Диссертация (1149881), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Записанное вышевыражение для yk+ задаёт взаимно-однозначное соответствие между yk− иyk+ . Тогда якобиан J1 = |D(yi+ , yj+ )/D(yi− , yj− )| =6 0 и, следовательно, параметры частиц до столкновения могут быть найдены исходя из параметровпосле столкновения yk− = yk− (yi+ , yj+ , nij ), k = i, j. Физически столкновение64−возможно только если gij· nij ≤ 0, где gij = vj − vi . Здесь также пред-полагается, что положение любых двух частиц в физическом пространствестатистически некоррелированно, т.е. верна аналогия гипотезы молекулярного хаоса.

Это допущение справедливо, если длина свободного пробегачастиц, движущихся в несущем газе, много меньше, чем длина динамической релаксации частицы. Эти допущения и рассуждения сходны с теми,которые приняты в динамике разреженного газа для столкновения двухмолекул.Рис. 3.1: Схема столкновения частиц (а), система координат при вычислении интеграла столкновений (б).Введём одночастичную функцию распределения дисперсных частицf1 = f (x1 , t) = f (r1 , y1 , t), нормированную на их счётную концентраRцию np (r1 , t) =f (r1 , y1 , t)dy1 .

Иными словами выражение f dx1 =f (r1 , v1 , ! 1 , T1 , t)dr1 dv1 d! 1 dT1 равно числу частиц с координатами и ско-ростями из элементарного объёма dr1 dv1 d! 1 dT1 в окрестности точки x1 =(r1 , v1 , ! 1 , T1 ) фазового пространства. Кинетическое уравнение для f1 имеет вид [8]:∂∂∂f1+(v1 f1 ) +∂t∂r1∂v1Icoll = 4rp2Zf1∂L1∂q1f1 +f1 +f1 = Icoll ,mp∂ ! 1 Jp∂T1 c◦p mpZdy2f1− f2−− f1 f2 ) |g12 · n12 |sinχdχdε,Jg12 ·n12 ≤065 + g12 · n12 ∂(y1+ , y2+ ) |J1 |, J1 = J = − ∂(y− , y− ) ,g12 · n12 12−−f1− = f (x−1 , t), f2 = f (x2 , t), f1 = f (x1 , t), f2 = f (x2 , t).Здесь Icoll − интеграл столкновений, χ и ε − угловые координатысферической системы координат, задающие направление n = cosχi +sinχcosεj + sinχsinεk. Величина J в интеграле столкновений отражаетуменьшение фазового объёма вследствие неупругости столкновений.

Дляпринятой в данной работе модели столкновения частиц величины J и J1равны:J = a2pn a2pt , J1 = −apn a2pt ,где apn , apt − коэффициенты восстановления нормальной и касательнойкомпонент скорости центра масс частицы.Пусть Φ = Φ(xi ) − параметр индивидуальной частицы, тогда "гидродинамический" параметр "газа" частиц (другими словами, макропараметрдисперсной фазы) hΦi(r, t) в точке r физического пространства определяется как осреднённая по ансамблю частиц величина Φ = Φ(xi ) в единичномобъёме смеси газа с частицами. Величину hΦi(r, t) можно выразить в терминах Φ и f (x1 , t) следующим образом:ZhΦi(r, t) = Φ(r, y1 , t)f (r, y1 , t) dy1 ,y1 = (r1 , ! 1 , T1 ).Например, числовая плотность частиц np , объёмная концентрация частиц αp , гидродинамическая скорость wp и удельная энергия "хаотического" движения частиц ep вычисляются следующим образом:hvp i1mp (vp − wp )24 3, ep =.np = h1i, αp = πrp np , wp =3npmp np2Обозначим поток физической величины Φ от дисперсной фазы к твёрдой поверхности в точке rw как hΦw i:ZhΦw i = hΦ(rw , t)i = − (v1 · nw )Φ(rw , y1 )f (rw , y1 , t)dy1 .66На поверхности лопатки (при r = rw ) для функции распределения задаётся граничное условие, которое определяется выбором модели столкновения частиц с лопаткой.

В общем случае функция распределения дляотражения частиц должна удовлетворять соотношению:Z|v1 · nw |f (r, y1 , t) = |v1− · nw |Ww (y1− → y1 |nw )f (rw , y1− , t)dy1− .Здесь v1− · nw < 0, Ww (y1− → y1 |nw ) − условная плотность распределения параметров частицы y1 после отскока от поверхности, y1− − заданныезначения параметров до столкновения, nw − единичный нормальный к поверхности вектор. Плотность вероятности Ww (y1− → y1 |nw ) должна вычисляться на основе модели столкновения частицы со стенкой.

Если во времястолкновения параметры частицы изменяются по закону y1 = yw+ (y1− , nw ),то Ww (y1− → y1 |nw ) = δ6 (y1 − yw+ (y1 , nw )), где δ6 − шестимерная функция Дирака. Если используется стохастическая модель столкновения, тофункция Ww (y1− → y1 |nw ) может быть вычислена методом прямого статистического моделирования, который основан на вычислении большогоколичества столкновений со случайной ориентацией частиц до столкновения. Такой подход использовался в работе [37] для вычисления индикатриссрассеяния несферических частиц при отскоке от гладкой и шероховатой поверхностей.3.3Модели отражения частицы от твёрдой поверхностиВ данной работе для определения параметров частиц после отскока оттвёрдой стенки использовались две различные модели ударного взаимодействия.

