Диссертация (1149720), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

ЕслиT ∗ (q1 ) 6= T ∗ (q2 ), линейная экстраполяция T̄ ∗ (q) функции T ∗ (q) даёт значение qcr с T̄ ∗ (qcr ) = 0. Такой же подход может быть использован для прогноза значения qbuck для возникновения динамического процесса складкообразования. По определению (см. например [25]) динамическая потеря устойчивости в (4.25), (4.26) возникает, если существуют числа β̄ > 0, t̄0 ≥ 0и T̄ > 0 такие, что t̄0 + T < T0 и неравенство (4.25), (4.26) не является (α, β̄, t̄0 , T̄ )-устойчивым, независимо от того, насколько малое значениеα > 0 выбрано. Для того, чтобы характеризовать это свойство, введём дляфиксированных β, t0 , T̄ и для любого q ∈ Q значениеα∗ (q) := sup α ,(4.31)где супремум берется по всем α ∈ (0, β̄) таким, что неравенство (4.25),(4.26) является (α, β̄, t̄0 , T̄ )-устойчивым.

Предположим, что для двухданных значений параметра q1 6= q2 мы можем вычислить значения63α∗ (q1 ) 6= α∗ (q2 ). Тогда линейная экстраполяция ᾱ∗ (q) of α∗ (q) даёт аппроксимацию q̄buck значения потери устойчивости qbuck с помощью формулыᾱ∗ (q̄buck ) = 0. Заметим, что большое число работ посвящено прогнозированию появления упругой или пластической неустойчивости в процессахдеформации (например, [22, 25, 7]). Один из самых осуществимых методов- это энергетический метод (см.

[22]), который сравним с нашим подходом.4.4.Эволюционные вариационные неравенства с нелинейностями типа гистерезисаПусть, как в предыдущих параграфах, что имеется гильбертова трой-ка пространств, а именно плотное и непрерывное вложение гильбертовыхпространствY1 ⊂ Y0 ⊂ Y−1 .(4.32)Предположим также, что Ξ и Z - два других гильбертовых пространствасо скалярными произведениями (·, ·)Ξ , (·, ·)Z и нормами k · kΞ , k · kZ , соответственно.Пусть заданы линейный ограниченный оператор A : Y1 → Y−1 , атакже линейные ограниченные операторыB : Ξ → Y−1 , C : Y1 → Z .(4.33)Введем сильно непрерывный оператор гистерезиса ([48]):φ : D(φ) ⊂ W 1,2 (0, T ; Z) × Ξ → W 1,2 (0, T ; Ξ),(4.34)где W 1,2 (0, T ; Z) и W 1,2 (0, T ; Ξ) - пространства Соболева функций на промежутке времени (0, T ) со значениями в Z или Ξ соответственно.64Предположим при этом, что задано многозначное отображениеE : Z → 2Ξ , D(φ) = {(z, ξ0 ) ∈ W 1,2 (0, T ; Z) × Ξ|ξ0 ∈ E(z(0))}.(4.35)Кроме того, пусть как и ранее, задано отображениеψcont : Y1 → R ∪ {+∞}(4.36)- выпуклое, полунепрерывное снизу, ψcont 6≡ +∞, которое описывает, как и в предыдущих параграфах, некоторые контактные явления.Полунепрерывность снизу означает, что надграфик функции ψcont , т.е.E(ψcont ) = {(y, ξ) ∈ Y1 × R|ξ ≥ ψcont (y)}, замкнут.Рассмотрим эволюционное вариационное неравенство с операторомгистерезиса в качестве нелинейности в виде(ẏ − Ay − Bξ, η − y)−1,1 + ψcont (η) − ψcont (y) ≥ 0 ,∀ η ∈ Y1 ,(4.37)z(t) = Cy(t) , ξ(t) = φ(z, ξ0 )(t) , y(0) = y0 ∈ Y0 , ξ0 ∈ E(z(0)) .(4.38)Определение 4.3.

