Диссертация (1149720), страница 9
Текст из файла (страница 9)
(4.78)0Определим Ξ := R, а также оператор B ∈ L(R, Y−1 ), который задается спомощью соотношения(Bξ, v(x))−1,1 = ρξv(1), ∀ξ ∈ R, ∀v ∈ W 1,2 (0, 1).(4.79)Здесь ρ - параметр из (4.70). Как видимB = [ρδ(x − 1)],(4.80)является δ-распределением Дирака с носителем в нуле ([50]).Пусть заданы Z := R и оператор C ∈ L(Y0 , Z), который задаетсясоотношениемZCu =1u(x)dx, ∀u ∈ L2 (0, 1).(4.81)0Тогда существует > 0 такое, что2(Au, u)−1,1 ≤ −ku0 (x)k0 − bkuk2 ≤2− kuk21 − bku0 (x)k0 , ∀u ∈ W 1,2 (0, 1). (4.82)72Отсюда следует, что выполнены условия (A4.3) и (A4.4).Проверим частотное условие для задачи (4.68)-(4.71).
Передаточнаяфункция определяется черезe p), p ∈ Cχ(p) = C θ(·,(4.83)e p) - преобразование Лапласа функции θ поПри этом функция θ(·,Re p) := +∞ e−pt θ(x, t)dt, которое является решением начальновремени θ(x,0краевой задачи00(b + p)θe = θe ,(4.84)00θe |x=0 = 0, θe |x=1 = 1,(4.85)Отсюда получаем, что√coshxp+be p) = √√θ(x,, p ∈ C\{−b}.p + b sinh p + b(4.86)Следовательно,Zχ(p) = ρ1e p)dx =θ(x,0ρp+b(4.87)Проверим частотное условие (4.50): Существуют числа κ 0 ≥ 0, δ > 0такие, что для любого ω ∈ R выполняется соотношениеκ0Re{χ(iω) + 1 − χ(iω)} ≥ δ|χ(iω)|2 .iωЗдесь Re{χ(iω)} =ρbb2 +ω 2, |χ(iω)|2 =ρ2b2 +ω 2, Im{χ(iω)} =(4.88)ρωb2 +ω 2 .Тогда (4.88) выполняется, если ∃κ 0 ≥ 0, ∃δ > 0 ∀ω ∈ R:ρbκ0ρδρ2+1+ 2≥ 2.b2 + ω 2b + ω2b + ω2(4.89)Это равносильно тому, чтоb b2 κ 0+ +> 0.ρ ρ2ρ(4.90)734.5.Эволюционные вариационные неравенства с нелинейностями типа гистерезиса и операторами выходаВ отличие от предыдущего раздела в данном параграфе рассматри-вается дополнительно оператор выхода (4.94).Ставится задача об устойчивости на конечном промежутке времени относительно выхода, аналогичнотому, как это было сделано для конечномерной системы на бесконечномпромежутке времени ([11]).Рассмотрим эволюционное вариационное неравенство с нелинейнымоператором гистерезиса и оператором выхода в виде(ẏ − Ay − Bξ, η − y)−1,1 + ψcont (η) − ψcont (y) ≥ 0 ,∀ η ∈ Y1 ,(4.91)z(t) = Cy(t) , ξ(t) ∈ φ(z, ξ0 )(t) , y(0) = y0 ∈ Y0 , ξ(0) = ξ0 ∈ φ(t, z(t)) .(4.92)r(t) = Dy(t) + Eξ(t).(4.93)Предположим, что пространства Ξ, Z, Y−1 , Y0 , Y1 , R - такие же, как в предыдущем параграфе.
В частности, имеем A ∈ L(Y0 , Y−1 ), B ∈ L(Ξ, Y−1 ),C ∈ L(Y−1 , Z), D ∈ L(Y1 , R) и E ∈ L(Ξ, R). Величина r(t) называетсявыходом системы.Пусть LT - пространство функций y таких, что y ∈ L2 (0, T ; Y1 ) иẏ ∈ L2 (0, T ; Y−1 ), где ẏ понимается в смысле распределений со значениямив гильбертовом пространстве. Пространство LT является гильбертовым исоответствующая норма, порожденная соответствующим скалярным произведением, имеет вид1||y||LT = (||y(·)||22,1 + ||ẏ(·)||22,1 ) 2 .(4.94)74Определение 4.4.
