Автореферат (1149680), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Согласно принятым предположениям динамика численности трудовыхdtиммигрантов описывается следующим образом:t ɺM=αz−z,еслиα( ex )∫[t] (z − zex )dx ≤ M , ɺ M = 0 в противном случае,z=гдеF (K , E)− производительностьEY = F ( K , E ) = aK β E1−β − выпуск,функциейКобба-Дугласа;определяемый(2)(3)трудавнутридвухфакторнойK − основнойкапитал;страны;производственнойzex > 0 − постояннаяпроизводительность труда «внешнего мира»; a > 0 − коэффициент, отражающий научнотехнический0 < β < 1 − эластичностьпрогресс;выпускапокапиталу;α > 0 − коэффициент, характеризующий привлекательность для мигрантов страны с болеевысокой производительностью труда; [t ] − целая часть t (соответствует началу года),M ≥ 0 − размер ежегодной квоты. Основной капитал в модели определяется эндогенносогласно стандартному уравнению модели Солоу, а именно,Kɺ = −δK + pF ( K , E ) ,(4)где 0 < δ < 1 − коэффициент выбытия капитала, 0 < p < 1 − норма сбережения.Объединяяуравнения(1)−(4),приходимкследующемуописаниюрассматриваемого процесса:βt   K β K ( x) ɺ N + α  a   − zex  , если ∫  a −zex  dx ≤ M , EE(x)Eɺ = [t ]  Nɺ в противном случае,Kɺ = −δK + paK β E1−β .6(5)(6)Система (5)−(6) представляет собой в общем случае нелинейную неавтономную системуобыкновенных дифференциальных уравнений с разрывной правой частью.

При заданныхнепрерывно дифференцируемой функции N (t ) и начальных значениях переменныхE (0) = N (0) = N 0 и K (0) = K 0 непрерывное решение задачи Коши, соответствующейсистеме (5)−(6), является единственным. Аналитически решение задачи Коши может бытьнайдено при постоянной численности собственного населения N (t ) ≡ constи приотсутствии иммиграции, т. е. при M = 0 .Проведено аналитическое и численное исследование модели (5)−(6). Доказаныутверждения 1−3.Утверждение 1.ЕслиE (t ) ,K (t ) − решениезадачиКоши,соответствующейсистеме (5)−(6) при заданном M > 0 , то при любых t ≥ 0 , для которых выполнено условиеβ K (t ) a > zex , E (t ) верноE1 (t ) ≤ E (t ) ≤ E2 (t ) ,следующее:K1 (t ) ≤ K (t ) ≤ K 2 (t ) ,Y1 (t ) ≤ Y (t ) ≤ Y2 (t ) , где E1 (t ) , K1 (t ) − решение задачи при M = 0 , а E2 (t ) , K 2 (t ) − приM >> 1 , Y (t ) = a ( K (t ) ) ( E (t ) )β1−β, Yi (t ) = a ( K i (t ) ) ( Ei (t ) )β1−β, i = 1, 2 .Таким образом, решения задачи при M = 0 и неограниченно большом M , т.

е. принулевой и неограниченной иммиграции соответственно, задают «диапазон», в котороммогут меняться значения рассматриваемых переменных при значении размера квотыM > 0 , реально сдерживающем приток мигрантов.Сформулируем несколько аналитических результатов для случая N (t ) ≡ const ,когда система является автономной. Приемлемая с экономической точки зрения ситуациясоответствует зоне Λ в фазовом пространстве ( K , E ) , где население и капитал неубывают, т. е.

Eɺ ≥ 0 , Kɺ ≥ 0 .Утверждение 2. Пусть N (t ) ≡ const . Множество Λ = {( E , K ) : Eɺ ≥ 0, Kɺ ≥ 0} в фазовомпространстве непусто тогда и только тогда, когда норма сбережения p удовлетворяет1−βδусловию p ≥ 1/β ⋅ zexβ .aУтверждение 3. Для всех значений параметров p , a , δ , α , β , zex , таких, что1−βδp ≠ 1/β ⋅ zexβ , система (5)−(6) при N (t ) ≡ const имеет только тривиальное стационарноеa71−βсостояние. Еслиδ⋅ zexβ , то система имеет бесконечно много стационарных1/ βap=1 z βсостояний, которые лежат на прямой K =  ex  E . a Численное исследование модели проведено в стандартном для теории ростапредположении о том, что собственное население принимающей страны растетпостоянным темпом λ , т.е. Nɺ = λN .

На рисунке 1 представлена динамика выпуска приλ = 0.001 ; δ = 0.03; β = 0.25; α = 10; p = 0.2; a = 0.19; zex = 0.016; E (0) = 8; K (0) = 10.Отметим, что если стоит задача о точности нахождения E (t ) , шаг интегрирования следуетуменьшать до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность при приближении кразрыву правой части уравнения (5). Предложен соответствующий алгоритм численногоинтегрирования системы с уменьшением шага при приближении к разрыву.0.1483c2.80.1462.6b0.1442.4GDP(t)z(t)0.1422.2a0.142b0.1381.81.6a0123450.136605t1015202530tРисунок 2  Динамикапроизводительности труда(a) отправляющей страны,(b) принимающей страныРисунок 1  Динамика ВВП(a) при нулевой иммиграции;(b) при ограниченной иммиграции;(с) при неограниченной иммиграцииПоставлена задача управления трудовой иммиграцией.