Первая из них является полуэмпирической и была обоснованатолько для сферических частиц. Вторая модель может быть использованадля частиц любой формы.673.3.1Полуэмпирическая модель для сферических частиц вплоском движении ("модель-1a")Данная модель была предложена в работе [52]. Эта модель основанана законах изменения импульса и момента импульса при ударном взаимодействии частицы с поверхностью и на опытных значениях коэффициентов восстановления нормальной и касательной компонент скорости центрамасс частицы при отскоке. Коэффициенты зависят от материалов частици стенки, а также от угла падения. Важной чертой модели являются зависимость касательной силы от скорости удара и конечный размер пятнаконтакта при ударе о твёрдую стенку.

Схема удара показана на рис. 3.2.Рис. 3.2: Модель столкновения частиц с твёрдой поверхностью [52].Приведём соотношения для компонент скорости центра масс и для угловой скорости вращения частицы в момент отражения [52]:v2n = −an v1n ,v2τ =ω2 =v a + ω1 rp (aτ − 1), β1 < β∗ , 1τ τ v a − 2ω r ,β1 ≥ β∗ ,1 p1τ τ735v51τ+ ω 1 aτ −, β1 < β∗ ,25 2 rpv2 − 1τ aτ + ω1 ,rp768β1 ≥ β∗ .Здесь vn и vτ − нормальная и касательная к стенке составляющие скорости центра масс частицы, ω − величина угловой скорости частицы, anи aτ − коэффициенты восстановления нормальной и касательной компонент скорости центра масс, rp − радиус частицы.

Величина β∗ − пороговоезначение угла падения: если β1 < β∗ , то реализуется удар со скольжениемчастицы по поверхности, в противном случае происходит удар без скольжения. Нижний индекс "1" соответствует параметрам до удара, а "2" −после. В расчётах было принято, что материал частиц − SiO2 , материаллопаток − сталь.Для расчёта коэффициента восстановления an использовалась формулаЛашкова В.А. (1991) [27], а для коэффициента aτ − формула, предложенная в [52]:an = 1 − [1 − exp(−0.1|v1 |0.61 )]sinβ1 ,aτ = C 0 + C 1π2− β12+ C2π2− β14+ C3π2− β16,C0 = 0.690, C1 = −0.288, C2 = 0.114, C3 = 0.0219.Эта модель далее упоминается как "модель-1a". Изначально она быласформулирована для случая плоского движения частицы.3.3.2Полуэмпирическая модель для сферических частиц с учётом трёхмерного движения ("модель-1b")Эта модель является обобщением предыдущей на случай трёхмерногодвижения частицы, когда все шесть компонент поступательного и вращательного движения могут иметь произвольные значения [8], [138].

Скоростьточки контакта частицы с поверхностью до отражения равна:w1 = v1 − rp!1 × n,где v − вектор скорости частицы, ! 1 − вектор угловой скорости частицы,n − вектор нормали к поверхности. Логично предположить, что вектор69сил действующих на частицу в пятне контакта с поверхностью симметричен относительно плоскости, заданной двумя векторами (n, w1 ). Введёмкасательные вектора к поверхности и таким образом, чтобы они обра-зовывали тройку ортогональных векторов и составляли базис: = w1 × n, = n × .В этом случае частица движется в плоскости, образованной векторами(n,τ ). Компоненты скорости в новом базисе обозначим v = (vk , vn , vτ ), ! =(ωk , ωn , ωτ ). После столкновения частицы с поверхностью они вычисляютсяследующим образом:v2τ =ω2k =v2n = −an v1n ,v a + ω1k rp (aτ − 1), β1 < β∗ , 1τ τ v a − 2ω r ,β1 ≥ β∗ ,1k p1τ τ75 v1τ 53+ ω1k aτ −, β1 < β∗ ,25 2 rp−2v1τaτ + ω1k ,rp7β1 ≥ β∗ ,v2κ = v1κ , ω2n = ω1n , ω2τ = ω1τ .Здесь β − угол падения в плоскости, образованной векторами {n, }.3.3.3Модель для несферических частиц ("модель-2")Наряду со сферическими частицами также были рассмотрены: эллипсоиды вращения с отношением осей b/a=0.8, частицы в виде прямоугольныхпризм и призм со скошенными вершинами (рис.

3.3). Для таких частициспользовалась модель отражения от твёрдой поверхности, которая далеепо тексту упоминается как "модель-2". В отличие от описанной выше полуэмпирической модели, в ней задаются не коэффициенты восстановлениякомпонент скорости центра масс частицы, а коэффициенты восстановления70компонент скорости точки контакта частицы с поверхностью лопатки. Длянесферических частиц под размером понимается длина большей полуоси.Данная модель столкновения была заимствована из работы [37].

Онапозволяет рассчитывать отражение частиц произвольной формы от гладкой и от шероховатой поверхности. В расчётах рассматривалась толькогладкая поверхность.Рис. 3.3: Схема ориентации частиц различной формы.В модели принимается, что отражение частицы происходит без проскальзывания, что справедливо в широком диапазоне углов падения. Дляэтого коэффициент восстановления касательной компоненты скорости принимается равным aτ c = 0. При этом коэффициент восстановления нормальной скорости не зависит от угла падения и всегда равен anc = 0.8,что соответствует среднему значению коэффициента восстановления нор71мальной компоненты скорости центра масс частицы для углов столкновения 0◦ .

Характеристики

Список файлов диссертации