Диссертация (1149755), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Это разложение имеет видΓψ0 ψ0 |ω=0,p=0 = Z1 (1+u2 Zg2 (µ2 /τ )ε Zτ−ε A(2) +u3 Zg3 (µ2 /τ )3ε/2 Zτ−3ε/2 A(3) +...) (150)Константы ренормировки Zg и Zτ в (150) известны из статики, искомая константа Z1 в рассматриваемом 4-петлевом приближении имеет видz21 2 z32 z31 3 z43 z42 z41 4u ++u ++ 2 +u + O(u5 ) ,Z1 = 1 +23εεεεεε(151)коэффициенты znk находятся из условия отсутствия полюсов по ε в функцииΓψ0 ψ0 |ω=0,p=0 .
Задача состоит в вычислении коэффициентов A(2) , A(3) , A(4) в (150)11(в отличие от предыдущей главы мы не будем использовать при перенормировкеR-операцию).В результате редукции диаграмм вплоть до четырехпетлевого приближения был получен следующий набор диаграмм (рис. 1-2):1111(a)22(b)Рис.
1: Диаграммы Γψ0 ψ0 после редукции: (a) 2 петли и (b) 3 петли.A1A1A2A2A3A31253A1A2A3B1B2B3C1C2C3C4D1D2D3D4D5D6D7Рис. 2: Четырехпетлевые диаграммы Γψ0 ψ0 после редукции, сгруппированные потопологии.1Все диаграммы (1-2) вычислялись в представлении Фейнмана методомSector Decomposition. Необходимое число слагаемых их ε-разложения приведены в Таблице (2), в которой указаны также соответствующие симметрийныемножители S и дополнительные весовые множители f (n), позволяющие перейти от результатов для однокомпонентного поля с n = 1 к результатам дляn-компонетной O(n)-симметричной модели.
Коэффициенты A(m) в разложении(150) определяются по данным таблицы соотношениемA(m)=Xj(m) (m)Sj fj(m)(n)Dj (ε)(152)54№S (m)результат (D(m) )2 петли,11/6f (m) (n)m=20.2157615526(10)ε−1 − 0.3853514975(25) + 0.5692846610(35)ε3 петли,k3m=3121/41/20.143841039(8)ε−2 − 0.330633628(30)ε−1 + 0.61007974(9)0.071920514(4)ε−2 − 0.196352188(16)ε−1 + 0.41485450(4)A1A2A31/81/41/20.10788085(9)ε−3 − 0.3032746(4)ε−2 + 0.6479956(16)ε−10.05394036(5)ε−3 − 0.17491376(20)ε−2 + 0.4258852(8)ε−10.026970186(22)ε−3 − 0.09909542(10)ε−2 + 0.2689090(4)ε−1k2 k3B1B2B31/121/121/4−6(5)10−8 ε−3 − 0.1004829(4)ε−2 + 0.1431086(18)ε−10.023276508(28)ε−2 − 0.08913734(14)ε−1−0.01363165(4)ε−2 + 0.03119582(18)ε−1k32C1C2C3C41/41/21/2105394039(4)ε−3 − 0.12466740(20)ε−2 + 0.2359704(10)ε−10.04114906(8)ε−10.011638248(13)ε−2 − 0.05352246(7)ε−10.013485088(11)ε−3 − 0.04862411(5)ε−2 + 0.12779878(22)ε−1k3 k4D1D2D3D4D5D6D71/41/21/41/21/21/21/40.053940377(5)ε−3 − 0.124667192(32)ε−2 + 0.28863410(18)ε−10.05394044(5)ε−3 − 0.17491404(20)ε−2 + 0.4107878(8)ε−10.03941088(8)ε−10.013485098(11)ε−3 − 0.04862416(5)ε−2 + 0.14655896(22)ε−10.0134850952(14)ε−3 − 0.048624182(8)ε−2 + 0.13962442(4)ε−10.007758853(10)ε−2 − 0.03059186(5)ε−10.0077588424(16)ε−2 − 0.027130478(10)ε−1k3 k44 петли,k1 k3m=4Таблица 2где коэффициенты ki определены в (106).Константа ренормировки Zg в (150) известна из статики, с необходимойдля нас точностью:Zg8+n= 1+u+ u26ε(8 + n)2 14 + 3n−36ε224ε+ O(u3 ) .(153)По поводу величины Zτ в (150) необходимо сделать следующее замечание.
