Диссертация (1149672), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Полиномиальные системыПри построении численных моделей динамики используют различные методыпошагового численного интегрирования общего назначения, например, различныеварианты методов Рунге-Кутта, Адамса, Штермера, метод итераций Пикара и т.д.Что касается метода рядов Тейлора, то отметим, что для построения моделей динамики, у которых правые части их уравнений принадлежат классамm(см. выше),он предпочтительнее упомянутых как по производительности, так и по точности [14,69, 73, 75, 76, 97, 100, 119, 124].Многие работы, использующие метод рядов Тейлора и метод итераций Пикара,ориентированы на применение к дифференциальным уравнениям с полиномиальными правыми частями [6, 13, 14, 18, 24, 46, 68, 73, 79, 80, 90, 94, 113, 114, 117, 119].В этой связи скажем, что в параграфе 2.5 предлагается символьный алгоритм сведения полных систем уравнений в частных производных (и, в частности, систем ОДУ)к полиномиальной форме.

Отметим также, что от большинства методов интегрирования, как аналитических, так и численных можно ожидать увеличения производительности в случае, если уравнения будут сведены к полиномиальной форме.15В параграфе 2.4 предлагается символьный алгоритм вычисления частных производных любого порядка и, на его основе, в параграфе 3.2 предлагаем модификацию алгоритма Бабаджанянца-Большакова [14] (метода рядов Тейлора для полиномиальных систем), применимого к дифференциальным уравнениям с правыми частями, принадлежащими классамm.Символьные вычисления в моделировании динамических процессовВыше мы говорили о ряде предложенных символьных алгоритмов, используемыхнами для построения динамических процессов.

Все они опираются на объединенныеединой идеей алгоритмы метода дополнительных переменных, которые были изложены в параграфе 2.3. Пользуясь нашей программой символьных вычислений“AVM” (см. главу 4), имеющей дружественный пользовательский интерфейс, можнорешать ряд задач построения моделей динамики с уравнениями, правые части которых принадлежат классамm.В главе 5 демонстрируются результаты моделирования при помощи этой программы в ряде важных задач из небесной механики об орбитальном движении двухи более небесных тел.161. Математические модели динамики вцентральных силовых поляхВ диссертации рассматриваются модели возмущенного движения материальнойточки в различных силовых полях, причем особое внимание уделяется движению вцентральных полях.В первых трех параграфах настоящей главы излагаются в необходимой далееформе известные результаты относительно центральных сил и движения материальной точки в центральных полях без возмущений: в параграфе 1.1 выписывается уравнение движения материальной точки в центральном силовом поле (и рассматриваются примеры), в параграфе 1.2 приводится ряд центральных силовых потенциалов,а в параграфе 1.3 рассматривается стандартный способ решения уравнений движения в центральных силовых полях.

При написании этих разделов использовалисьмногие источники: [1, 9, 10, 19, 22, 23, 32-34, 43, 56-59, 64-66, 126].В параграфе 1.4 предлагается новая схема реализации классического метода возмущений: в пункте 1.4.1 описывается новый метод решения уравнений в вариацияхдля произвольных центральных силовых полей в пространстве произвольной конечной размерности, а в пункте 1.4.2 приводится новая схема построения математической модели требуемого порядка точности по возмущениям для движения материальной точки в таких полях. Для реализации такой схемы, кроме упомянутого метода решения уравнений в вариациях, требуется вычисление в символьной формечастных производных высшего порядка для сложных функций многих переменных,в терминах которых записаны уравнения динамики.

Соответствующие новые алгоритмы предлагаются в главе 2, а программы – в главе 4.1.1 Уравнение движения точки в центральном силовом полеДвижение материальной точки M массы m в аффинном евклидовом пространстве определяется действующей на нее внешней силой, а также ее начальным положением и скоростью. Если уравнение Ньютона автономно, то есть еслиmr  F (r ) ,(1.1)17то вектор-функцию F называют (стационарным) силовым полем и говорят, чтоточка M движется в поле сил F (или в силовом поле F ). Поле сил называют центральным, если существует такая точка O (центр сил), что на любую движущуюсяматериальную точку M действует сила, направленная вдоль прямой, проходящейчерез точки O и M , а величина силы зависит только от r  OM .