Функция y(·) ∈ (W(0, T ) ∩ C(0, T ); Y0 ) называется решением системы (4.37), (4.38) на промежутке (0, T ) с начальными условиями y(0) = y0 , ξ(0) = ξ0 , если существует функция ξ(·) ∈ L2 (0, T ; Ξ)такая, что для почти всех t ∈ (0, T ) неравенство (4.8) и остальные соотношения из (4.9) выполнены. Пара {y(·), ξ(·)} называется процессом.Функция ξ(·) называется селектором решения y(·).Замечание 4.2. Заметим, что если ψcont ≡ 0, эволюционное вариационное неравенство (4.37), (4.38) эквивалентно вариационному уравнению,заданному черезẏ = Ay + Bξв Y−1z(t) = Cy (t) , ξ(t) = φ(z, ξ0 )(t) , ξ0 ∈ E(z(0)),(4.39)y(0) = y0 ∈ Y0 .(4.40)65Введём следующие дополнительные условия, которые используютсядля получения устойчивости на конечном промежутке системы (4.8), (4.9)(полученные результаты являются расширением результатов работ для конечномерных систем [2], [10]):(A4.1) Вариационное уравнение (4.39), (4.40) имеет для произвольныхy0 ∈ Y0 и ξ0 ∈ E(z(0)) по крайней мере одно решение и соответствующий процесс {y(·), ξ(·)} на некотором интервале (0, T0 ), T0 > 0(достаточные условия существования такого решения см.

в [12]).(A4.2) a)СуществуютлинейныеограниченныеоператорыF1 ∈ L(Z, Ξ), F2 ∈ L(Ξ, Ξ) такие, что для любого T ≥ 0, произвольного z ∈ W 1,2 (0, T ; Z) и произвольной функции ξ0 ∈ E(z(0))выполнено соотношениеRT0((φ̇(z, ξ0 ))(t), F1 ż(t))Ξ − ((φ̇(z, ξ0 ))(t), F2 (φ̇(z, ξ0 ))(t))Ξ dt ≥ 0,b) Существуют константа κ ∈ {−1, 1} и линейный ограниченныйоператор G1 ∈ L(Ξ, Z) такие, что для любого T ≥ 0, произвольнойфункции z ∈ W 1,2 (0, T ; Z) и произвольного ξ0 ∈ E(z(0)) существуетконстанта γ(z(0)) ≥ 0 такая, чтоκRT0(G1 φ(z, ξ0 )(t), ż(t))Z dt ≥ −γ(z(0)).(A4.3) Пара (A, B) L2 -управляема, т.е. для произвольного y0 ∈ Y0 существует функция ξ(·) ∈ L2 (0, +∞; Ξ) такая, что задачаẏ = Ay + Bξ, y(0) = y0корректно поставлена в вариационном смысле на (0, +∞).(4.41)66∈(A4.4) Оператор AL(Y1 , Y−1 ) - регулярный, т.е. для любыхT > 0, y0 ∈ Y1 , wT ∈ Y1 и для любой функции f ∈ L2 (0, T ; Y−1 )решения задачиẏ = Ay + f (t), y(0) = y0(4.42)ẇ = −A∗ w + f (t), w(T ) = wT(4.43)и задачисильно непрерывны в норме Y1 .Здесь A∗ - сопряженный оператор к оператору A ∈ L(Y1 , Y−1 ) относительнопространства Y0 , который определяется через соотношение(Ay, η)1,1 = (A∗ η, y)−1,1 ∀y, η ∈ Y1 .(4.44)Вводим две квадратичные формы F1 , F2 , которые описывают свойства гистерезисной нелинейности из (A4.2) a) и (A4.2) b):F1 (ζ, ϑ) = (ϑ, F1 Cw)Ξ − (ϑ, F2 ϑ)Ξ ,(4.45)F2 (ζ) = (G1 Cw, ξ)Ξ ,(4.46)ζ = (w, ξ) ∈ Y0 × Ξ, ϑ ∈ Ξ, .(4.47)гдеИспользуя эти две формы и неотрицательный варьируемый параметр0κ определим квадратичную форму F000F(ζ, ϑ, κ ) = F1 (ζ, ϑ) − κ F2 (ζ) = (ϑ, F1 Cw)Ξ − (ϑ, F2 ϑ)Ξ − κ (G1 Cw, ξ)Ξ ,(4.48)гдеζ = (w, ξ) ∈ Y0 × Ξ, ϑ ∈ Ξ.(4.49)67Рассмотрим комплексификацию Ξc пространства Ξ, эрмитово расширение F c квадратичной формы F и комплексификацию Ac , B c операторовA, B.Лемма 4.2.

