Диссертация (1149755), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Рассмотрим в качестве примера четыреххвостыйподграф, образованный линиями 3 и 4, во временной версии (39). Зависимостьподграфа от втекающей частоты ω определяется интеграломZ0∞1dt exp [−t(i a ω + λEk3 + λEk4 )] =aZ0∞Ek3Ek4dt exp −t(i ω + λ+λ) ,aaгде a – параметр растяжения, t = t1 − t2 (см. (36)) и учтена зависимость отвремени пропагаторов (33),(33). Правая часть равенства, полученная заменойt a → t, показывает, что растяжение втекающей в подграф частоты эквивалентно замене Ek → Ek /a во всех экспонециальных множителях пропагаторовлиний (33), (33), входящих в подграф, а также деления на a всего подынтегрального выражения. После такого преобразования подынтегрального выражениядля подграфа диаграмму можно вычислять в импульсно-временном представлении.
Вклад правого сечения во временной версии (39) заменится на1a1Ek3a+Ek4a=+ Ek51Ek3 + Ek4 + a Ek5.(82)Действуя аналогичным образом для временной версии (40), находим, что меняются оба сомножителя в знаменателе, это дает1a ( Ek3 +a1=EE+ Ek1 + Ek2 )( ak3 + ak4 + Ek5 )a=.(Ek3 + Ek4 + a Ek1 + a Ek2 ) (Ek3 + Ek4 + a Ek5 )Ek4a(83)33Учитывая, что рассматриваемый подграф является логарифмическим, действиеоперации (81) на (83) даетZ1da ∂a0a=(Ek3 + Ek4 + a Ek1 + a Ek2 ) (Ek3 + Ek4 + a Ek5 )1=.(Ek3 + Ek4 + Ek1 + Ek2 ) (Ek3 + Ek4 + Ek5 )(84)Это означает, что контрчлен к этой временной версии не нужен.Рассмотренные примеры легко обобщаются на многопетлевые подграфы.Учет растяжения в a раз втекающей в подграф частоты в терминах интегрирования по временным версиям заменяется на введение множителя a перед всемивходящими в сечения энергиями Ekj , не принадлежащими подграфу.
Если число сечений, проходящих через подграф, превышает число сечений уединенного подграфа, то на каждое дополнительное сечение вводится дополнительныймножитель a. Для логарифмических подграфов соответствующая временнаяверсия не требует в этом случае введения растяжения. Для квадратично расходящихся подграфов одно дополнительное сечение делает данную временнуюверсию логарифмической и понижает до ni = 0 значение параметра в операции (81). В случае двух и более дополнительных сечений контрчлен к даннойвременной версии не нужен.Для окончательного представления R0 -операции в форме (81) в импульсном представлении после интегрирования по временным версиям необходимотакже провести растяжения втекающих в расходящиеся подграфы импульсов.В фейнмановском представлении этому соответствует следующее правило расстановки множителей a в слагаемых статического детерминанта (53) [26].
Для0n0 -петлевого подграфа n-петлевой диаграммы, множитель aN −n ставится передслагаемыми детерминанта, содержащими N > n0 параметров ui , принадлежащих рассматриваемому подграфу. Для диаграммы (39) это дает:det Va = u1 u2 u3 + u1 u2 u4 + a u1 u3 u4 + u1 u3 u5 ++u1 u4 u5 + a u2 u3 u4 + u2 u3 u5 + u2 u4 u5 .(85)Окончательный вид детерминанта с растяжением для временной версии (39)получим, выразив в (85) параметры ui через vj с помощью соотношения (48), в34которое введено растяжение a в соответствие с изменением сечения (82):u1 = v1 + v6 , u2 = v2 + v6 , u3 = v3 + v7 , u4 = v7 , u5 = v5 + v6 + a v7 .(86)В итоге, в терминах параметров vi , получаем:det Va = v1 v2 v3 + 2v1 v2 v7 + v1 v3 v5 + 2v1 v3 v6 + 2av1 v3 v7 + 2v1 v5 v7 ++4v1 v6 v7 + 3av1 v72 + v2 v3 v5 + 2v2 v3 v6 + 2av2 v3 v7 + 2v2 v5 v7 ++4v2 v6 v7 + 3av2 v72 + 2v3 v5 v6 + 3v3 v62 + 4av3 v6 v7 + 4v5 v6 v7 +(87)+6v62 v7 + 6av6 v72 .2.5Вычисление диаграммРасчет по теории возмущений ренормгрупповых функций на основе соотношений (71) мы будем приводить в терминах зарядаSdg,u=(2π)d2π d/2Sd ≡,Γ(d/2)(88)где Sd – площадь d-мерной сферы единичного радиуса.