Уравнение Ньютона (1.1) для случая движения материальной точки M массы m в центральномполе сил в системе координат с началом в центре сил O имеет вид [19]:rmr    ( r )  , r  OM , r  r , ( r )  F ( r ) ,   1r(1.2)Выпишем четыре стандартных примера таких уравнений.Уравнения Ньютона для двух гравитирующих точекДвижение материальных точек M 0 , M с массами m0 , m под действием сил их взаимного притяжения по закону всемирного тяготения в инерциальной системе координат определяется уравнениями:r 0m3 , r  m03,r 0  OM 0 , r  OM ,   M 0 M , r 0  r 0 , r  r ,    ,где  - всемирная гравитационная постоянная. Вычитая первое из уравнений из второго, приходят к уравнению движения точки M в центральном силовом поле с центром силы в точке M 0 : m( m 0  m ),   1m     (  )  ,  (  ) 2(1.3)18Уравнения Ньютона для двух электрических зарядовДвижение материальных точек M 0 , M с массами m0 , m и зарядами q0 , q поддействием сил их взаимного притяжения или отталкивания по закону Кулона в инерциальной системе координат определяется уравнениями:r 0  kq0 qqq, r  k 0 3 ,0 3mmr 0  OM 0 , r  OM ,   M 0 M , r 0  r 0 , r  r ,    ,где k - положительная постоянная.

Вычитая первое из уравнений из второго, приходят к уравнению движения точки M в центральном силовом поле с центром силы в точке M 0 :m     (  ) k (1  m / m0 )qq0, (  ) , 1,2(1.4)причем   1 отвечает случаю притягивающихся точек (то есть разноименных зарядов).Уравнения Ньютона для точки в поле силы ГукаДвижение материальной точки M массы m под действием силы Гука F    r( r  OM ,   0  постоянная, зависящая от конкретной задачи) определяется уравнением Ньютонаrmr     r , (r )   r ,   1rпричем   1 отвечает случаю притягивающей к центру O силы, а   1  случаю отталкивающей от O силы.19Уравнения Ньютона для точки в поле силы ЮкавыДвижение материальной точки M массы m и заряда e (электрона) под действием ядерной силы F   Jr 3 (1   r )e r r ( r  OM , а J ,  0  постоянные) определяется уравнением Ньютонаmr    Jr 2 (1   r )e rr, (r )  Jr 2 (1   r )e r ,   1r1.2 Центральные силовые потенциалыРассмотрим движение относительно репера (O, i , j , k ) точки M единичной массы m (имеющей единичный заряд, если рассматривается движение заряда) в сило3вом поле F ( r ) , r  xi  yj  zk ,( ( x, y, z)  D , D  область в R ).

Если существуетфункция U ( x, y, z ) такая, чтоdU  Fdr ,(1.5)то поле сил F ( r ) называют потенциальным в D , а определенную с точностью доаддитивной постоянной такую функцию U называют при этом силовой функциейили потенциалом поля F ( r ) .Если F ( r )  X ( x, y, z )i  Y ( x, y, z ) j  Z ( x, y, z )k , то условие (1.5) можно представить иначе:X ( x, y, z )dx  Y ( x, y, z )dy  Z ( x, y, z )dz  dU ( x, y, z ) ,то есть его можно записать в видеXилиUUU,, Y, Zxyz20F  grad U  U UUUi jkxyzНеобходимым и достаточным условием потенциальности силового поля F ( r ) является равенство rot F  0 . Центральное поле потенциально.

Действительно, силаF , действующая в этом случае на материальную точку M единичной массы (и/или,единичного заряда) равна   ( r )r 1r , где r  r ,   1 , а  - некоторая функцияаргумента r . Так как rdr  12 dr 2  rdr , тоFdr    (r )r 1rdr  d (   (r )dr ) , U     (r )dr .(1.6)1.2.1 Потенциалы Ньютона, Кулона, Гука, ЮкавыС точностью до аддитивной постоянной, потенциалы полей Ньютона, Кулона,Гука, Юкавы задают формулами ( G, K ,  , A,  положительные постоянные):U  G / r (потенциал силы Ньютона),U  K / r (потенциал силы притяжения Кулона),U  K / r (потенциал силы отталкивания Кулона),U    r 2 / 2 (потенциал силы притяжения Гука),U   r 2 / 2 (потенциал силы отталкивания Гука),U (r )   Ar 1e r , A,  0 (потенциал ядерных сил притяжения  модель Юкавы).1.2.2 Сферически симметрично распределенные массы и зарядыСиловые поля создаются не только точечными массами и зарядами, но и системами масс и/или зарядов. Если массы (или заряды) распределены в области T иплотность распределения обозначена символами  (для масс) и  (для зарядов), топотенциалы21U ( x, y, z )  G  ( , , )DTU ( x, y, z )  K  ( , , )DTU ( x, y, z )   K d d d ,d d d , ( , , )TDd d d ,гдеD  D( x, y, z, , , )  ( x   )2  ( y   )2  ( z   ) 2 ,называют ньютоновским потенциалом объемных масс и кулоновским (притягивающим и отталкивающим соответственно) потенциалом объемных зарядов [43, 56, 58].Ради краткости, объемную массу или объемный заряд называют телом.