Предположим, что выполняются условия (A4.1)-(A4.4) исуществуют числа κ 0 ∈ R, κκ 0 ≤ 0, и δ > 0 такие, чтоe κ 0 ) ≤ −δ||ζ||e 2F c (ζ, ϑ,(4.50)e ξ),e ϑe = iω ξe и всехдля всех ω ∈ R c iω ∈/ σ(Ac ), ζe = (iω(iωI − Ac )−1 B c ξ,ξe ∈ Ξc . Тогда существует вещественный оператор P = P ∗ ∈ L(Y0 , Y0 )такой, что для любых ζ = (ω, ξ) ∈ Y0 × Ξ, ϑ ∈ Ξ имеем ∗ Aw + Bϑw + F(ζ, ϑ, κ 0 ) ≤ −δ||w||2 .2  P ϑξ(4.51)Доказательство. Рассмотрим вектор из решений линейной системыw(t),(4.52)ζ(t) = ξ(t)где w(t) ∈ Y0 , ξ(t) ∈ Ξ для соответствующих t ∈ R+ , для которых выполнено  ẇAw + Bϑ.ζ̇ =   = ξ˙ϑ(4.53)ẇ = Aw + Bϑ,(4.54)ξ˙ = ϑ.(4.55)Получим систему˙ где обозначим ϑ := ξ.˙Здесь w = ẏ = Ay + Bξ. Тогда ẇ = Aw + B ξ,Рассмотрим преобразование Лапласа для соотношений (4.54),(4.50):eyeiω = Ac ye + B c ξ,(4.56)68eiω ξe = ϑ.(4.57)eye = (iωI − Ac )−1 B c ξ.(4.58)ewiωe = Ac we + B c ϑ.(4.59)e = ϑ,eξiω(4.60)e = ((iωI − Ac )−1 B ϑ,e 1 ϑ).eζe = (w,e ξ)iω(4.61)СледовательноТогдаОтсюда получаем, чтоВ силу (4.50) выполнено частотное условие теоремы ЛихтарниковаЯкубовича ([9, 10]).Тогда на основании этой теоремы существует вещественный операторP = P ∗ ∈ L(Y0 , Y0 ) такой, что ∗ Aw + Bϑw + F(ζ, ϑ, κ 0 ) ≤ −δ||w||2 .2  P ϑξ(4.62)для любых ζ = (w, ξ) ∈ Y0 × Ξ, ϑ ∈ Ξ.Теорема 4.3.

