Диссертация (1149672), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

В концепункта 2.3.3 будет рассмотрен вопрос о применимости МДП.Вначале обсудим обозначения. Часть из них была уже введена в параграфе 2.1, норади удобства читателя приводится и здесь. Итак, положимx  ( x1 ,..., xm )  C m , t  (t1 ,..., ts )  C s ,   (1 ,...,  )  C , fi j  C ,y  ( y1 ,..., yN )  C N , gr  C , предполагая x функцией переменной t и параметра  , а y -функцией переменной x и параметра  . Отметим, что везде здесь символ C (обозначающий поле комплексных чисел) можно заменить на R (поле вещественных чисел),так как все предлагаемые в диссертации алгоритмы символьные и, стало быть, всевыкладки формальные, как это характерно для алгоритмов компьютерной алгебры. Вто же время, в программах, в случае, когда контекст позволяет ограничиться вещественными числами, лучше так и поступать - для сокращения затрат машинного времени (иногда - в разы!).Рассмотрим теперь полную систему уравнений в частных производныхxi / t j  fi j ( x,  ) , i [1: m] , j [1: s](2.3)и систему функцийyr  gr ( x,  ) , r [1: N ] ,(2.4)где s, N [0 : ) и (s, N )  0 .

В общем случае, далее рассматривается система (2.3),(2.4), причем при s  0, N  0 или N  0, s  0 полагается, что рассматривается только44система (2.3) или (2.4) соответственно. Еслиs 1,то (2.3) – система ОДУ.Систему (2.3) (или (2.4), или (2.3), (2.4)), в которой все правые части — полиномыпо x1,..., xm , назовем полиномиальной.Чтобы сформулировать различные варианты МДП, введем в рассмотрение дополнительные переменные — функции xm1 ( x1 ,...xm ),..., xmk ( x1 ,...xm ) и три условия:(a) все производные + ⁄ ( l [1: k ] , i [1: m] ) — некоторые полиномыPml , i ( x1 ,..., xmk ) по переменным x1 ,..., xm k ;(b) все правые части уравнений (2.3) — некоторые полиномы Qi j ( x1 ,..., xmk ) ;(c) все функции gr ( x,  ) ( r [1: N ] ) — некоторые полиномы Rr ( x1 ,..., xmk ) .2.3.1 Метод дополнительных переменных для полных системЕсли найдутся дополнительные переменные xm1 ,..., xmk , удовлетворяющие условиям (a),(b), то x1 ,..., xmk удовлетворяют полиномиальной системе:xml / t j  i 1 Qi j ( x1 ,..., xmk ) Pml ,i ( x1 ,..., xmk ) ,mxi / t j  Qi j ( x1 ,..., xmk ) , i [1: m] , j [1: s] , l [1: k ]2.3.2 Метод дополнительных переменных для систем функцийЕсли найдутся дополнительные переменные xm1 ,..., xmk , удовлетворяющие условиям (a),(с), то x1 ,..., xmk удовлетворяют полиномиальной системе:yr  Rr ( x1 ,..., xmk ) , r [1: N ] ,xml / xi  Pml , i ( x1 ,..., xmk ) , i [1: m] , l [1: k ] ,причем понятно, что непосредственным дифференцированием yr по x1 ,..., xm можнополучить полную систему и для yr :yr / xi  Rr / xi   s 1 Pm s ,i Rr / xms , r [1: N ] , i [1: m] .k452.3.3 Метод дополнительных переменных для смешанных системЕсли найдутся дополнительные переменные xm1 ,..., xmk , удовлетворяющие условиям (a),(b),(с), то x1 ,..., xmk удовлетворяют полиномиальной системе:xml / t j  i 1 Qi j ( x1 ,..., xmk ) Pml ,i ( x1 ,..., xmk ) ,mxi / t j  Qi j ( x1 ,..., xmk ) , i [1: m] , j [1: s] , l [1: k ] ,yr  Rr ( x1 ,..., xmk ) , r [1: N ] ,причем, как и в пункте 2.3.2, непосредственным дифференцированием yr по x1 ,..., xmможно получить полную систему и для yr :yr / xi  Rr / xi   s 1 Pm s ,i Rr / xms , r [1: N ] , i [1: m] .kО применимости метода дополнительных переменных.

Предложение 2.1 (см. параграф 2.1) обеспечивает применимость метода дополнительных переменных к любым системам функций классовприменимость его к классамm,smи системам уравнений классов(ms(m) , так как) следует из определения этих классов и содер-жания метода дополнительных переменных. В то же время, надо отметить, что предлагаемые далее в параграфах 2.4, 2.5 и основанные на этом методе алгоритмы символьного дифференцирования функций и сведения дифференциальных уравнений кполиномиальной форме, состоят всегда из конечного числа конструктивных шагов иуже поэтому применимы к функциям и дифференциальным уравнениям упомянутыхклассов.2.3.4 Примеры.Предлагаемые здесь восемь простых и относительно простых (не громоздких)примеров являются иллюстративными к пунктам 2.3.1, 2.3.2 (примеры к пункту 2.3.3можно получить, комбинируя первые пять из них с последними тремя).

