Автореферат (1149824), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Так, еслиγ — вещественное число, zγ — такое целое число, что zγ < γ < zγ + 1, то ⌊γ⌋ = zγ ,zγ + 1,⌈γ⌉ =⌊zγ ⌋ = ⌈zγ ⌉ = zγ .После перехода от частот к периодам выполняется последовательная оптимизация —своего рода синтез градиентного (по z) и покоординатного (по T ) спусков.Градиентный спуск для фиксированного периода таков.
Возьмем пробники (7) на носителях (18), в которых мультипликаторы Ξ(j), j = 0, ..., P , взяты из таблицы 1. Согласно теореме4 такой выбор обеспечивает взаимную ортогональность пробников.что в кри А это означает,K(T )−1∑e v) (см. (12)) матрица квадратичной формы z T терии qbm (z, T, S,vvT z положительноk=−K(T )определена и имеет диагональный вид.
В силу теоремы 5 данный выбор дает единственныйминимайзер z ∗ . Его компоненты легко вычисляются:zi∗ =Ξ1([ i+1 ])2∑TW (m + k)vi (T, k),i = 0, ..., 2P.ek∈S[ i+12 ]e v).Затем вычисляется значение критерия качества для этого минимайзера: qbm (z ∗ , T, S,Итерации начинаются с моментаm0 = Ξ(0)Tmax /2,то есть жертвуются первыеΞ(0)Tmax /2 сэмплы. И тогда носители из Se целиком располагаются внутри входного цифрового11потока, что позволяет обойтись без специального блока в программе, который инициализируетпроцесс оптимизации.Оптимизация производится по двум частотным диапазонам: низкочастотном и высокочастотном.
Для высоких частот проводится полная оптимизация, то есть вычисляются значения критерия качества на всех периодах из допустимого диапазона. Для низких частот такойспособ оказывается чрезмерно расточительным с вычислительной точки зрения, поэтому тампроводится Грубая оптимизация, после которой может следовать один или более шагов Градиентного спуска.Грубая оптимизацияНа отрезке [Tmin , Tmax ] с целочисленными концами выбирается целочисленная сетка Te,состоящая из R узлов-периодов Tei , i = 1, ..., R: Tmin =: Te1 < Te2 < ...
< TeR := Tmax , причемсуществует некоторое натуральное s > 1 такое, что Tei − Tei−1 = s, i = 2, ..., R − 1. ЕслиTmax − Tmin кратно s, то TeR − TeR−1 = s, иначе TeR − TeR−1 равно остатку от деления Tmax − Tminна s.e v). Узел с индексом i∗ , доВ каждом узле Tei вычисляется критерий качества qbm (z, Tei , S,ставляющий критерию наименьшее значение среди остальных узлов, назовем опорным. Индексi∗ хранится в памяти, пока не потребуется его сменить еще одной Грубой оптимизацией.Опорный узел выбирается как стартовое значение текущего оптимизируемого периодаT ′ , то есть T ′ := Tei∗ . При переходе к следующему сэмплу стартовое значение текущего оптимизируемого периода выбирается равным оптимальному периоду с предыдущего сэмпла.После чего выполняется Оптимизация периодов: Градиентным спуском на моменте me v) и минимальное значение критериявычисляется минимайзер z ∗ критерия q ′ := qbm (z, T ′ , S,e v).
Затем вычисляется q ′′ := qbm (z, T ′ + 1, S,e v).qbm (z ∗ , T ′ , S,0. В “экзотическом” случае q ′ = q ′′ оптимальным периодом назначается T ′ и соответствующие ему оптимальные значения z.I. Если q ′ > q ′′ , то происходят переприсваивания q ′ := q ′′ и T ′ := T ′ + 1 и затем либо1) вычисляются значения q ′′ критерия последовательно на новых периодах T ′ дотехпор,поканебудетдостигнутлокальныйминимум:q′<q ′′ ,либо2) обрабатывается ситуация T ′ ≥ Tei∗ + s/2.В случае 1) из оптимизации периода выводится значения оптимальных периода T ∗ ипараметров z.В случае 2) запускается Грубая оптимизация.
Если индекс нового опорного узла меньшеиндекса текущего, то продвижение вправо прерывается, и период T ∗ = T ′ − 1 и найденные12для него значения z выводятся как оптимальные. Если же индекс нового опорного узла неменьше индекса текущего, то процесс оптимизации продолжается, а индекс нового опорногоузла становится текущим.e v). Если q ′ > q ′′ , то происходятII. Если q ′ < q ′′ , то вычисляется q ′′ := qbm (z, T ′ − 1, S,переприсваивания q ′ := q ′′ и T ′ := T ′ − 1 и затем либо1) вычисляются значения q ′′ критерия последовательно на новых периодах T ′ дотехпор,поканебудетдостигнутлокальныйминимум:q′<q ′′ ,либо2) обрабатывается ситуация T ′ ≤ Tei∗ − s/2.В случае 1) из оптимизации периода выводится значения оптимальных периода T ∗ ипараметров z.В случае 2) запускается Грубая оптимизация.
