Диссертация (1149755), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Представление для подынте-20гральных выражений в терминах фейнмановских параметров может быть получено в этих случаях непосредственно по виду диаграмм.Для расчета РГ-функций требуется вычислять диаграммы Γ̄i на нулевойвнешней частоте. Интегрирование по временам с пропагаторами (33), легко выполняется по правилам предыдущего раздела и дает совокупность квадратичных по импульсам множителей в знаменателе. После этого возникает возможность перехода к представлению Фейнмана. Отличие от статического случая(модель (7)) состоит в том, что множители в знаменателе являются в данномслучае суммой “энергий” Ek , и в то же время в пропагаторе (33) множитель Ek взнаменателе отсутствует. Мы рассмотрим на примере трехпетлевой диаграммынеобходимые модификации для построения фейнмановского представления, азатем сформулируем общие правила его построения прямо по виду диаграммы.В третьем порядке теории возмущений вклад в величину Γ̄(0,2) определяется единственной диаграммой, которую требуется рассчитать на нулевойвнешней частотеt0(36)t2 .t1Для диаграммы (36) это соответствует взятию интеграла по всевозможным временам t1 и t2 .С учетом θ–функции в пропагаторе ψψ 0 область интегрирования в (36)можно представить в виде 3-х вкладов (трех временных версий)(t0 > t1 > t2 )+(t0 > t2 > t1 )+(37)(t2 > t0 > t1 )В каждой из областей (37) интегрирование по времени легко осуществляется, результат можно представить графически в виде15t0t1t2|ω=0 =214+243315+245(38)3Приведем подынтегральные выражения в импульсном представлении длядиаграмм в правой части (38)21524131524111··(40)Ek1 Ek2 Ek3 Ek5 (Ek1 + Ek2 + Ek3 + Ek4 ) (Ek3 + Ek4 + Ek5 )∼111··(41)Ek1 Ek2 Ek3 Ek5 (Ek1 + Ek2 + Ek3 + Ek4 ) (Ek1 + Ek2 + Ek5 )1543111··(39)Ek1 Ek2 Ek3 Ek5 (Ek1 + Ek2 + Ek5 ) (Ek3 + Ek4 + Ek5 )∼32∼Первая дробь в выражениях (39-41) учитывает “статические” множители 1/Ekiв пропагаторах ψψ, вторая и третья дроби – результат интегрирования по времени.
Проведенные между каждой парой соседних вершин вертикальные пунктиры (“сечения”) определяют множители в знаменателях, равные сумме “энергий” Ek линий в этом сечении.Зависимость от импульсов интегрирования в диаграммах после проведения интегрирования по временам имеет структуру, позволяющую перейти кфейнмановскому представлению, что позволяет воспользоваться в дальнейшемметодом Sector Decomposition, как и в задачах критической статики. Рассмотрим такой переход на примере временной версии (39).
С учетом множителей1/Ek в пропагаторах (33) диаграмме сопоставляется интеграл:ZJ=Zdk1 ...dk5δ(k1 + k2 + k5 ) δ(k3 + k4 + k5 ).Ek1 Ek2 Ek3 Ek5 (Ek1 + Ek2 + Ek5 ) (Ek3 + Ek4 + Ek5 )(42)Используя в (42) формулу Фейнмана−λn1A−λ1 ...AnPPQZZ 1Γ( i λi ) 1δ( i vi − 1) i viλi −1PP= Q...dv1 ...dvni λiΓ(λ)(Av)i00ij j j(43)где Ai – сомножители в знаменателе (42) и в нашем случае все λi = 1, получим:J = (α − 1)!Z 1Ydvi δXvi − 1 F ({v}) ,(44)0гдеZF ({v}) =Zdk1 ...dk5δ(k1 + k2 + k5 ) δ(k3 + k4 + k5 ),Qα(45)22Q = v1 Ek1 + v2 Ek2 + v3 Ek3 + v5 Ek5 + v6 (Ek1 + Ek2 + Ek5 ) + v7 (Ek3 + Ek4 + Ek5 ),(46)α = 6 – общее число фейнмановских параметров vi , равное числу сомножителейв знаменателе формулы (42) (при нумерации параметров мы пропустили v4ввиду отсутствия в знаменателе (42) множителя Ek4 , что облегчает дальнейшеесравнение со статическим аналогом диаграммы).
Записывая Q в видеQ = u1 Ek1 + u2 Ek2 + u3 Ek3 + u4 Ek4 + u5 Ek5 ,(47)u1 = v1 + v6 , u2 = v2 + v6 , u3 = v3 + v7 , u4 = v7 , u5 = v5 + v6 + v7 ,(48)гдеиз (45), (47) получаемZF ({v}) =dk1 ...dk5δ(k1 + k2 + k5 ) δ(k3 + k4 + k5 ).(u1 Ek1 + u2 Ek2 + u3 Ek3 + u4 Ek4 + u5 Ek5 )α(49)Выбирая в (49) в качестве независимых переменных некоторый набор {ki1 , ki2 , ki3 }и выполняя интегрирования с помощью δ-функций, приходим к выражению видаZZF ({v}) =dki1Zdki2dki31(C + Vij ,il kij kil )αC≡τ,5Xuj .(50)j=1Вычисляя интеграл от степени квадратичной формы, получаемF ({v}) = π dn/2 C dn/2−αΓ(α − dn/2)(det V )−d/2 ,Γ(α)(51)где n – число петель в диаграмме, в рассматриваемом случае n = 3. Подставляя(51) в (44), получаем окончательноJ =πdn/2τdn/2−αΓ(α − dn/2)Z 1Y0dvi δX5 Xvi − 1 (uj )dn/2−α (det V )−d/2 ,j=1(52)с uj из (48).Значение детерминанта det V в (51) не зависит от выбора переменныхинтегрирования {ki1 , ki2 , ki3 } и может быть определено прямо по виду диа-23граммы.
