Диссертация (1149834), страница 10
Текст из файла (страница 10)
>> , и мы можем не рассматриватьвременные интервалы, в течение которых фронты импульсов пробегают по среде.В итоге мы получаем следующую систему уравнений для подансамбля атомов, двигающегося как целое со скоростью ( ),ˆ = − ( )ˆ (︂)︂+ ˆ( ) = Ωˆ( ) + ( )ˆ ,)︂(︂ ˆ+ ( ) = −Ωˆ( ).(2.31)(2.32)(2.33)Из записанной системы уравнений (2.31–2.33) нетрудно вывести уравнение непрерывности: †ˆ ˆ + ˆ† ( )ˆ( ) + ˆ† ( )ˆ( ) = 0.(2.34)Из этого уравнения следует, что при записи фотоны сигнального поля превращаются в возбуждения атомных когерентностей ˆ 12 (, ; ) и ˆ 13 (, ; ).
В частности, это означает, что приконвертации квантовой информации, переносимой сигнальным полем, в долгоживущую когерентность нижних состояний ˆ 12 (, ; ) часть ее будет безвозвратно утеряна из-за наличиякогерентности ˆ 13 (, ; ): в момент окончания записи некоторые атомы останутся в возбужденном состоянии | 3⟩ и затем в процессе хранения спонтанно перейдут обратно в состояние| 1⟩. В работе [18] было показано, что влияние этого канала потерь можно уменьшить, еслиподобрать интенсивность управляющего поля достаточно большой, чтобы осцилляции Раби напереходе | 2⟩ → | 3⟩ были эффективнее спонтанного распада (Ω ≫ ), а длительность импульсов41сигнального и управляющего полей сделать настолько малой, что атомы под действием Рабиосцилляций не будут иметь времени, чтобы вернуться в состояние | 3⟩.2.5Решение квантовой и полуклассической задачСистема уравнений (2.31–2.33) описывает полный цикл памяти, включающий в себя эта-пы записи, хранения и считывания, с учетом продольного движения всех атомов подансамбля снекоторой заданной скоростью .
Мы будем считать, что за короткие этапы записи и считыванияатомы не успевают заметно сместиться, и поэтому их можно рассматривать как неподвижные.Очевидно, что система уравнений для всего ансамбля неподвижных атомов будет совпадать с системой уравнений для подансамбля при = 0. Мы учтем продольное тепловое движение толькона этапе хранения, когда сигнальное и управляющее поля выключены и в среде сформированаспиновая когерентность ˆ 12 (, ; ).
Запишем решения с помощью безразмерных величин длякаждого из интересующих нас случаев.Безразмерные координату ˜ и время ˜ мы определяем как˜ =2 ( ( ))2,Ω˜ = Ω.(2.35)В соответствии с определением безразмерная координата ˜ оказывается выраженной в единицах эффективной оптической толщины, которая отличается от истинной оптической толщины = 2 ( ( ))2 / (– длина ячейки памяти) в |Ω/| раз, а безразмерное время ˜ в единицахобратных частоте Раби Ω. Отсюда следует, что в рамках протокола быстрой квантовой памяти˜ > ˜ , ˜ .должно выполняться Из (2.35) мы получаем определение для безразмерной скорости ˜˜ =2 ( ( ))2 .Ω2(2.36)Операторы поля ˆ (, ) и когерентностей ˆ(, ; ) и ˆ(, ; ) мы обезразмериваемчерез их коммутационные соотношения (2.4) и (2.30).
Зная, что размерность дельта-функцииобратно пропорциональна размерности ее аргумента, получаем]︁1†′˜˜˜˜ˆ (˜ , ), ˆ (˜ , ) = ( − ′ ) = (˜ − ˜′ ),Ω[︁]︁ [︁]︁˜ˆ ˜˜ˆ† ′ ˜† ′ ˜˜˜˜(˜ , ; ˜ ), (˜ , ; ˜ ) = ˆ(˜ , ; ˜ ), ˆ (˜ , ; ˜ ) =[︁42Ω( − ′ ) = (˜ − ˜′ ),2 ( ( ))2откуда находим связь между безразмерными и размерными операторами1˜ˆ (˜ , ˜) = √ ˆ (, ),Ω√︂Ω 1 ˆ˜ˆ ˜(˜ , ; ˜ ) =(, ; ),2 ( )√︂Ω 1ˆ(, ; ).˜ˆ(˜ , ˜; ˜ ) =2 ( )(2.37)(2.38)(2.39)Далее мы будем опускать знак "тильда" , имея в виду безразмерные величины везде, где это неоговорено отдельно.Рассмотрим решения для неподвижного ансамбля атомов, считая, что атомы не смещаются существенным образом на временах взаимодействия и , которые связывают амплитудусигнального поля ˆ () на входе квантовой памяти с когерентностью ˆ(, ), образовавшейся кконцу этапа записи,ˆ(, ) = −∫︁ (, )ˆ ( − ) + ( ),(2.40)0∫︁1 (, ) = √2*′ (, ′ )(, − ′ ), (, ) = − 0(︁√ )︁ Θ (),0а также когерентность ˆ(, + ) в момент окончания этапа хранения с восстановленным приобратном считывании полем ˆ (),∫︁ (, )ˆ(, + ) + ( ),0∫︁ (︁√ )︁1* (, ) = √′ (, ′ )(, − ′ ), (, ) = − 0 Θ (),2 0ˆ () = −Здесь 0(2.41)(︀√ )︀ – функция Бесселя первого рода нулевого порядка, Θ (), Θ () – функции окна(они равны единице внутри соответствующего интервала, и нулю вне этого интервала).Мы обозначили как ( ) и ( ) интегральные преобразования от подсистем, которые при записи и считывании находятся в вакуумном состоянии.