Гораздо более сложные (требующие весьма объемных выкладок), но также иллюстративныепримеры, построенные на основе алгоритмов символьного дифференцирования и46сведения дифференциальных систем к полиномиальной форме, предлагаемых далеев параграфах 2.4, 2.5, будут рассмотрены в п.п.2.4.4, 2.5.3. Все эти примеры, помимотого, что они иллюстрируют варианты метода дополнительных переменных и упомянутые алгоритмы, послужили автору надежным материалом при отладке программы “AVM” (см. главу 4).

Примерами же построения реальных моделей на основе предложенных в главах 2 и 3 алгоритмов и программы “AVM” являются модели невозмущенного и возмущенного движения в центральных полях, которые будут рассмотрены в главе 5.Примеры МДП для полных систем.В первых трех из рассматриваемых здесь пяти примеров (они взяты из работы[12]) используются функции Гильберта 1  Hb, 2  Hbi , которые были рассмотреныв Пб6 (см. п.2.2.2 ). В четвертом и пятом примерах рассматриваются две задачи динамики – математический маятник и вращательное движение спутника около своего центра масс.Пример 1.

Задача Коши для ОДУ. Рассмотрим уравнениеdx / dt  a sin 1 ( x, x 2 , x3 )  b cos 1 ( x, x 2 , x3 )и начальные условияx(0)  0 ( a, b - параметры),введем дополнительные переменные 1  1 ( x, x2 , x3 ),  2  2 ( x, x2 , x3 ),  3  sin 1 ( x, x2 , x3 ),  4  cos 1 ( x, x2 , x3 )и получим их полные производные по t в силу этого уравнения:d 1 / dt   j 1  1 / x j 3  j 1    2 3j1x1  x , x2  x , x3  x23 jx j 1  dx / dt  jx j 1  dx / dt   j 1 jx j 1 1j 2  dx / dt ,3x1  x , x2  x 2 , x3  x3d 2 / dt   j 1  2 / x j 3x1  x , x2  x2 , x3  x3 jx j 1  dx / dt   j 1  4215  6 x31  2 x2  1j  23  j1j 1223x1  x , x2  x2 , x3  x3 jx j 1  dx / dt 47  j 1 jx j 1   42 15  6 x3 1  2 x 2  1j 23  j 1j 1 22  dx / dt ,3d 3 / dt  cos 1 ( x, x2 , x3 )  d1 ( x, x 2 , x3 ) / dt   4  d 1 / dt ,d 4 / dt   sin 1 ( x, x2 , x3 )  d1 ( x, x2 , x3 ) / dt   3  d 1 / dt .Тогда можно записать исходное уравнение и начальные условия в форме полиномиальной задачи Коши:dx / dt  a 3  b 4 , d 1 / dt   j 1 jx j 1 1j 2  dx / dt ,3d 2 / dt   j 1 jx j 1   42 15  6 x3 1  2 x 2  1j 23  j 1j 1 22  dx / dt ,3d 3 / dt   4  d 1 / dt , d 4 / dt   3  d 1 / dt ,x(0)  0,  1 (0)  1,  2 (0)  1/ 7,  3 (0)   sin1,  4 (0)  cos1 .Пример 2.

Задача Коши для системы ОДУ. Рассмотрим систему уравненийdxi / dt  ai sin 1 ( x1 , x2 , x3 )  bi cos 1 ( x1 , x2 , x3 )и начальные условияxi (0)  0 , i [1: 3] , ( ai  ai ( x1 , x2 , x3 ), bi  bi ( x1 , x2 , x3 ) - алгебраические полиномы), введемдополнительные переменные 1  1 ( x1 , x2 , x3 ),  2  2 ( x1 , x2 , x3 ),  3  sin 1 ( x1 , x2 , x3 ),  4  cos 1 ( x1 , x2 , x3 )и получим их полные производные по t в силу уравнений:d 1 / dt   j 1 1 / x j  dx j / dt   j 11j  2  dx j / dt 33  j 1 x j 1 1j 2  dx j / dt ,3d 2 / dt   j 1 2 / x j  dx j / dt 3    42  dx  j 1  4215  6 x31  2 x2  1j  23  j1j 122  dx j / dt 33j 151 6 x3 1  2 x2  1j 23  j 1j 1 22j/ dt ,d 3 / dt  cos 1 ( x1 , x2 , x3 )  d1 ( x1, x2 , x3 ) / dt   4  d 1 / dt ,d 4 / dt   sin 1 ( x1 , x2 , x3 )  d1 ( x1, x2 , x3 ) / dt   3  d 1 / dt .Тогда можно записать исходную систему и начальные условия в форме полиномиальной задачи Коши:48dxi / dt  ai  3  bi  4 , i  [1: 3], d 1 / dt   j 1 1j 2  dx j / dt ,3d 2 / dt   j 1  42 15  6 x3 1  2 x2  1j 23  j 1j 1 22  dx j / dt ,3d 3 / dt   4  d 1 / dt , d 4 / dt   3  d 1 / dt ,xi (0)  0 , i [1: 3] ;  1 (0)  1,  2 (0)  1/ 7,  3 (0)   sin1,  4 (0)  cos1.Пример 3.