Функция y(·)∈LT называется решением си-стемы (4.91), (4.92) на промежутке (0, T ) с начальными условиямиy(0) = y0 , ξ(0) = ξ0 , если существует функция ξ(·) ∈ L2loc (0, ∞; Ξ) такая, что Bξ(·) ∈ LT и для почти всех t ∈ (0, T ) неравенство (4.91) иостальные соотношения из (4.92) выполнены. Пара {y(·), ξ(·)} называется процессом. Функция ξ(·) называется селектором решения y(·).Введём следующие условия существования решения системы (4.91),(4.92):(A4.5) Неравенство (4.91), (4.92) имеет для произвольных y0 ∈ Y0 иξ0 ∈ E(z(0)) по крайней мере одно решение и соответствующий процесс {y(·), ξ(·)} на некотором интервале (0, T0 ), T0 > 0. Достаточныеусловия существования такого решения ([12]) задаются следующимобразом:a) Нелинейность φ : R+ × Z → Ξ является такой функцией, чтоA(t) := −A − Bφ(t, C·) : Y1 → Y−1 , t ∈ R+ - семейство монотонныхсеминепрерывных операторов таких, что неравенство||A(t)y||−1 ≤ c1 ||y||1 + c2 .(4.95)выполнено, где c1 > 0 и c2 ∈ R - константы, зависящие от t ∈ [0, T ].b) ψcont - собственная (т.е.
прообраз любого компактного множестваиз R даёт компактное множество в Y1 ), выпуклая, полунепрерывнаяфункция на D(ψcont ) ⊂ Y1 .При этих предположениях, как показано в ([12]), существует решениев смысле определения 4.4.75Пусть F(y, ξ) - эрмитова форма на Y1 × Ξ, определяемая соотношениемF(y, ξ) = (F1 y, y)−1,1 + 2 Re (F2 y, ξ)Ξ + (F3 ξ, ξ)Ξ ,(4.96)F1 = F1∗ ∈ L(Y1 , Y−1 ), F2 ∈ L(Y0 , Ξ), F3 = F3∗ ∈ L(Ξ, Ξ),(4.97)гдеОпределим частотное условие−1α := sup (||y||21 + ||ξ||2Ξ ) F (y, ξ),(4.98)w,y,ξгде супремум берётся по всем тройкам (w, y, ξ) ∈ R+ × Y1 × Ξ таким, чтоiwy = Ay + Bξ.Введем следующие дополнительные условия, которые необходимыдля получения устойчивости на конечном промежутке системы (4.91),(4.92):НапомнимформулировкучастотнойтеоремыЛихтарникова-Якубовича (при этом все пространства и функции в формулировкесчитаем комплексными):Теорема4.4.
Предположим,чтодлялинейныхоператоровA ∈ L(Y1 , Y−1 ), B ∈ L(Ξ, Y−1 ) и эрмитовой формы F на Y1 × Ξ выполняются соотношения (A4.3) и (A4.4) из предыдущего параграфа.Тогда существует оператор P = P ∗ ∈ L(Y−1 , Y0 ) ∩ L(Y0 , Y1 ) и число δ > 0такие, что выполняется соотношение2 Re (Ay + Bξ, P y)−1,1 +F(y, ξ) ≤ −δ(||y||21 +||ξ||2Ξ ), ∀(y, ξ) ∈ Y1 ×Ξ. (4.99)тогда и только тогда, если частотное условие из (4.98) при α < 0 выполняется.76Замечание 4.3. В рамках этого параграфа рассмотрим класс эволюционных систем, которые возникают при изучении системы Максвелла ([31]).В отличие от предыдущего параграфа анализ задачи проводится без учёта уравнения теплопроводности.
При этом более широко учитываютсясвойства материала (некоторые материальные законы, которые описываются с помощью класса гистерезисных операторов).Покажем, как ввести понятие устойчивости на конечном промежутке времени по выходу r для системы (4.91), (4.92), близкой к уравнениямМаксвелла:Введем класс начальных данныхN := {y0 ∈ Y1 : ||y0 )||20 ≤ α1 }.Определение4.5. Процесс{y(·), ξ(·)}называется(4.100)(α, β, t0 , T 0 )-устойчивым по выходу системы в классе начальных данных N , где0 < α ≤ β, t0 > 0, T 0 ≥ 0 - произвольные числа, если из условияR t0Rt22||r(τ)||dτ < β для всех t ∈ [t0 , t0 + T 0 ).||r(τ)||dτ<αследует,чтоR00RРассмотрим систему (4.91), (4.92).
