Диссертация (1149755), страница 10
Текст из файла (страница 10)
3 и рис.4-5 видно, что сходимость процедуры борелевского суммирования для z(ε) вполне аналогична рассмотренной для модельной функции (181). Наибольшая скорость сходимости достигается при значении ν = 2.6, что дает следующие оценки для динамического индекса z длятрехмерного и двумерного случаев:2 петли3 петли4 петлиε = 1 2.0210142 2.0212182.0217974ε = 2 2.1050275 2.10642878 2.1118359Таблица 4Из рисунков 4-5 следует, что учет параметра сильной связи ν необходимдля корректного определения динамического критического индекса z методомконформ-борелевского суммирования, поскольку при значении ν = 0, котороеиспользовалось в работе [17], сходимость очень медленная, и требуется учетбольшого числа членов разложения z().63ЗаключениеОсновные результаты, полученные в диссертации, можно сформулировать вследующем виде:1) В работе проведено обобщение результатов, полученных в работах [35]и [23] для моделей критической статики, на динамические модели.
В работе [35]соотношение вида (70) в модели φ3 было угадано и проверено в четырехпетлевомприближении, в статье [23] это соотношение было доказано в произвольномпорядке теории возмущений. Приведенное в настоящей работе доказательствосоотношения (70) заметно короче, чем в [23]. Это связано с тем, что в немиспользуется информация о возможности обобщения процедуры ренормировкина случай расширенной теории с учетом составных операторов [36], а также ееформулировки в терминах R-операции [22].2) С помощью техники вычисления ренормгрупповых функций путемпредставления диаграмм Фейнмана в виде несингулярных интегралов был выполнен четырехпетлевой расчет модели А критической динамики. Вычисленияпроводились как в импульсном представлении, так и с помощью техники SectorDecomposition, обобщенной на задачи критической динамики.
C этой цельюбыл получен рецепт записи диаграмм (с учетом контрчленов) в фейнмановском представлении непосредственно по виду диаграмм. Использованная техника позволила впервые произвести четырехпетлевой расчет в модели критической динамики с точностью порядка 0.3%.3) Альтернативный четырехпетлевой численный расчет динамическогоиндекса был выполнен с помощью вычисления констант ренормировок в схемеMS методом Sector Decomposition. Предложенный в настоящей работе методредукции диаграмм модели А критической динамики позволил значительно сократить число диаграмм, необходимых для вычисления. В сочетании с использованием техники Sector Decomposition, примененной при численном интегрировании, это позволило на 2 порядка увеличить точность определения динамического индекса в четвертом порядке ε-разложения по сравнению с полученнымранее результатом [16].4) Было показано, что учет параметра сильной связи ν необходим для корректного определения динамического критического индекса z методом конформборелевского суммирования, поскольку при значении ν = 0, которое использовалось в работе [17], сходимость очень медленная, и требуется учет большого64числа членов разложения z().
Разработанная техника редукции диаграмм позволяет рассчитывать на выполнение 5-петлевого расчета динамического индекса – число диаграмм сокращается с 1025 до 201, а использование техники SectorDecomposition при вычислении диаграмм обеспечит достаточную точность вычислений.5) Выполненный двумя способами расчет в четырехпетлевом приближении динамического критического индекса показал, что более точные результаты достигнуты в схеме MS с использованием техники Sector Decomposition.
Этосвязано с тем, что метод “теории без расходимостей” дает хорошие результатырасчета в импульсном представлении для диаграмм с простой структурой подрасходимостей, для диаграмм с вложенными подграфами точность расчетов вимпульсном представлении заметно падает, и возникает потребность в использовании метода Sector Decomposition, в котором из-за наличия дополнительныхпараметров растяжения более эффективное выделение секторов требует доработки.65ПриложениеВ данном Приложении будет произведен расчет в импульсном представлениитрехпетлевых и некоторых четырехпетлевых диаграмм.Начнем с четырехпетлевых диаграмм. Здесь будет рассмотрена диаграмма А1,содержащая 4 временных версии (симметрийный коэффициент 1) и диаграммаА2с 6 временными версиями (симметрийный коэффициент 1/2).1.
Диаграмма A1, временная версия 0132.В общем случае подынтегральные выражения четырехпетлевых диаграмм вимпульсном представлении зависят от 10 переменных – четырех модулей импульсов и 6 углов. Для рассматриваемой диаграммы это выражение существенно упрощается по двум причинам – при указанной протечке импульсов в немприсутствуют лишь скалярные произведения kq = kq cosθ, kq1 = kq1 cosθ1 иkq2 = kq2 cosθ2 , а благодаря симметричной протечке импульса k через подграфы в сумме “энергий” в каждом из сечений для временных версий (например,Ek +Ek/2+q +Ek/2−q = k2 +τ +(k/2+q)2 +(k/2−q)2 +τ ) скалярные произведениясокращаются.