Использование в (150) статических констант ренормировки Zg и Zτ подразумевает,что при вычислении функции Γψ0 ψ0 учитываются все диаграммы, в том числесодержащие подграфы-головастики. Известно, что такие диаграммы можно неучитывать (что мы и делали), если не учитывать головастики также и в контрчленах. За сокращение головастиков в (150) ответственна константа ренормировки Zτ , следовательно, если не учитывать головастики при вычислениивеличин Γψ0 ψ0 , надо удалить их вклад из Zτ . Получающаяся константа ренормировки Z˜τ с необходимой точностью дается выражением 1проблема головастиков отсутствует, если расчеты констант ренормировки проводятся в “безмассовой”теории с τ = 0, в которой головастики доопределяются нулями. В такой теории вместо (150) вычисляетсявеличина Γψ0 ψ0 |ω=0,τ =0 , для которой множитель (µ2 /(τ Zτ ))ε/2 в правой части (150) заменяется на (µ/p)ε .Однако при таком подходе несколько усложняются подынтегральные выражения в фейнмановском представлении155Z˜τ = 1 − u22 + n 5(2 + n)+12ε2144ε+ O(u3 ) .(154)Подставляя в (150) выражения (153), (154), (151), и вычисленные согласно(152) значения величин Γi , находим коэффициенты znm из требования сокращения полюсных вкладов по ε.
Согласно теории ренормировок, коэффициентыznm при старших полюсах по ε (m > 1) выражаются определенным образом через коэффициенты zn1 при первом полюсе, что гарантирует сокращение в (150)полюсных слагаемых со степенями log(µ2 /τ ). Это служит проверкой корректности вычислений.Константе ренормировки Z1 сопоставляется РГ-функцияγ1 = β(u) ∂u ln Z1 .(155)Выражение для β-функции в настоящее время известно с шестипетлевой точностью, ее явный вид нам не понадобится, так как упоминавшаяся связь междукоэффициентами при старших полюсах с коэффициентом при первом полюсепозволяет представить γ1 в более простом видеγ1 = −u∂u (z21 u2 + z31 u3 + z41 u4 + ...).(156)Динамический критический индекс z выражается через значение γ1∗ ≡ γ1 (u∗ )функции γ1 (u) в неподвижной точке u∗ и индекс Фишера η соотношениемz = 2 + γ1∗ − η(157)Подставляя в (156) найденные значения zn1 и нормируя ответ на величину двухпетлевого вклада, получим:γ1∗u2∗ 1 + b1 k1 u∗ + (b2 k2 + b3 k3 + b4 k4 )u2∗ + O(u5∗ ) ,= k3 h24(158)56гдеh = 6 ln(4/3) ' 1.726092433(159)b1 = −0.4939306(5) b2 = −0.251043(19)(160)b3 = −0.169990(9) b4 = 1.806593(30)(161)Величина u∗ , определяемая условием β(u∗ ) = 0, с необходимой для нас точностью дается выражениемu∗ =18(3n + 14) 236ε+ε +−33n3 + 110n2 +3n+8(n + 8)4(n + 8)5(162)+1760n + 4544 − 96(n + 8)(5n + 22)ζ(3)) ε3 + O(ε4 )Как отмечалось в главе 2, определяемая через динамический индекс z равенствомz = 2 + Rη(163)величина R не зависит в первых двух порядках теории возмущений от числакомпонент поля n.
В этом можно убедиться, записав индекс Фишера η в виде,аналогичном (156). С необходимой точностьюu2∗ η = k31 + a1 k1 u∗ + (a2 k2 + a3 k3 + a4 k4 )u2∗ + O(u5∗ ) ,24где3155a1 = − ,a2 = − ,a3 = − ,86432Из (163), (157) с учетом (156), (164), (162) находимa4 =ε2 (c3 + c4 n)R = (6 ln(4/3) − 1) 1 + c1 ε + c2 ε +(n + 8)2245.32,(164)(165)(166)57где коэффициенты ci определяются соотношениями2 h(b1 − a1 )3h − 1 4h1a1 (a1 − b1 ) + (b2 − a2 )(167)c2 =3(h − 1) 34hc3 =(21(b1 − a1 ) − 44(b2 − a2 ) + 18(b3 − a3 ) + 22(b4 − a4 ))3(h − 1)2hc4 =(9(b1 − a1 ) − 20(b2 − a2 ) + 18(b3 − a3 ) + 10(b4 − a4 ))3(h − 1)c1 =В работе [15], в которой также, как в этой главе, использовалась схема минимальных вычитаний, для b1 получено выражение21π 2 /8 − F (1/4) 3 13− +ln 4 −ln 3 ' −0.493930232 ,b1 =ln(4/3)488ZF (x) =x1ln tdt ,t−1(168)(169)чему, согласно (167), (168) и (165), соответствуетc1 ' −0.188483416 .(170)Полученные в настоящей главе в схеме MS значения коэффициентов ci в(166) равныc1 = −0.1884840(7),c2 = −0.09995(6),c3 = 21.5412(34),c4 = 4.7847(8).(171)Коэффициенты ci впервые были рассчитаны в работе [16], где для них были получены значения c1 = −0.1884(9), c2 = −0.100(4), c3 = 21.5(4), c4 = 4.78(6) .Приведем также полученное ε-разложение непосредственно для динамического индекса z при n = 1:z = 2 + 0.0134461561ε2 + 0.011036273(10)ε3 − 0.0055791(5)ε4(172)58Соберем в таблице (3) все результаты, полученые разными способами:c1ТБР [19]MS [20]Работа [16]Точные значения [13]c2-0.188483417(21) -0.100096(11)-0.1884840(7)-0.09995(6)-0.1884(9)-0.100(4)-0.188483416-0.099952926Таблица 3c3c421.56(6)4.788(13)21.5412(34) 4.7847(8)21.5(4)4.78(6)594Пересуммирование ε-разложения индекса z методом конформ-БореляАсимптотический характер рядов, получаемых в рамках ε-разложения,требует для получения надежных теоретических предсказаний проведения борелевского пересуммирования.
