Диссертация (1149672), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Электрон представляют в виде «облака» с суммарным зарядом e ,причем распределение заряда в облаке принимается как сферически симметричноес центром в точечном ядре: (r )  (e /  )r03e2r / r , r0  a0 / Z , a0  h 2 / (mee2 ) ,0где a0 - первый боровский радиус, me - масса электрона, а h - постоянная Планка.Потенциал такой модели дается формулой:e  e e  2U (r )  ( Z  1)     e r0r  r0 r r1.3 Решение уравнений движения в центральном полеПри движении материальной точки в центральном поле, главный момент внешних сил относительно центра сил O равен нулю, поэтому из теоремы об измененииглавного момента количества движения (кинетического момента) следует, чтоr  r  c  (c1 , c2 , c3 )(1.7)(функцию r  r называют интегралом площадей, а c и c1 , c2 , c3 - постоянными площадей).

Если r  ( x, y, z ) , то можно записать:yz  yz  c1 , zx  zx  c2 , xy  xy  c3Умножая эти равенства на x, y, z и складывая, получаем уравнение плоскости Лапласа c1 x  c2 y  c3 z  0 , проходящей через центр сил O .Так как центральное поле потенциально, а потенциал и потенциальная энергиязадаются формулами (см. (1.6))25U ( x, y, z )  ( r )    ( r )dr, ( x, y, z )  ( r ) ,то (mv 2 / 2)  ( r )  интеграл механической энергии, то есть(mv 2 / 2)  ( r )  h ,(1.8)где v  v , v  r , а h  постоянная.1.3.1 Общая схема решения уравнений движенияРепер (O, i , j , k ) выберем так, чтобы r  r  ck , c  c (то есть k  c / c ), тогдаплоскость Лапласа ортогональна k , а сама она описывается равенством z  0 .

Движение точки M рассмотрим в плоскости Лапласа в цилиндрических координатахr, , z при z  0 . Так как r  r r , r  r r  r  ,  r    k (см. [19]), тоr  r  r r  ( r r  r  )  r 2 ( r   ) , и из (1.7) получаемr 2   ,(1.9)(  равна c или  c в согласии со знаком  ).

Так как проекция r на  r  r / r равна r  r 2 , то проектируя уравнение (1.2) на  r , получаемr  r 2  ( r )  0, ( r )  ( r )   / m ,и, используя еще равенство (1.9), получаем:r   2 r 3  ( r )  0(1.10)Итак, схема решения уравнения Ньютона (1.2) следующая: сначала решаетсяуравнение (1.10), а затем (1.9) (оба они разрешимы в квадратурах).1.3.2 Решение ньютоновской задачи двух телВ разделе 1.3.1 была рассмотрена общая схема решения задачи о движении материальной точки в произвольном центральном силовом поле. Здесь рассмотрим26частный случай: приведем формулы классической небесной механики, описывающие решение ньютоновской задачи двух тел в относительных декартовых координатах, то есть решение уравнений (1.3), которые выпишем здесь в координатнойформе (по аналогии можно выписать и решение уравнений (1.4)):i  i r 3 , i [1: 3], r  (1,2 ,3 ), r  12  22  32 ,     (m0  m) .(1.11)Траектория рассматриваемого движения на максимальном интервале времени эллипс, ветвь гиперболы, парабола или луч прямой.

Приведем один из вариантов формул, представляющих решение уравнений (1.11) в случае движения точки по эллипсу [1, 23, 34, 57, 66]:i / a  Ai 1  e2 sin E  Bi (cos E  e), i [1:3] , r / a  (1  e cos E) ,(1.12)A1   sin  cos   cos  sin  cos i, B1  cos  cos   sin  sin  cos i,A2   sin  sin   cos  cos  cos i, B2  cos  sin   sin  cos  cos i,A3  cos  sin i, B3  sin  sin i,E  e sin E  M ,M  M 0  n(t  t0 ) , n (1.13) / a3 ,(1.14)где a (большая полуось), e (эксцентриситет), M 0 (средняя аномалия эпохи t0 ), (долгота восходящего узла), i (наклон),  (аргумент перицентра) – элементы (произвольные постоянные), а E (эксцентрическая аномалия), M (средняя аномалия) – функции времени t .1.4 Построение моделей движения материальной точки в центральномполе классическим методом возмущений p - го порядка точностиНастоящий параграф написан на основе статей [16, 17] автора с тремя соавторами– Л.К.Бабаджанянцем, А.М.Брэгман и П.В.Касиковой.

