Диссертация (1149881), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Показатель адиабаты γ = cp /cv . Уравнение состояния газа имеетвид:p = ρRT,(2.5)где R = cp − cv − удельная газовая постоянная. Для воздуха принятоR = 287 Дж/(кг·K).Для вычисления коэффициента динамической вязкости используетсяформула Сазерленда:µ = µ0TT03/2T0 + S0.T + S0(2.6)Здесь µ0 = 1.71 · 10−5 Н·с/м2 , T0 = 273.15K, S0 = 117K [5]. Коэффициент теплопроводности вычисляется по известному коэффициенту динамической вязкости µ и числу Прандтля λ = cp µ/Pr, для воздуха былопринято Pr = 0.72.Уравнения Эйлера получаются из уравнений Навье−Стокса если принять Gx = Gy = 0.Уравнения 2.1 − 2.6 образуют замкнутую систему уравнений.382.2Уравнения Рейнольдса (URANS) и модель турбулентности k − ω SST МентераПри моделировании турбулентных течений используются так называемые нестационарные осреднённые по Рейнольдсу уравнения Навье−Стокса− Unsteady Reynolds Averaged Navier−Stokes (URANS).Представим мгновенные значения параметров течения как сумму средней f и пульсационной f 0 компонент [1]:f = f + f 0.(2.7)Осреднение по Рейнольдсу представляет собой осреднение по времени:1f=∆ttZ0 +∆tf dt.(2.8)t0Период осреднения ∆t выбирается достаточно большим относительновременного масштаба турбулентных пульсаций, и вместе с тем достаточномалым по сравнению с характерным временем изменения параметров газав течении.Для сжимаемых течений используется осреднение по Фавру, котороепроводится с помощью весовой функции − плотности газа − следующимобразом:fe = ρf /ρ.(2.9)По Фавру осредняются только компоненты скорости, температура исвязанные с ней переменные (2.9), плотность и давление осредняются поРейнольдсу (2.8):vex = ρvx /ρ, vey = ρvy /ρ, Te = ρT /ρ.Мгновенные значения газодинамических переменных представляютсякак сумма средней и пульсационной (f 00 ) компонент (Wilcox D.C., 1993)[140]:f = fe + f 00 , p = p + p0 , ρ = ρ + ρ0 , vi = vei + vi00 ,39T = Te + T 00 , e = ee + e00 .Запишем уравнения Навье−Стокса используя индексные обозначения[140]:− уравнение неразрывности:∂ρ∂+(ρuj ) = 0,∂t ∂xj− уравнение количества движения:∂∂p∂τji∂(ρui uj ) = −+,(ρui ) +∂t∂xj∂xi ∂xj ∂∂∂p∂∂ui ∂uj 2∂uk(ρui ) +(ρui uj ) = −+µ+− δij,∂t∂xj∂xi ∂xj∂xj ∂xi 3∂xk− уравнение энергии:∂∂∂qj∂(ρe) +((ρe + p)uj ) = −+(ui τij ),∂t∂xj∂xj ∂xj∂uk∂∂∂∂T∂uj ∂ui 2(ρe) +((ρe + p)uj ) =λ+ µui+− δij,∂t∂xj∂xj∂xj∂xi ∂xj 3∂xk− выражения для тензора вязких напряжений и теплового потока:∂uk∂uk2∂ui ∂uj 2τij = 2µSij − µδij=µ+− δij,3∂xk∂xj ∂xi 3∂xk∂T1qj = −λ, Sij =∂xj2∂ui ∂uj+∂xj ∂xi.Здесь τij − тензор вязких напряжений, q − тепловой поток за счёт теплопроводности, Sij − тензор скоростей деформации, δij − символ Кроннекера.Уравнения Рейнольдса с осреднением по Фавру имеют вид (Wilcox D.C.,1993) [140]:40− уравнение неразрывности:∂ρ∂+(ρeuj ) = 0,∂t ∂xj(2.10)− уравнение количества движения:i∂∂P∂ h∂0000ui ) +ui uej ) = −τ ji − ρui uj ,(ρe(ρe+∂t∂xj∂xi ∂xj(2.11)− уравнение энергии:∂∂tρee+ρu00i u00i!2+∂∂xj(ρee + P )euj + uejρu00i u00i!=2(2.12)i∂ h (lam)0000000000000000−qj− ρuj h + uei (τ ij − ρui uj ) + ui τji − 0.5ρuj ui ui ,∂xjP = ρRTe,(2.13)− выражение для ламинарноподобного теплового потока:(lam)qj∂ Te.= −λ∂xj(2.14)− выражение для осреднённого тензора вязких напряжений:!∂u00j∂u00k∂eui ∂e∂eukuj 2∂u00i2τ ij = µ+− δij+µ+− δij.∂xj ∂xi 3∂xk∂xj∂xi 3∂xk(2.15)Первая часть осреднённого тензора относится к ламинарному переносу,а вторая к турбулентному, поэтому можно записать:(lam)τ ij(turb)τ ij∂eui ∂euj 2∂euk=µ+− δij∂xj ∂xi 3∂xk= −ρu00i u00j + µ,∂u00j∂u00k∂u00i2+− δij∂xj∂xi 3∂xk(2.16)!.(2.17)Для замыкания данной системы уравнений используются следующиесоотношения и допущения:411.