Зависимость от углов остается, таким образом, лишь в “статических” знаменателях пропагаторов (33). Учитывая, что с необходимой точностью четырехпетлевые диаграммы в рассматриваемой схеме без расходимостеймогут вычисляться при ε = 0 (d = 4), угловые интегралы легко вычисляются спомощью соотношений (93), (94). Таким образом, задача сводится к численному66интегрированию четырехкратных интегралов по модулям импульсов, которое сбольшой точностью выполняется стандартными программами интегрирования.Интересующий нас вклад диаграмм Ai в величину f1 определяется, согласно (69), величиной I (i) = R0 ∂ˆτ Ai, где ∂ˆτ ...
= −∂τ ... |τ =1 . Вычисления будут производиться в следующем порядке: для каждой временной версии будетвыписано подынтегральное выражение в сферической системе координат, произведено интегрирование по угловым переменным, затем производится последовательное дифференцирование ∂ˆτ подынтегральных множителей и, в зависимости от структуры расходимостей получившегося выражения, осуществляетсяR0 -операция, результат которой приводится к удобной для численного интегрирования форме. Продолжим рассмотрение временной версии 0132.1) Интеграл в сферической системе координат. Всюду в дальнейшем подразумевается, что интегралы по модулям импульсов берутся в пределах 0...∞,RRˆ ≡ 2 π dθ... .и используется обозначение dθ...π 0Z1((k/2 + q2 )2 + τ )((k/2 + q)2 + τ )((k/2 + q1 )2 + τ )1((k/2 − q1 )2 + τ )(k2 + τ )((k/2 + q2 )2 + τ + (k/2 − q2 )2 + τ + k2 + τ )1((k/2 + q)2 + τ + (k/2 − q)2 + τ + k2 + τ )1=((k/2 + q1 )2 + τ + (k/2 − q1 )2 + τ + k2 + τ )Z1ˆ dθˆ 1 dθˆ 2 (k 3 q 3 q 3 q 3 sin2 θ sin2 θ1 sin2 θ2 )= dkdqdq1 dq2 dθ1 2(k 2 /4 + q22 + kq2 cos θ2 + τ )1(k 2 /4 + q 2 + kq cos θ + τ )(k 2 /4 + q12 + kq1 cosθ1 + τ )(k 2 /4 + q12 − kq1 cos θ1 + τ )1.2222(k + τ )(2q2 + 3k /2 + 3τ )(2q + 3k 2 /2 + 3τ )(2q12 + 3k 2 /2 + 3τ )A101321= 4S4dkdqdq1 dq22) Результат интегрирования по угловым переменным с использованием67соотношений (93), (94):ZA10132 = 8dkdqdq1 dq2 (k 3 q 3 q13 q23 )1p(q22 + k 2 /4 + τ + (q22 + k 2 /4 + τ )2 − k 2 q22 )1(q 2 + k 2 /4 + τ +p(q 2 + k 2 /4 + τ )2 − k 2 q 2 )1p(q12 + k 2 /4 + τ + (q12 + k 2 /4 + τ )2 − k 2 q12 )(q12 + k 2 /4 + τ )(k 2 + τ )11.(2q22 + 3k 2 /2 + 3τ ) (2q 2 + 3k 2 /2 + 3τ )(2q12 + 3k 2 /2 + 3τ )3) Дифференцирование ∂ˆτ и R0 -операция.Последовательно дифференцируя в этой формуле сомножители, получимсумму вкладов, в каждом из которых необходимо сделать вычитания на подграфы в соответствии с правилом применения R0 -операции, сформулированномв Главе 2.
Вычитания пишем в явном виде без использования дополнительныхпараметров a. Параметр τ в окончательном выражении входит в виде простого множителя 1/τ (это видно после соответствующего растяжения переменных), и его писать не будем, положив τ = 1 и используя символическую запись∂ˆτ ... = ∂τ ... |τ =1 . Рассмотрим вклады от последовательного дифференцирования сомножителей. Производная от первого сомножителя дает вклад (в рамкахрасчета каждой временной версии мы используем далее одинаковые обозначения, не указывая явно принадлежности вкладов к данной версии)ZI1 = 8dkdqdq1 dq2 (k 3 q 3 q13 q23 ) ∂ˆτ·1(q22 + k 2 /4 + τ +1p(q22 + k 2 /4 + τ )2 − k 2 q22 )!·p·(q12 + k 2 /4 + 1 + (q12 + k 2 /4 + 1)2 − k 2 q12 )(q12 + k 2 /4 + 1)(k 2 + 1)11·· Q1 (q, k) ,(2q22 + 3k 2 /2 + 3) (2q12 + 3k 2 /2 + 3)1Q1 (q, k) ≡ −p222222222q + k /4 + 1 + (q + k /4 + 1) − k q (2q + 3k /2 + 3)−1(2q 2 + 2)2Мы выделили отдельно множитель, в котором сделано вычитание, соответствующее описанной в Главе 2 R0 -операции для диаграмм, проинтегрированных по68времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