Тогда на каждую петлюRgdk =диаграммы в импульсном представлении будет приходиться операция (2π)dR dku Sd . В сферической системе координат это может интерпретироваться как замена интегрирования по углам на усреднение по углам.Полученные в этой главе результаты позволяют производить вычислениякак в импульсном, так и в фейнмановском представлениях.
Как показываетопыт, часть из этих диаграмм, содержащих однопетлевые вершинные подграфы (диаграммы 1 – 3 в Таблице 1, приведенной в П. 2.6), рациональнее рассчитывать в импульсном представлении, а остальные – в представлении Фейнмана с использованием техники Sector Decomposition. Детали этой техникиобсуждаются в следующей главе, а здесь мы приведем основные соотношения,позволяющие значительное упростить вычисление в импульсном представлениидиаграмм с однопетлевыми вершинными подграфами. Подробное вычислениеэтих диаграмм приведено в Приложении.
Если в диаграмме имеются однопетлевые вершинные подграфы, то выгодно выбрать симметричную протечку черезних суммарного внешнего импульса k:35(89)Здесь q – импульс интегрирования, циркулирующий в подграфе (его направление показано стрелками). При таком выборе в сумме “энергий” Ek/2+q +Ek/2−q + ... в любом временном сечении, проходящем через подграф, сокращаются скалярные произведения (kq) = kq cos θ.
Зависимость от угла θ входит только через “статические” знаменатели 1/E пропагаторов hψψi (33). Вd-мерном пространстве усреднение по углу θ имеет видRπ0f (θ) =dθ sind−2 θ · f (θ)Rπ=d−2dθsinθ0Rπ0dθ sin2−ε θ · f (θ)Rπ.2−εdθsinθ0(90)Нам понадобятся 2 члена ε-разложения этой величины:Zf (θ) =πˆ sin θ · f (θ) [1 + ε(ln 2 − 1)] − εdθ2πZ0ˆ · sin2 θ · ln sin θ · f (θ) + O(ε2 ) ,dθ0(91)где введено обозначениеZ0πˆ ≡ 2dθ...πZπdθ... .(92)0Используя справочные формулы:2π2πZ0πZ0π2sin2 (θ)√dθ=,A ± cos(θ) A + A2 − 1sin2 (θ)21√dθ= ·,(A + cos(θ))(A − cos(θ)) A A + A2 − 1при ε = 0 для интегралов по углу для левого и правого подграфа (89) находимсоответственно:Z πsin2 (θ)2ˆpdθ 2=,q + k 2 /4 + τ ± kq cos(θ) (q 2 + k 2 /4 + τ ) + ((q 2 + k 2 /4 + τ ))2 − k 2 q 20(93)36πsin2 (θ)=(q 2 + k 2 /4 + τ + kq cos(θ))(q 2 + k 2 /4 + τ − kq cos(θ))021p·.= 22(q + k /4 + τ ) (q 2 + k 2 /4 + τ ) + ((q 2 + k 2 /4 + τ ))2 − k 2 q 2Zˆdθ(94)Полученный в (93), (94) относительно простой вид результата интегрированияпо углу в расходящихся подграфах (89) позволяет упростить результат вычитания из них контрчленов без использования дополнительного интегрированияпо параметру растяжения a (см.