В дальнейшем, при необходимости,если нужно рассматривать комплексные аргументы систем и пространствдля проверки частотных условий, будем рассматривать комплексификацию Ξc пространства Ξ, эрмитово расширение F c квадратичной формы Fи комплексификацию Ac , B c операторов A, B.Лемма 4.3. Рассмотрим систему (4.91), (4.92). Предположим, что дляоператоров Ac , B c выполнены условия (A4.3)-(A4.4), аналогичные условиям из предыдущего параграфа. Положим также, что существует числоδ > 0 такое, что для передаточной функцииχ(p) = Dc (pI c − Ac )−1 B c + E c (p ∈/ σ(Ac ))(4.101)77выполняется частотное условиеF c ((iωI c − Ac )−1 B c ξ, ξ) ≤ −δ||χ(iw)ξ||2Z c(4.102)и функционалZ+∞J(y(·), ξ(·)) :=0ограниченсверху.||F c (y(τ ), ξ(τ )) + δ|Dc y(τ ) + E c ξ(τ )||2Z c dτТогдасуществуетвещественный(4.103)операторP = P ∗ ∈ L(Y−1 , Y0 ) ∩ L(Y0 , Y1 ) и число δ 0 > 0 такие, что относительно функционала Ляпунова V (y) := (y, P y)0 , y ∈ Y0 для произвольногорешения y(·), ξ(·) системы (4.91), (4.92) имеемZtV (y(t)) − V (y(s)) +F(y(τ ), ξ(τ ))dτstZ[ψcont (y(τ )) − ψcont (−P y(τ ) + y(τ ))]dτ + δ+0sZ+sZtF(y(τ ), ξ(τ ))dτst0Zt[ψcont (y(τ )) − ψcont (−P y(τ ) + y(τ ))]dτ + δF(y(τ ), ξ(τ ))dτsZ t+||Dy(τ ) + Eξ(τ )||2R dτ ≤ 0 (4.104)sПриведем набросок доказательства данной леммы.Доказательство.
Для эрмитовой формы F c выполнены условия частотной теоремы. Следовательно, существует вещественный операторP = P ∗ ∈ L(Y−1 , Y0 ) ∩ L(Y0 , Y1 ) и число δ > 0 такие, что(−Ay − Bξ, P y)−1,1 ≥ F (y, ξ) + δ||Dy + Eξ||R 2 , ∀(y, ξ) ∈ Y1 × Ξ. (4.105)Рассмотрим специальную тестовую функцию P η(t) := −P y(t) + y(t), длянеё можно получить−(ẏ(t), P y(t))−1,1−(Ay(t) + Bξ(t), P y(t)−1,1 − ψcont (−P y(t) + y(t)) + ψcont (y(t)) ≥ 0 (4.106)78для почти всех t ∈ [0, T ].
Отсюда можно получить, что−(Ay(t) + Bξ(t), P ξ(t)−1,1 ≥ F (y(t), ξ(t)) + δ||Dy(t) + Eξ(t)||R 2(4.107)для почти всех t ∈ [0, T ]. Из последних двух соотношений получаем(ẏ(t), P y(t))−1,1 + F(y(t), ξ(t) + ψcont (y(t))−ψcont (t)(−P y(t) + y(t)) + δ||Dy(t) + Eξ(t)||R 2 ≤ 0.(4.108)Интегрирование (4.108) по произвольному промежутку 0 ≤ s < t даётсоотношение (4.104).Теорема 4.5. Предположим, что выполнены условия леммы 4.3 и существует оператор P = P ∗ ∈ L(Y0 , Y0 ) такой, что неравенство (4.51)выполнено. Предположим, что заданы произвольные числа 0 < α < β иT 0 > 0 такие, что t0 + T 0 < T0 . Тогда для любого процесса {y(·), ξ(·)}системы (4.37), (4.38) такого, что α ≤ ky(t)k0 ≤ β для t ∈ [t0 , t0 + T 0 ) вклассе начальных данных N , он будет (α, β, t0 , T 0 )-устойчивым по выходусистемы в классе начальных данных N .Доказательство.
Как было показано в лемме 4.3, существует операторP = P ∗ и число δ > 0 такое, что для произвольного процесса (y(·), ξ(·)) выполняется неравенство (4.104). Из этого неравенства можно показать, чтоP = P ∗ ≥ 0. Отсюда следует, что для функционала Ляпунова выполняетсясоотношениеV (y) = (y, P y)0 ≥ 0.(4.109)для любых t ∈ [t0 , t0 + T 0 ). Следовательно, для любого t > 0 выполняется79неравенствоZ−V (y0 ) +t[ψcont (y(τ )) − ψcont (−P y(τ ) + y(τ ))]dτ +Z tδ||Dy(τ ) + Eξ(τ )||2R dτ ≤ 0,(4.110)Принимая во внимание, чтоZ t[ψcont (y(τ )) − ψcont (−P y(τ ) + y(τ ))]dτ ≥ −c1 (T 0 ) > −∞(4.111)000в классе начальных данных N , можно получить соотношениеZ t0Z t2δ( ||Dy(τ ) + Eξ(τ )||R −||Dy(τ ) + Eξ(τ )||2R )dτ ≤ V (y0 ) + c(T 0 ).00(4.112)Следовательно,Z tZ2δ||Dy(τ ) + Eξ(τ )||R ≤ δ00t0||Dy(τ ) + Eξ(τ )||2R )dτ + V (y0 ) + c(T 0 ).(4.113)Тогда из неравенствZ0t||Dy(τ ) + Eξ(τ )||2R dτ ≤ β(4.114)иZδ0t0||Dy(τ ) + Eξ(τ )||2R )dτ + V (y0 ) + c(T 0 ) ≤ δα + c(T 0 ).(4.115)получаем оценку, что β ≤ α + c(T 0 )/δ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