Пусть в модели (5)−(6)заданы параметры δ , β , α , p , a , zex , начальные значения переменных E (0) = N 0 ,K (0) = K 0 , промежуток времени в будущем[ 0, T ]и функцияN (t ) , t ∈ [ 0, T ] ,описывающая динамику численности собственного населения. Первая задача, котораяможет быть решена в рамках модели: определение размеров выпуска, которых можнодобиться при фиксированном размере квоты на численность въезжающих. Вторая задача,которая может быть решена в рамках модели (задача управления): нахождениеминимального размера ежегодной квоты, который следует установить управляющемуоргану, чтобы получить через промежуток времени длиной T желаемую величинувыпуска Y (T ) .8Первая проблема в рамках модели решается тривиально, а именно, система (5)−(6)численно интегрируется на промежутке времени [ 0, T ] при заданных параметрах δ , β ,α,p,a,zex , начальных значенияхпересчитываетсячерезE (0) ,найденныеY (t ) = F ( K (t ), E (t ) ) = a ( K (t ) ) ( E (t ) )β1−βK (0)E (t )ии функцииN (t ) .

ВыпускпоK (t )формуле.Вторая проблема представляет собой задачу управления с фиксированнойпродолжительностью управления T . Связь между управлениеми фазовымиMпеременными задается системой (5)−(6). Начальное состояние системы E (0) = N 0 ,K (0) = K 0 фиксировано. Задача управления состоит в том, чтобы найти среди всехдопустимых управлений M такие, которые переведут систему из указанного начальногосостояния в состояние E (T ) , K (T ) такое, что Y (T ) = a ( K (T ) ) ( E (T ) )β1−β= Y (T ) .

Вкачестве критерия оптимальности выбрана минимизация размера ежегодной квоты начисленность въезжающих M . Доказана следующая теорема:Теорема 1. Пусть в системе (5)−(6) заданы параметры 0 < δ < 1 , 0 < β < 1 , α > 0 , 0 < p < 1 ,a > 0 , zex > 0 и начальные условия E (0) = N 0 , K (0) = K 0 . Предположим также, что заданыпромежуток времени в будущем [ 0, T ] фиксированной длины T , функция N (t ) ∈ C1[0, T ]и число Y (T ) ≤ Y2 (T ) , где Y2 (t ) , t ∈ [ 0, T ] , находится через решение задачи Коши,соответствующей системе (5)−(6) при неограниченно большом M .

Пусть, кроме того, приβ K (t ) всех t ∈ [ 0, T ] выполнено неравенство a  > zex . E (t ) Тогда существует минимальное значение управляющего параметра M , при котором1−βY (T ) = Y (T ) . Если при этом дополнительно выполнены условия N (t ) ≡ N 0 и p ≥δ⋅ zexβ ,1/ βaто фазовые переменные E (t ) , K (t ) и, следовательно, выпуск Y (t ) не убывают, t ∈ [ 0, T ] .Поставленная задача управления решена численно. Задача сводится к перебору сзаданным шагом значений управляющего параметра M и численному решению задачиКоши при всех перебираемых M . Указанный процесс останавливается тогда, когдазначение Y (T ) , найденное численно, превзойдет заданное значение Y (T ) . Последнеезначение Mи задает численный аналог оптимального размера квоты. Предложеналгоритм численного поиска оптимального размера квоты.9Третья глава посвящена подробному изучению демографической ситуации в РФ.Приведены обзор методов демографического прогнозирования и подробное описаниетеоретических свойств метода передвижки по возрастам (когортно-компонентногометода).

Построен прогноз численности собственного населения РФ, проведеносопоставление полученного прогноза с различными вариантами прогнозов Росстата и др.Прогнозирование произведено методом передвижки по возрастам с переменной матрицейЛесли.Когортно-компонентый метод применяется для прогнозирования половозрастнойструктуры населения, разбитого на k -летние возрастные группы при любом k ≥ 1 . Вработе выбрано k = 1 .

Наглядно и удобно метод передвижки по возрастам представляетсяс помощью матрицы Лесли. Пусть n s (t ) ∈ R ω+1 – вектор возрастного распределенияженского ( s = f ) или мужского ( s = m ) населения, где ω – наибольший возможныйвозраст. Компонента nxs , x = 0, ω , вектора n s равна числу женщин (мужчин) возраста от xдо x + 1 лет. Если ввести в рассмотрение вектор-столбец n размерности 2 ⋅ (ω + 1) , где впервых ω + 1 строках будет записано распределение женского населения по возрастам, а вследующих ω + 1 строках − распределение мужского населения, то n ( t + 1) = Ln(t ) , где F0 f f P0 ... 0L= m F0 0 0 0Здесь Pxs =......Fωf0...0.........fω−10......Fωm......0......0......0...

Характеристики

Список файлов диссертации