей и с решеточными КХД расчетами.4. Рассмотреть модель квантового кольца в виде потенциальной ямы сфероидальной формы и бесконечной глубины. Провести численные расчеты и выяснить структуру энергетического спектра этой модели.Научная новизна и практическая значимость.1.
Впервые квантовая задача двух кулоновских центров рассматривается на расширенномпространстве (аналог римановой поверхности).2. Впервые краевая задача для квазирадиального уравнения в сплюснутых сфероидальныхкоординатах при дополнительном условии квадратичной интегрируемости ставится навсей числовой оси.3. Предложены и теоретически обоснованы новые типы разложения в ряды для квадратично интегрируемых кулоновских сфероидальных функций на мнимой оси.4. Впервые установлена структура энергетического спектра квантовой обобщенной задачидвух кулоновских центров.5. Впервые предложена точно решаемая модель для дважды тяжелых барионов с правильным асимптотическим поведением потенциала конфайнмента, в рамках которой былисделаны предсказания для масс некоторых дважды тяжелых барионов.6.
Впервые рассмотрена модель квантового кольца в виде потенциальной ямы сфероидальной формы и бесконечной глубины, с помощью которой удалось изучить влияниеформы кольца на структуру его энергетического спектра.Практическая значимость работы заключается в том, что ее результатами можно воспользоваться:61. для получения простых асимптотических формул, описывающих спектр масс дважды тяжелых барионов, которые потом можно будет применить в различных монтекарловских генераторах моделирующих процессы множественного рождения частицпри сверхвысоких энергиях на коллайдерах LHC и RHIC.2. для моделирования одночастичных состояний в квантовых кольцах различной формы,что необходимо при разработке новых нанотехнологий производства квантовых колец.Достоверность полученных результатов обеспечивается согласованием численных и аналитических расчетов, совпадением предельных случаев с результатами других авторов, количественным и качественным соответствием с альтернативными подходами в широкойобласти изменения параметров.Апробация работы.
Результаты, представленные в диссертации, докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры квантовой механики и кафедры вычислительной физики, а также лаборатории физики сверхвысоких энергий физического факультета СПбГУи на международных конференциях:– Days on Diffraction, Annual International Conference, Saint Petersburg,June 28–July 1 (2005) http://mph.phys.spbu.ru/dd05/index.html– Days on Diffraction, Annual International Conference, Saint Petersburg, May 27–31 (2013)http://www.pdmi.ras.ru/ dd/download/DD13 program.pdf– XIth International Conference on Quark Confinement and the Hadron Spectrum,Saint Petersburg, September 8–12 (2014) http://onlinereg.ru/ConfXI– Days on Diffraction, Annual International Conference, Saint Petersburg, May 25–29 (2015)http://www.pdmi.ras.ru/ dd/download/DD15 program.pdf– XIIth International Conference Quark Confinement and the Hadron Spectrum, Thessaloniki,Greece, August 29 – September 3 (2016)https://indico.cern.ch/event/353906/contributions/2239066/Публикации.
По теме диссертации опубликовано 7 научных работ [A1–A7]. Из них3 опубликовано в изданиях, индексируемых базами данных Web of Science и/или Scopus,еще 4 – в журнале Вестник Санкт-Петербургского университета, индексируемом РИНЦ ивходящем в перечень изданий, рекомендованных ВАК.Вклад автора. Все основные результаты диссертации получены автором лично. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональныйвклад автора в опубликованные работы. Идея исследования квантовой обобщенной задачидвух кулоновских центров принадлежит Ю.
Н. Демкому, что нашло отражение в названииработы [A5]. В статьях [A1, A2] постановка задачи и обсуждение результатов осуществлялась при его непосредственном участии. В статьях [A1, A2, A3, A4, A5] автором былипроизведены расчеты волновых функций и термов, а также анализ результатов. Вкладавтора в статьи [A6], [A7] составляют идея постановки задачи и формулировка моделей.7Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, семи глав, спискалитературы и заключения. Главы собраны в две части по общности тематики. Первая частьсодержит четыре главы, посвященных рассмотрению квантовой обобщенной задачи двухкулоновских центров.
Вторая часть содержит три главы, посвященных точно решаемымквантовым моделям, описывающим физические системы в сфероидальных координатах.Полный объем диссертации составляет 122 страницы, включая 35 рисунков и 2 таблицы.Список литературы содержит 129 наименований.Содержание работыВо введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, формулируются основные задачи, научная новизна и практическая ценность работы, приводится краткое содержание отдельных частей.Первая часть диссертации посвящена квантовой обобщенной задаче двух кулоновскихцентров.
В первой главе обсуждается постановка задачи. В разделе 1.1 приводятся исторические сведения и обзор литературы, посвященный проблеме (12) и обобщенной задачедвух неподвижных центров. В разделе 1.2 обсуждаются свойства потенциала:1 −21 +2√︃+)︂2)︂2 .(︂(︂2 +2 + −2 +2 + +22̂︀ = √︃(1)Выражение (1) определяет двузначную аналитическую функцию, особенности которой сосредоточены на окружности : 2 + 2 = 2/4, = 0, а не в точках 1,2 = ±/2, какбыло в проблеме (12). Таким образом, потенциал уже не допускает простой электростатической интерпретации. Выход из этого затруднения состоит в том, чтобы внестинепроницаемую перегородку в виде круга 1 : 2 + 2 6 2/4, = 0, внешности круга⋃︀2 : 2 +2 > 2/4, = 0 или их объединения 1 2, то есть всей плоскость . Другаявозможность рассматривать (1) как потенциал, состоит в том, чтобы склеить разные листывдоль сингулярной окружности в риманову поверхность.