По построению det V представляет собой сумму произведений трехсомножителей ui . Для любого набора независимых переменных интегрирования{ki1 , ki2 , ki3 } диагональные элементы матрицы V равны ui1 , ui2 , ui3 , их произведение дает вклад в det V с коэффициентом единица. Недиагональные элементы матрицы V не содержат величин ui1 , ui2 , ui3 , следовательно, det V не содержит старших степеней ui . В качестве независимых переменных нельзя выбиратьнаборы импульсов, входящих в “законы сохранения” (аргументы δ-функций в(49)), в рассматриваемом случае это наборы {k1 , k2 , k5 }, {k3 , k4 , k5 }, и соответствующие произведения u1 u2 u5 и u3 u4 u5 будут отсутствовать в det V .
Такимобразом, для диаграммы (36) det V дается выражениемdet V = u1 u2 u3 + u1 u2 u4 + u1 u3 u4 + u1 u3 u5 + u1 u4 u5 + u2 u3 u4 + u2 u3 u5 + u2 u4 u5 ,(53)в котором величины ui надо выразить через vi согласно (48). Во временныхверсиях (40) и (41) выражение (53) сохраняется, изменятся соответствующимобразом лишь связи переменных ui и vi , которые легко находятся по виду диаграмм.Заметим, что выражения (47), (53) совпадают по виду с соответствующими выражениями для статической диаграммы (36) (без перечеркнутых линий)теории φ4 . Этот факт является общим при построении детерминанта в динамической теории и позволяет сформулировать общий рецепт построения детерминанта непосредственно по виду диаграммы (без использования импульсногопредставления), который проиллюстрируем на примере следующей двухпетлевой четыреххвостки314(54)2Мы начали с рассмотрения статической диаграммы теории φ4 .
Цифры на линиях обозначают номера фейнмановских параметров ui . Соответствующий этойдиаграмме детерминант представляет собой сумму произведений всевозможныхпар фейнмановских параметров, за исключением пары u1 , u2 , запрещенной “законом сохранения” в левой вершине:det V = u1 u3 + u1 u4 + u2 u3 + u2 u4 + u3 u4 .(55)24Рассмотрим теперь один из вариантов динамического обобщения диаграммы(54):3(56)256Здесь цифрами обозначены фейнмановские параметры vi , из которых v2 и v3связаны со знаменателями Ek в пропагаторах hψψi из (33), а v5 и v6 – со знаменателями соответствующих сечений.
Параметрам ui сопоставляются линейныекомбинации параметров vj по следуюшим правилам. Параметр ui , отвечающийв статической диаграмме (54) линии с некоторым импульсом ki есть сумма параметров vj линий hψψi динамической диаграммы с тем же импульсом, плюспараметры vj сечений, в которые входит энергия с данным импульсом:u1 = v5 ,u2 = v2 + v5 + v6 ,u3 = v3 + v6 ,u4 = v6 .(57)Подстановка (57) в (55) дает:det V = v2 v3 + 2v2 v6 + 2v3 v5 + 2v3 v6 + 4v5 v6 + 3v62 .(58)Сформулируем общий рецепт построения детерминанта n-петлевой динамической диаграммы [18]. Рассматривается статическая диаграмма той жетопологии, каждой линии сопоставляется фейнмановский параметр ui .
Детерминант, соответствующий такой диаграмме, представляет собой сумму произведений n различных фейнмановских параметров ui , из это суммы исключеныпроизведения параметров, импульсы линий которых входят в какой-либо законсохранения. Чтобы найти детерминант какой-либо временной версии соответствующей динамической диаграммы, каждой линии ψψ сопоставляется фейнмановский параметр vi с тем же номером, что и в статической диаграмме,и каждому сечению сопоставляется свой параметр vj . Определяется линейнаясвязь параметров ui и vj : для линий ψψ динамической диаграммы ui = vi +сумма фейнмановских параметров сечений, в которые входит импульс линииui , для линий ψψ 0 вклад vi отсутствует. Искомый детерминант динамическойдиаграммы получается подстановкой в статический детерминант выраженийдля ui через vj .252Расчет динамического индекса в “теории безрасходимостей”2.1Расчет аномальных размерностей без использованияконстант ренормировкиТеория ренормировок гарантирует, что РГ-функции (32) УФ-конечны: полюсы по ε в правых частях этих соотношений сокращаются.
Однако сингулярный характер констант ренормировки весьма затрудняет их определение численными методами. В настоящей главе будет построено альтернативное представление для РГ-функций, в котором нахождение этих функций сводится квычислению интегралов, не содержащих расходимостей. В качестве первого шага с этой целью выбирается подходящая схема ренормировки и используютсяуравнения ренормгруппы, с помощью которых РГ-функции выражаются черезренормированные 1-неприводимые функции. Дальнейшая задача заключаетсяв том, чтобы вычитание контрчленов при ренормировке представить как модификацию подынтегральных выражений диаграмм.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