Задача Коши для полной системы. Рассмотрим системуxi / t j  aij sin 1 ( x1 , x2 , x3 )  bij cos 1 ( x1 , x2 , x3 ) ,и начальные условияxi (0,0,0)  0 , i [1: m] , j [1: 3] , ( ai , j  ai , j ( x1 ,..., xm ), bi , j  bi , j ( x1 ,..., xm ) - полиномы), введемдополнительные переменные 1  1 ( x1 , x2 , x3 ),  2  2 ( x1 , x2 , x3 ),  3  sin 1 ( x1 , x2 , x3 ),  4  cos 1 ( x1 , x2 , x3 )и получим их полные производные по t j в силу этих уравнений: 1 / t j   k 1 1 / xk  xk / t j   k 11k  2  xk / t j 33  k 1 1k 2  xk / t j ,3 2 / t j   k 1 2 / xk  xk / t j 3  k 1  4215  6 x31  2 x2 1k  23  k1k 122 xk / t j 3  k 1  42 15  6 x3 1  2 x2  1k 23  k 1k 1 22 xk / t j ,3 3 / t j  cos 1 ( x1 , x2 , x3 ) 1 ( x1 , x2 , x3 ) / t j   4  1 / t j , 4 / t j   sin 1 ( x1 , x2 , x3 ) 1 ( x1, x2 , x3 ) / t j   3  1 / t j .Тогда можно записать исходную систему и начальные условия в форме полиномиальной задачи Коши:xi / t j  aij 3  bij  4 , i  [1: m];  1 / t j   k 1 1k 2  xk / t j ,3 2 / t j   k 1  42 15  6 x3 1  2 x2  1k 23  k 1k 1 22  xk / t j ,3 3 / t j   4   1 / t j ,  4 / t j   3   1 / t j , j  [1: 3],xi (0, 0, 0)  0, i  [1: m]; 1 (0, 0, 0)  1,  2 (0, 0, 0)  1/ 7,  3 (0, 0, 0)   sin1,  4 (0, 0, 0)  cos1.49Пример 4.

Математический маятник. Полагая x1  x, x2  x , уравнение математического маятникаx  k 2 sin x  0запишем в виде системы ОДУx1  x2 , x2  k 2 sin x1 .Вводя дополнительные переменные x3  sin x1 , x4  cos x1 , получаем полиномиальную (квадратичную) систему:x1  x2 , x2  k 2 x3 , x3  x2 x4 , x4   x2 x3 .Пример 5. Вращательное движение спутника. Рассмотрим движение спутникавокруг своего центра масс в предположении, что сам центр масс движется по круговой орбите с угловой скоростью  . Обычно движение спутника вокруг своего центра масс описывается шестью фазовыми переменными, пусть это будут x1 ,..., x6 . Приучете основных возмущающих факторов оказывается, как правило, что уравненияотносительно этих переменных имеют вид:x j  Pj ( x1,..., x6 ,sin x1,...,sin x6 ,cos x1,...,cos x6 ,sin t,cos t ) ,причем Pj -полиномы по всем своим аргументам.

Полагая x7  sin x1 ,…, x13  cos x1 ,…,а также x19  sin t , x20  cos t ) , получаем полиномиальную системуx j  Pj ( x1,..., x20 ) , x6 j  x13 j Pj ( x1,..., x20 ) ,x6 j   x6 j Pj ( x1,..., x20 ) , j  1,...,6 , x19   x20 , x20   x19 .Примеры МДП для систем функций.Пример 6. Система из двух функций. Система функцийy1  x1x3 cos( x2 ) (ax1  bx2 )7 x3 sin( x2 ), y2  ln12 x1 (c3 x1 x2 x3 cos3 ( x2 )  coth(c d d )sin( x2 ))3 ,где x1 , x2 , x3  переменные, а a, b, c, d ,   параметры, введением переменных1  sin( x2 ), 2  cos( x2 ), 3  ln x1 , 4  x11, 5  x1x cos( x )3250сводится к полиномиальной системе (по x  ( x1 , x2 , x3 ),   (1,..., 5 ) )y1  (ax1  bx2 )7 x315 , y2  312 (c3 x1 x2 x323  coth(c d d )1 )3 ,где  - решение полной системы:1 / x1  0, 1 / x2  2 , 1 / x3  0 , 2 / x1  0, 2 / x2   1 , 2 / x3  0 ,3 / x1  4 , 3 / x2  0, 3 / x3  0 , 4 / x1  42 , 4 / x2  0, 4 / x3  0 ,5 / x1  x3245 , 5 / x2    x3135 , 5 / x3  235 .Пример 7.

Характеристики

Список файлов диссертации