В дальнейшем спектральную задачу на расширенном пространстве будем называть двулистной, а в обычном пространствес перегородкой – однолистной. В п. 1.3 обсуждается разделение переменных в уравненииШредингераΔΨ+2(− )Ψ=0(2)с потенциалом (1) в сплюснутых сфероидальных координатах (,,), которые связаны сдекартовыми следующими соотношениями:√︁√︁22=( +1)(1− )cos, =(2 +1)(1−2)sin, = .(3)2228После подстановки волновой функции Ψ , отвечающей терму (),Ψ =Ψ(,,;)=() (;) (;),в уравнение (2) получается система обыкновенных дифференциальных уравнений[︂]︂2 22 2( +1) (;)− + ( +1)−− 2 (;)=0, +1[︂2 ]︂2 22̃︀(1− ) (;)+ +(1− )+− (;)=0.1−2(4)(5)(6) 22 =−(>0), =21, =−22, причем имеет смысл энергетического па2()()̃︀раметра, и – зарядовых параметров, а = (,) и = (,) являются константамиразделения.Уравнения (5) и (6), дополненные граничными условиями, образуют краевые задачи, которые должны решаться совместно, и энергетический спектр находится из условияЗдесь() (,)=() (,).(7)В разделе 1.4 представлен полный набор операторов квантовой обобщенной задачи двухкулоновских центров, коммутирующих с гамильтонианом.Во второй главе обсуждается решение краевых задач, причем значительное место уделено ранее не исследованным краевым задачам для квазирадиального уравнения[︂]︂2 22 2( +1) (;)− + ( +1)−− 2 (;)=0,(8) +1| (;)|−−−−→ 0, ∈(−∞,∞).→±∞(9)Дополнительно требуется выполнение условия (;) ∈ ℒ2 (R).
Специфика этих задачсостоит в том, что конфигурация особых точек уравнения (8) = ± и области, где определяются собственные функции, создает проблему круга сходимости для представления (;) в виде ряда. В диссертации предложен способ решения этой проблемы: с помощью преобразований →↦ →↦ , где = sinh, = tanh(/2) все «старые» особые точкипереводятся на единичную окружность−↦→ −, +↦→ +, −∞↦→ −1, +∞↦→ +1,Кроме того, появляется «новая» особая точка на бесконечности (см. Рис.
1). Краевая задача9Рис. 1: Конфигурация области изменения переменной и особых точек для уравнения (10)(8)–(9) трансформируется в следующую:[︂222 ]︂1(1−)(1−) (1−2)2 2 (;)+ −2−− (;)+42(1+2) [︂]︂(1−2)2(1−2)222+ −− −++( −1) (;)=0,(1+2) (1−2)(1+2)2| (±1;)|<∞, −1≤≤+1.(10)(11)В разделе 2.1 рассматривается обобщенное разложение Яффе для представления собственных функций (;) в виде рядов1) на интервале ∈[0,1):(︂)︂/2[︃∑︁(︂)︂−)︂−]︃(︂∞1+−+(1) (;)=+(2),(12)1−+−=02) на интервале ∈(−1,0]:]︃)︂ [︃ ∞(︂)︂(︂)︂(︂1− /2 ∑︁ (1) − − (2) + −+, (;)=1++−=0(13)Анзац (12)-(13), в отличии от разложения Яффе [1], содержит уже не один, а четыре на(1)(2) ∞(1) ∞(2) ∞бора коэффициентов { }∞=0, { }=0, и { }=0, { }=0, причем в каждом наборекоэффициенты связаны друг с другом пятичленными рекуррентными соотношениями:(︂)︂(︂)︂(︂)︂2 21 10 01+ + 2 +2 +++1 + 2+ + 2 + 2 (︂)︂(︂)︂(14)−1 −1−2 −2++ 2 −1 + 1++ 2 −2 =0.В этом разделе с помощью теоремы Пуанкаре-Перрона доказана сходимость рядов в (12)(13) в области (см.
Рис.1) и показано как построить вещественное представление для10собственной функции. В следующем разделе 2.2 представлены степенные разложения длячетных и нечетных функций (;), когда параметр =0:(1) (;)=∞∞∑︁∑︁(1+2)(1+2)(2), (;)= 2.122=0=0(15)Коэффициенты обоих наборов , где = 1,2 связаны между собой четырехчленнымирекуррентными соотношениями:(︂)︂)︂)︂(︂(︂2 21 10 0−1+ + 2 +2 + 4+ + 2 +1 + −5+ + 2 + )︂(︂(16)−1 −1+ 2 −1 =0.+ 2+С помощью теоремы Пуанкаре-Перрона показана сходимость разложений (15). В разделе2.3 рассмотрен случай вырождения особых точек, если = ±1/2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