Если индекс нового опорного узла большеиндекса текущего, то продвижение влево прерывается, и период T ∗ = T ′ + 1 и найденныедля него значения z выводятся как оптимальные. Если же индекс нового опорного узла небольше индекса текущего, то процесс оптимизации продолжается, а индекс нового опорногоузла становится текущим.Общая схема низкочастотного анализаВ момент m0 производится Грубая оптимизация. Полученная информация используется для оптимизации в момент m = m0 + 1, в который производится Градиентный спуск свозможным подключением Грубой оптимизации. На ее выходе оптимальный период основнойгармоники и оптимальные амплитуды основной гармоники ее обертонов. После этого происходит оптимизация Градиентным спуском в момент m = m + 1.
И так далее. Окончание работыпроисходит, когда до конца основной части обрабатываемого WAV-файла остается m0 сэмплов.Общая схема высокочастотного анализПоскольку диапазон коротких периодов, соответствующий высоким частотам, невелик(3 ÷ 7), разделение оптимизации на Грубую оптимизацию и Градиентный спуск нецелесообразно.
И на этих периодах проводится полная оптимизация, которая соответствует Грубойоптимизации с шагом 1.Глава 3. Приведенный в главе 2 алгоритм может эффективно работать на каждом сэмпле. Однако практика показывает, что выдаваемая алгоритмом информация не так быстроустаревает, чтобы обновлять ее столь часто.
Вполне возможно делать пропуски в несколько сэмплов при анализе, а затем интерполировать полученную информацию на пропущенныхотсечках. Хороший результат при пропусках до u = 10 отсечек показала интерполяция квазиэрмитовыми кубическими сплайнами не оптимизированных по алгоритму из главы 2 сэмплов.−1Пусть {si0 }N, N := ⌊(N − 2m0 )/u⌋ — информация из частотно-амплитудного анализа,013то есть сэмплы входного сигнала в процесс интерполяции, si1 , ..., si,u−1 — дополнительные сэмплы в моменты (в дополнительных узлах), соответственно, til = ui + rl, l = 1, ..., u − 1, где r —шаг дискретизации, который, не умаляя общности, считаем равным 1.Каждому узлу интерполяции, начиная со второго (с индексом 1) и до предпоследнего,si+1,0 − si−1,0сопоставим центральную разностную производную: hi =, i = 1, 2, ..., N − 2.2uВ первом и последнем узлах положим h0 = hN −1 = 0.Начальное звено сплайна получим линейной интерполяцией по первому и второму сэмплам.
Прочие звенья между моментами ti0 и ti+1,0 , i ≥ 1, получаются в результате решениязадачи кратного интерполирования с помощью полинома третьей степени H3 (t):H3 (tl0 ) = sl0 , H3′ (tl0 ) = hl ,(21)где l = i, i + 1. Поскольку hl не являются значениями производной интерполируемой функции, такой полином назовем квазиэрмитовым кубическим, а КЭК-сплайны и есть сплайны,составленные из таких полиномов.Решение задачи (21) с вычислительной точки зрения удобнее описать не через глобальную переменную t, а через локальную m следующим образом: m = t − ⌊t/u⌋u для всех[]t ∈ ⌊t/u⌋u, ⌊t/u⌋u + u .Решение задачи (21) в локальных переменных доставляется известной формулой:C[i,i+1] (m/u) = (1 − m/u)2 (1 + 2m/u)si0 + (m/u)2 (3 − 2m/u)si+1,0 ++hi u(1 − m/u)2 m/u − hi+1 (m/u)2 (1 − m/u)u.(22)В диссертации вводится−1Определение 4.
Пусть имеется дискретный сигнал {ti , si }N. Ассоциированным сигналом0к нему будем называть гладкую функцию f : [t0 , tN −1 ] → R с кусочно-непрерывной второйпроизводной и f(ti ) = si , i = 0, ..., N − 1.Уровень паразитных шумов оказался в обратной зависимости с уровнем гладкости.В диссертации вводитсяОпределение 5. Под уровнем гладкости будем понимать максимум величины, обратной модулю второй производной в точках ее непрерывности.В диссертации доказаны теоремы 9-11.Теорема 9. Пусть вещественная гладкая функция s имеет кусочно-непрерывную вторуюпроизводную на сегменте [ti−1,0 , ti+1,0 ], тогда существует zi ∈ (ti0 , ti0 + u) такое, что|s′′ (zi )| ≥|∆2i0 (u)|=: p2 , i = 0, 1, ...u214Теорема 10. Линейная интерполяция снижает в u раз в окрестностях исходных узлов уровень гладкости высшего по уровню гладкости ассоциированного сигнала.Теорема 11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