Потенциал объемных масс и потенциалы объемных зарядов удовлетворяют соответственно уравнениям Пуассона: 2U  2U  2UU  2  2  2  4 G  ( x, y, z ) (для объемных масс),xyzU  4 K  ( x, y, z) (для притягивающих объемных зарядов),U  4 K  ( x, y, z)(для отталкивающих объемных зарядов).Так как вне тела плотность распределения масс (или зарядов) равна нулю, то вовнешних точках потенциалы удовлетворяют уравнению Лапласа U  0 , то есть являются гармоническими функциями.Рассмотрим потенциалы масс и зарядов для случая, когда T  шар конечного радиуса, а массы (или заряды) распределены сферически симметрично, то есть   (r ) (    (r ) ).

Как показал Ньютон, в этом случае внешнее поле (то есть полесил в точках вне шара) совпадает с полем расположенной в центре шара материальной точки с массой, равной массе шара M . В терминах потенциалов (Ньютону понятие потенциала не было известно, - под названием силовая функция оно было введено в 1773 году Лагранжем), это означает, что внешний потенциал равенU  GM / r .22Для некоторых несложных зависимостей  (r ) (и  (r ) ) получены аналитическиевыражения и для внутренних потенциалов. Такие зависимости можно получить изуравнения Пуассона, так как 2U (r )  2U (r ) x 2 U (r )  1 x 2 r xU (r ) U (r ) x ,…, ,... ,   ,…,x 2r 2 r 2r  r r 3 xrrx rd 2U (r ) 2 dU (r )),U dr 2r drи в рассматриваемом случае получаем линейное обыкновенное дифференциальноеуравнение Пуассона:2U   U    4 G  (r ) (для объемных масс),r2U   U    4 K  (r ) (для притягивающих объемных зарядов),r2U   U   4 K  (r ) (для отталкивающих объемных зарядов).rРешение его в квадратурах (с учетом того, что в начале координат потенциал конечен, а на бесконечности равен нулю) следующее [43, 58]:R1 r 24G()d()d, 0  r  R0r  (r ), 0  r  Rr (r )   U (r )  0 , R  r   4 G R  2  ( )d , R  r   r 0Приведем аналитические выражения для нескольких сферически симметричныхпотенциалов, соответствующих различным простым распределениям масс или зарядов в шаре радиуса R [43, 58].23Однородный шар 0 , 0  r  R0 , R  r   (r )  222 3  G 0 (3R  r ), 0  r  RU (r )  3 4 G 0 R , R  r  3rШар с линейным убыванием плотностиr 0  (1  ), 0  r  R (r )  R0 , R  r  2 2r3 2  G 0  R  r  , 0  r  R,2R 3U (r )  3  G 0 R, R  r  . 3rМодель Шустера шаровых звездных скопленийc  (a 2  r 2 )5/2 , 0  r  R (r )  0,Rrгде M  MG  a 2  R 2 a2  , 0  r  R 3  2 R  a  r2U (r )  , GM, Rr r4 cR3.3a 2 (a 2  R 2 )3/2Квадратично-степенная модельnr2 , 0  r  R,  1  (r )   0  R 2  0 , R  r  ,n 1 0n 1r2  31  2  22R  435rr2GRF,n,,, 0  r  R,02122322RR2(1n) U (r )  3/23 GM , M   0 R n (n), R  r  .(n  5 / 2) r24Модель водородоподобного атома в невозбужденном состоянииЕе используют при рассмотрении движения электрона с зарядом e в поле ядраатома с зарядом  Ze (например, при Z  1 это атом водорода H , при Z  2 - однократно ионизированный ион гелия He , при Z  3 - дважды ионизированный атомлития Li  и т.д.).

Характеристики

Список файлов диссертации