Вторая часть уравнения (2.17) полагается малой в сравнении с первой, тогда:(turb)τ ij= −ρu00i u00j + µ∂u00j∂u002+− δij k∂xj∂xi 3∂xk∂u00i!= −ρu00i u00j .(2.18)2. Гипотеза Буссинеска. Согласно ей, тензор рейнольдсовых напряже(turb)ний τijвыражается через осреднённые компоненты скорости аналогичнотензору вязких напряжений в уравнениях Навье−Стокса:∂eu22∂eu∂eujki(turb)+− δij− δij ρk.τ ij= −ρu00i u00j = µt∂xj ∂xi 3∂xk33. Выражение с двойной корреляцией пульсаций скорости ρu00i u00i представляет собой удельную кинетическую энергию турбулентных пульсаций:ρk =ρu00i u00i24. Выражение с корреляцией ρu00j h00 представляет собой кажущийся турбулентный поток тепла:(turb)qj= ρu00j h00 = −∂ Teµt Cp ∂ Te= λt,Prt ∂xj∂xjгде Prt − турбулентное число Прандтля.5. Выражения u00j τij и 0.5ρu00i u00j u00j отражают молекулярную диффузиюи турбулентный перенос:u00i τji − 0.5ρu00i u00j u00j =µtµ+σk∂k, σk = 1.0.∂xj6.

Часто принимается, что справедливо выражение ρk << P . Тогдаможно пренебречь следующими компонентами представленных выше уравнений, считая что они вносят незначительный вклад в характеристики течения:− в тензоре рейнольдсовых напряжений:2δij ρk ' 0.342− в уравнении энергии:u00i τji − 0.5ρu00i u00j u00j ' 0.Необходимо отметить что для гиперзвуковых течений эти компонентымогут быть существенны.Введём обозначение для полной энергии, которая равна сумме осреднённой внутренней энергии и кинетической энергии турбулентных пульсацийE = ee + k.С учётом всех этих допущений и обозначений уравнения URANS запишутся виде:− уравнение неразрывности:∂∂ρ+(ρeuj ) = 0,∂t ∂xj(2.19)− уравнение количества движения:i∂∂∂P∂ h (lam)(turb)(ρeui ) +(ρeui uej ) = −+τ− τ ji,∂t∂xj∂xi ∂xj ji(2.20)или∂uj 2∂euk∂∂∂P∂eui ∂e(ρe(ρe+(µ + µt )+− δij,ui ) +ui uej ) = −∂t∂xj∂xi ∂xj∂xj ∂xi 3∂xk− уравнение энергии:∂∂(ρE) +((ρE + P )euj ) =∂t∂xj(2.21)i∂ h (lam)(turb)(lam)(turb)−qj− qj+uei (τ ij − τ ij ) ,∂xjили∂∂(ρE) +((ρE + p)euj ) =∂t∂xj"#e∂∂T∂eui ∂euj 2∂euk(λ + λt )+ (µ + µt )eui+− δij.∂xj∂xj∂xj ∂xi 3∂xkP = ρRTe,43(2.22)Уравнения (2.19 − 2.21) можно записать в векторном виде, аналогичноуравнениям Навье−Стокса (2.1), опуская знаки осреднения:∂Gx ∂Gy∂Q ∂Fx ∂Fy++=+,∂t∂x∂y∂x∂y(2.23)где векторы Q, Fx , Fy , Gx , Gy определяются соотношениями:ρvxρ ρvx2 + p ρvx , Fx = Q= ρv vx y ρvy (ρe + p)vxρeGx = 0τxxτxyρvy , Fy =  ρvx vy ρv 2 + py(ρe + p)vy , Gy = vx τxx + vy τxy − qx,0τxy.τyy(2.24)vx τxy + vy τyy − qyКомпоненты тензора вязких напряжений задаются соотношениями:2∂vx ∂vy2∂vy ∂vxτxx = µef f 2−, τyy = µef f 2−,(2.25)3∂x∂y3∂y∂x∂vx ∂vy+.(2.26)τxy = τyx = µef f∂y∂xЗакон Фурье для вектора плотности теплового потока имеет вид:qx = −λef f∂T∂T, qy = −λef f.∂x∂y(2.27)По форме записи эта система аналогична уравнениям Навье−Стокса,однако в качестве определяемых величин выступают осреднённые параметры потока, а вместо молекулярной вязкости и коэффициента теплопроводности вводятся их эффективные значения, равные суммам молекулярныхи турбулентных компонент:µef f = µ + µt , λef f = λ + λt .44(2.28)Величина µt определяется с помощью той или иной модели турбулентности, которая замыкает систему уравнений URANS.