Приложение).2.6Динамический критический индекс zУравнения ренормгруппы позволяют обосновать динамический скейлинги получить выражения для критических показателей. Сделаем это на примереуравнения для парного коррелятора с целью обосновать соотношение (6).Уравнение для парного ренормированного коррелятора GR имеет вид(Dµ + β∂g − γτ Dτ − γλ Dλ )GR = −2γψ GR .(95)Оно выводится аналогично уравнению РГ (31) на 1-неприводимые функции сучетом того, что условия ренормировки (27) заменяются на G(0) (e0 ) = Zψ2 GR (e).Рассматривая функцию GR в k, t представлении, из соображений размерностизапишемGR (µ, g, τ, λ, k, t) = k −2 F (k/µ, g, τ /µ2 , tλµ2 ) ,(96)где F – безразмерная функция от безразмерных аргументов. При действии наэту функцию РГ оператора из левой части (95) можно исключить производныеDµ и Dλ с помощью равенствDµ = −Dk − 2Dτ + 2Dt ,Dλ = Dt ,в результате получим[−Dk + β∂g − (2 + γτ )Dτ + (2 − γλ )Dt ] F = −2γψ F .(97)Как известно, асимптотику решения этого уравнения в частных производных винфракрасной области можно найти, заменив все РГ-функции γi на их значения37γi∗ ≡ γ(g∗ ) в точке g = g∗ – корне уравнения β(g∗ ) = 0:(98)[−Dk − (2 + γτ∗ )Dτ + (2 − γλ∗ )Dt ] F = −2γψ∗ F .Полученное уравнение критического скейлинга (98) имеет вид уравнения Эйлера для однородных функций, его общее решение можно записать в видеF =k2γψ∗f (k τ−12+γτ∗, tτ∗)(2−γλ2+γτ∗(99)).Соотношения (96), (99) эквивалентны соотношению (6) динамического скейлинга с критическими индексамиη = 2γψ∗ ,ν = (2 + γτ∗ )−1 ,z = 2 − γλ∗ .(100)Статические индексы ν и η вычислены в настоящий момент с шестипетлевойточностью, нашей задачей будет вычислить динамический индекс z в четырехпетлевом приближении.
Определяющую его РГ-функцию будем находить,согласно (26), из соотношения γλ = 2γψ − γ1 , что с учетом (100) даетγλ∗ = η − γ1∗ .(101)В свою очередь РГ-функцию γ1 найдем из соотношения (71):γ1∗ =2f1∗.1 + f3∗(102)Входящая сюда величина f3∗ может быть выражена через индекс Фишера. Действительно, согласно (22), (24) имеем Z3 = Zψ2 , откуда γ3∗ = 2γψ∗ = η. Используядля определения γ3∗ соотношениe (71), получаем2f3∗η=.1 + f3∗(103)Выражая отсюда f3∗ через η, с учетом (101), (102), получаем окончательноγλ∗ = η − (2 − η)f1∗ .(104)В рассматриваемой схеме ренормировки значение заряда в неподвижнойточке u∗ рассчитано численно для n-компонентного поля ψ с пятипетлевой точ-38ностью в работе [11]. Необходимые для наших целей 3 члена ε-разложения величины u∗ даются аналитическим выражениемε2ε3 h 41 24 22ε2+27k−2k+36k+kk+k3 + 16k42 −u∗ =34311353k1 81k127k1 4881i5015 4751811625 32k − 8ζ(3)k1 k4 + k1 k5 −k1 k6 −+ ζ(3) k1 k4 ,− k3 k4 −91728 1321696 2(105)где множителиn+8k1 =,9n2 + 6n + 20n+25n + 22k2 =, k3 =, k4 =,273273n2 + 22n + 56n2 + 20n + 60k5 =, k6 =8181(106)соответствуют переходу от однокомпонентной к n-компонентной модели, всеki = 1 при n = 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