Существует несколько вариантов такого суммирования, в настоящей работе мы используем модифицированный метод конформБореля [31]. Напомним его содержание. Пусть имеется функция A(g), для которой известны первые N коэффициентов An в разложенииA(g) =∞X(173)An g n ,n=0и асимптотика высоких порядков (АВП) коэффициентов An :n→∞(174)An −→ c (−a)n n! nb0 .Тогда конформ-борелевское представление функции A(g) имеет видZA(g) =∞dt exp−t tb0gtw(gt)νB(w(gt)) ,(175)где√1 + ax − 1w(x) = √,1 + ax + 1B(x) =∞XBn wn .(176)(177)n=0АВП коэффициентов разложения функции (175) в ряд по g имеет вид (174) cзаданным значением параметра a, заданное значение параметра b0 достигаетсявыборомb = b0 + 3/2 .(178)60Приближенное выражение A(N ) (g) для функции (175)A(N )Z(g) =∞−t bdt exp t0gtw(gt)ν XNBn wn(179)n=0получается путем учета в (177) N первых членов суммы, коэффициенты Bn вкоторой выбираются из требования совпадения первых N членов разложенияфункции (175) с известными коэффициентами An в (173).
Дополнительный параметр ν в (175), впервые введенный в работе [31], контролирует асимптотику“сильной связи” 2 :g→∞(180)A(g) ∼ g ν .В обсуждаемой задаче параметр ν не известен и мы будем использовать егодля улучшения сходимости процедуры суммирования при увеличении числаучитываемых слагаемых в (173).Следуя работе [32], проиллюстрируем эффективность такого подхода напримере модельной функцииZA(g) =∞dx exp−x2−gx4.(181)0Для этой функции известны все коэффициенты разложения (173), а АВП имеетвид (174) с a = 4 , b0 = −1.
Параметр ν имеет значение ν = −1/4. На рис. 3показано сравнение точного значения A(1) = 0.6842134279 функции (181) приg = 1 c результатом расчета по формуле (175) c учетом различного числа слагаемых (горизонтальная ось) при различных значениях параметра ν.следуя работе [31], мы используем обозначение ν для этого параметра, который в данном контексте невстречается одновременно с критическим индексом ν261Рис. 3: Значение пересуммированного ряда A(N ) (g) функции (181) при g = 1,для различных N и ν.Из рисунка видно, что сходимость процедуры суммирования имеет местов некотором диапазоне значений параметра ν, и скорость сходимости заметноуменьшается по мере удаления этого параметра от “истинного” значения ν =−1/4.Мы применили процедуру суммирования (175)–(179) к полученному нами-разложению (172) динамического критического индекса z c n = 1 [21].
Параметры a и b0 для η(ε) выбирались, согласно [33], равными a = 1/3, b0 = 3/2.В работе [34] показано, что такие же значения имеют эти параметры для величины z(ε). На рис. 4-5 показаны полученные в результате суммирования значения динамического критического индекса z для трехмерного пространстваd = 3 (ε = 1) и двумерного пространства d = 2 (ε = 2) при различном числеучтенных членов разложения z(ε) и значений параметра ν.Рис. 4: Пересуммированный критический индекс z при ε = 1 и различныхNиνРис. 5: Пересуммированный критический индекс z при ε = 2 и различныхNиν62Из сравнения рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