В данной работе используется k − ω SST модель Ментера (Menter F.R., 1994) [95]:∂∂∂∂k(ρk) +(ρkui ) =(Γk) + Pk − Dk ,∂t∂xi∂xj∂xj(2.29)∂∂∂∂w(ρω) +(ρωui ) =(Γw) + Pw − Dw + Dkw ,∂t∂xi∂xj∂xjгде k − турбулентная кинетическая энергия, ω − скорость удельной диссипации, Pk и Pw − генерационные члены, Dk и Dw − диссипативные члены,Dkw − перекрёстный член.По гипотезе Буссинеска:Pk02 ∂uk2∂uj∂ui− ρkδij .= τij, τij = µt 2Sij −= −ρui uj∂xi∂xj3 ∂xk3В модели Ментера генерация кинетической энергии турбулентностиограничивается следующим образом [95]:Pk = min(Pk0 , 10ρβ∗ ω).Генерационный член Pw связан с Pk соотношением:Pw =ααρPk =Pk .νtµtВихревая вязкость определяется соотношениями:µt =ρk.ωВ модели Ментера на значение турбулентной вязкости накладываетсяограничение.

В статье (Menter F.R., 1994) [95] оно определяется следующимобразом:pa1 ρk1µt =, Ω = 2Ωij Ωij , Ωij =max(a1 ω, ΩF2 )2∂ui ∂uj−∂xj∂xi.В ходе развития модель Ментера претерпела некоторые изменения. Внастоящей работе используется вариант модели и наборы констант из статьи (Menter F.R., 2003) [97]:45Турбулентная вязкость вычисляется как:p1a1 ρk, S = 2Sij Sij , Sij =µt =max(a1 ω, SF2 )2∂ui ∂uj+∂xj ∂xi.Эффективная диффузия Γk и Γω параметров k и ω определяются следующим образом:Γk = µ + µt σk , Γω = µ + µt σω .Диссипативные и перекрёстный члены:Dk = ρβ ∗ kω, Dω = ρβω 2 , Dkω = 2(1 − F1 )ρσω2 ∂k ∂ω.ω ∂xj ∂xjМодель Ментера представляет собой сочетание модели k − ω и моделиk − , записанной в терминах k и ω. В пристеночной области используетсянабор констант из модели k − ω, а во внешней области − набор константиз модели k − .

Каждая из констант φ = {σk , σω , α, β} является аппроксимацией между константой для внутренней области φ1 = {σk1 , σω1 , α1 , β1 }и константой для внешней области φ2 = {σk2 , σω2 , α2 , β2 } в соответствии сформулой:φ = F1 φ1 + (1 − F2 )φ2 ,где φ1 представляет собой набор констант для k−ω, а φ2 − для k− модели.Таким образом происходит сращивание k − и k − ω моделей. Функции F1и F2 имеют вид:F1 = th(arg14 ),√!k 500µ4ρkσω2arg1 = min max,,β ∗ ωy ρy 2 ωCDkω y 22ρσω2 ∂k ∂ωCDkω = max, 10−10 ,ω ∂xj ∂xjF2 = th(arg22 ),!√2 k 500µarg2 = max,.β ∗ ωy ρy 2 ω46!,В работе используются следующие наборы констант:a1 = 0.310, β ∗ = 0.09, κ = 0.41,α1 = 0.553, β1 = 0.075, σk1 = 1.176, σω1 = 2.000,α2 = 0.440, β2 = 0.828, σk2 = 1.000, σω2 = 1.168.Для турбулентного коэффициента теплопроводности и турбулентногочисла Прандтля принимаются следующие соотношения и значения:λt = (cp µt )/Prt , Prt = 0.85.2.32.3.1Численный метод расчёта несущего газаРасчётная область и сеткаРоторная и статорная решётки имеют одинаковый шаг s = 70 мм.

Расчётная область состоит из двух блоков − подвижного и неподвижного(рис. 2.1). Левый блок (роторный) движется в поперечном направлениисо скоростью решётки Vr = 150 м/с, а правый блок (статорный) неподвижен. В каждом из блоков вводится неструктурированная расчётная сетка.Для корректного разрешения пограничного слоя вблизи профиля лопаткииспользуются четырёхугольные ячейки, а в остальном пространстве треугольные. Для изучения сходимости по сетке была выполнена серия расчётов с различными размерами ячеек. Для дальнейшего численного моделирования нестационарного течения был выбран вариант сетки со следующими параметрами: роторный блок состоял примерно из 100 тыс. ячеек,а статорный из 150 тыс.

ячеек. Неструктурированная сетка в обоих блоках сгущается к контуру профиля лопатки, поперечный размер ячеек усамого профиля составляет примерно 1/20 толщины пограничного слоя.С удалением от профиля он увеличивается с коэффициентом 1.05. Такимобразом, всего в пограничном слое расположено примерно 20 слоёв ячеекпо направлению нормали к поверхности. Общий вид расчётной сетки показан на рис. 2.2 слева.

Характеристики

Список файлов диссертации