Рассмотрим эти выраженияподробно:∫︁ ′ˆ( ) = ( , )( − , 0) + ′ ( ′ , )ˆ( − ′ , 0),00∫︁ ∫︁ ( ) = ′ (′ , )ˆ ( − ′ ) − ′ ( ′ , )ˆ( − ′ , + ),∫︁′′0043(2.42)(2.43)где (, ), (, ), (, ) и (, ) – ядра записанных интегральных преобразований. Ихявный вид был получен в работе [19] и приведен в приложении A. Заметим, что для дальнейшегорассмотрения протокола они не понадобятся.В момент начала записи все атомы находятся в состоянии | 1⟩ и когерентности ˆ( − ′ , 0)и ˆ( − ′ , 0) еще не образовались. При считывании сигнальное поле выключено и на вход ячейкипадает поле в вакуумном состоянии ˆ , при этом остаточная заселенность уровня | 3⟩, котораяобразовалась при записи, в процессе хранения полностью исчезнет в результате спонтанногораспада на уровень | 1⟩, а значит, исчезнет и когерентность ˆ( − ′ , 0).
Отсюда, в частности,следует, что волновые функции, описывающие квантовые состояния всей системы в моментыначала записи и считывания могут быть факторизованы| ⟩= | ⟩ | ⟩ | ⟩ = | ⟩ | ⟩ | ⟩ ,(2.44)| ⟩= | ⟩ | ⟩ | ⟩= | ⟩ | ⟩ | ⟩ .(2.45)Так как в дальнейшем нас будут интересовать только средние от произведения нормально упорядоченных операторов рождения и уничтожения, мы можем опустить ( ) в выражении (2.40)и ( ) в выражении (2.41) и перейти от операторов к соответствующим им аналитическимфункциям∫︁(, ) = −∫︁ () = − (, ) (),(2.46)0 (, )(, + ).(2.47)0Для учета движения на этапе хранения и влияния этого движения на образовавшуюся впроцессе записи когерентность ˆ(, ; ) вернемся к рассмотрению подансамбля, состоящегоиз атомов, движущихся сонаправленно с продольной скоростью . Тогда эволюция когерентности ˆ(, ; ) этого подансамбля на этапе хранения будет определяться уравнением(︂+ )︂ˆ(, ; ) = 0.(2.48)Решение уравнения (2.48) в момент окончания хранения сигнала + имеет простой видˆ(, + ; ) = ˆ( − , ; ).44(2.49)Выражение (2.49) показывает, что к моменту окончания записи область определения когерентности ˆ(, + ; ) сместится на интервал , т.е.
если в самом начале цикла памяти ∈ [0, ],то после этапа хранения ∈ [ , + ], при этом вид самой зависимости никак не изменится. Таким образом, чтобы рассмотреть движение атомов на этапе хранения нам остаетсятолько учесть вклад ˆ(, + ; ) от каждого подансамбля в когерентность ˆ(, + ) всегоансамбля.
Именно такая когерентность будет теперь начальным условием на этапе считывания.Как было сказано ранее, нас будут интересовать только средние от нормально упорядоченных операторов рождения и уничтожения, поэтому и в этом случае мы можем перейти отоператоров к соответствующим им аналитическим функциям(, + ; ) = ( − , ; ).(2.50)Дальнейший анализ решений, полученных в этой главе, мы проведём на языке собственных функций и собственных значений полного цикла памяти.45Глава 3Модовый анализ квантовой памяти нанеподвижном атомном ансамблеИсследование, о котором пойдет речь в этой главе, является логическим продолжением работ [18, 19].
В [18] было рассмотрено сохранение поперечного профиля сигнального полявнутри ячейки быстрой квантовой памяти и найдено, сколько независимых поперечных пространственных мод могут быть использованы для записи квантовой информации. В [19] анализрешений уравнений (2.31–2.33) для неподвижных атомов и численный расчет показали, что призаданной длине ячейки можно подобрать такую длительность записи , для которой общие потери на этом этапе окажутся минимальными. Кроме того, было обнаружено, что еслидлительность этапа считывания превосходит найденную длительность этапа записи , тоинтенсивность сигнального поля на выходе из ячейки падает практически до нуля и эффективность процесса существенно не меняется.В связи с этим, чтобы ответить на вопрос о сохранении ячейкой памяти не только поперечных, но и временных мод сигнального поля, а также для обоснования результатов [19], былапоставлена задача на поиск собственных функций и отвечающих им собственных значений интегрального преобразования полного цикла памяти, которое переводит сигнальное поле ˆ () навходе в ячейку при записи в поле ˆ () на выходе из нее при считывании.
Ее решение позволит найти такие сигнальные поля, которые бы не меняли свой временной профиль и при этомсохраняли бы переносимую ими квантовую информацию наилучшим образом. Кроме того, онодолжно показать, какую полосу пропускания будет иметь квантовый информационный канал,включающий в себя такую ячейку памяти.Мы найдем собственные значения для = 10 и разных временах взаимодействиях ( = = ), построим собственные функции с наибольшими собственными значениями при46 = = 5.5, что, согласно [19], является оптимальным выбором параметров для = 10, и рассмотрим их Фурье-спектры. Мы также рассмотрим, что происходит, когда на вход ячейки памятиподается поле с обращенным временным профилем, отвечающим одной из собственных функций, и проследим за тем, какой "отклик" в среде вызовет такое поле.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