Предположим, что выполнены условия леммы 4.2 и существует оператор P = P ∗ ∈ L(Y0 , Y0 ) такой, что неравенство (4.51)выполнено. Предположим, что заданы произвольные числа 0 < α < β иT > 0 такие, что t0 + T < T0 . Тогда для любого процесса {y(·), ξ(·)} системы (4.39), (4.40) такого, что α ≤ ky(t)k0 ≤ β для t ∈ [t0 , t0 + T ) илюбых s, t таких, что 0 < s ≤ t ≤ t0 + T , существует функция Φ такая,чтоZΦ(y(t)) − Φ(y(s)) <tg(τ )dτ.s(4.63)69ЗдесьAy + Bξ∗ Ay + Bξ , y ∈ Y0 ,(4.64)g(t) := sup[ψcont (−P y(t) + y(t)) − ψcont (y(t))],(4.65)Φ(y) := Pξξигдесупремумберетсяповсемпарам{y(·), ξ(·)},таких,чтоy(·) ∈ L2 (t0 , t0 + T ; Y0 ), ξ(·) ∈ L2 (t0 ; t0 + T ; Ξ) при условии, чтоα ≤ ky(t)k0 ≤ β, F c (ζ, ϑ, κ 0 ) ≥ 0 для п.в. t ∈ [t0 , t0 + T ).Доказательство. Рассмотримдляпары{y(·), ξ(·)},cy(·) ∈ L2 (t0 , t0 + T ; Y0 ), ξ(·) ∈ L2 (t0 ; t0 + T ; Ξ) функцию такого типа∗ Ay(τ ) + Bξ(τ )Ay(τ ) + Bξ(τ )PΦ(y(τ )) := ξ(τ )ξ(τ )Z τ−κ 0ξ(s)ż(s)ds, y(τ ) ∈ Y0 ,(4.66)0Из леммы 4.2 следует, что выполненоΦ̇(y(τ )) ≤ g(τ ) − δ||ż(τ )||2 .(4.67)Интегрирование этого неравенства на промежутке [s, t] даёт неравенство(4.63).В отличие от соответствующего результата конечномерной системыв работе Барабанова-Якубовича ([2]), мы рассматриваем операторные системы, не предполагающие ничего относительно спектра линейной частисистемы, следовательно функция Φ не знакоопределенная и неравенство(4.63) не влечет устойчивость по Ляпунову.704.4.1.Пример задачи нагрева стержня с управлением на границеРассмотрим с произвольными параметрами b > 0 и ρ 6= 0 начальнокраевую задачу с обратной связью уравнения теплопроводности для стержня ([4])θt = θxx − bθ,x ∈ (0, 1), t ∈ (0, T ),(4.68)θ(x, 0) = θ0 (x), x ∈ (0, 1),(4.69)θx (0, t) = 0, θx (1, t) = ρφ(z, ξ0 )(t), t ∈ (0, T ),Z 1z(t) =θ(x, t)dx, t ∈ (0, T ),(4.70)(4.71)0Здесь φ - непрерывный оператор гистерезиса ([48])φ : D(φ) ⊂ W 1,1 (0, T ) × R → W 1,1 (0, T ),(4.72)относительно которого определяется многозначное отображениеE : R → 2R , D(φ) = {(z, ξ0 ) ∈ W 1,1 (0, T ) × R|ξ0 ∈ E(z(0))}.(4.73)Рассмотрим остальные условия устойчивости (A4.2)-(A4.4) на конечном промежутке для задачи (4.68)-(4.71):(A4.2) a) Следует из закона Клаузиуса-Дюгема ([48]):0 ≤ (φ̇(z, ξ0 ))(t)ż(t)) ≤ (ż(t))2(4.74)для любых (z, ξ0 ) ∈ W 1,1 (0, T ) × R, ξ0 ∈ E(z(0)),(A4.2) b) Положим κ = −1.

Тогда из "условия положительности"([18]) следует, чтоZt2(φ(z, ξ0 ))(t)ż(t))dt ≥ −γ(z(0))κt1(4.75)71для любых z ∈ W 1,1 (0, T ); при этом γ(z(0)) ≥ 0.Представим задачу (4.68)-(4.71) как вариационное неравенство:Пусть Y0 := L2 (0, 1) со скалярным произведениемZ 1(u, v)0 :=u(x)v(x)dx, ∀u, v ∈ L2 (0, 1)(4.76)и Y1 := W 1,2 (0, 1) со скалярным произведениемZ 1(u, v)1 :=(u(x)v(x) + u0 (x)v 0 (x))dx, ∀u, v ∈ W 1,2 (0, 1).(4.77)00Пусть линейный оператор A ∈ L(Y1 , Y−1 ) задаётся черезZ 1Au(x)v(x)dx =(Au, v)−1,1 :=0Z 1−(u0 (x)v 0 (x) + bu(x)v(x))dx, ∀u, v ∈ W 1,2 (0, 1).

Характеристики

Список файлов диссертации