В двух его пунктах предлагается новый метод решения неоднородных уравнений в вариациях для модели движения материальной точки в произвольном центральном силовом поле в пространстве произвольной конечной размерности и рассматривается новая схема алгоритмаклассического метода возмущений для случая таких силовых полей.271.4.1 Новый метод решения уравнений в вариациях для центральных полейРассмотрим движение материальной точки M массы m в центральном поле силF ( r ) относительно репера (O, i1,..., in ) в аффинном евклидовом пространстве E n .Движение этой точки при наличии возмущений удовлетворяет уравнениям Ньютона [19]:mx j  x j (r )  G j  x1,..., xn , t  ,j  1,..., n , r  OM  x1i1  ...

 xnin , r  r , ( r )  F ( r ) ,которые запишем в виде:x j  x j (r )  g j  x1,..., xn , t  , j  1,..., n .(1.15)Зададим начальные условия:x j (t0 )  x j 0 (или x(t0 )  x0 ),(1.16)а решение задачи Коши (1.15), (1.16) обозначимx(t , t0 , x0 )  ( x1 (t , t0 , x0 ),..., xn (t , t0 , x0 )) .Рассмотрим также невозмущенные уравненияx0j  x0j (r 0 ) (или x0  x0 (r 0 ) )(1.17)и начальные условияx0j (t0 )  x0j 0 (или x0 (t0 )  x00 ).(1.18)Вычитая уравнения (1.17) из уравнений (1.15), для возмущений  x  x  x0 , (или x j  x j  x0j ) получаем: x j   x j  r   x0j  r 0   g j  x1,..., xn , t .В первом приближении имеем:28x 0 (r 0 )   xk 0  jk 1 xkn x j  g j (x ,t)  0 g j ( x , t )   (r ) x j  x00 g j ( x , t )   (r ) x j 00где  (r ) n0j  (r 0 )k 1rx 0j  (r 0 )r00xk0 xk s,nd, s   xk0 xk .drk 1Если возмущения g j ( x, t ) считаются малыми по сравнению с x j (r ) , а начальныеданные в (1.18) выбраны так, что x 0 можно считать приемлемым начальным приближением для решения задачи Коши (1.15), (1.16), то полученные уравнения (первого приближения) x j   (r ) x j 0x0j  (r 0 )r0s  g j ( x0 , t )(1.20)называют уравнениями теории первого порядка относительно  x j [22, 57].

Отметим, что величина s отличается от r 0 (r  r 0 )  r 0 r на величину второго порядка малости по возмущениям  x j .Решение уравнений (1.20) связано с большими сложностями, хотя фундаментальная матрица принципиально может быть найдена согласно теореме Пуанкаре о том,что ее столбцы составлены из производных невозмущенных координат по независимым произвольным постоянным (входящим в общее решение невозмущенных уравнений). Кроме того, в статье [5] Ю.С. Александровым был предложен способ нахождения фундаментальной матрицы для произвольного потенциала, при n  3 . К сожалению, это не решает проблемы, так как главная трудность состоит не в построениифундаментальной матрицы, а в переходе от решения однородной системы (1.20) кнеоднородной, так как придется интегрировать дроби в числителе которых стоятопределители n  1 - го порядка, а в знаменателе определитель n - го порядка, элементы которых сложным образом зависят от элементов фундаментальной матрицы29и возмущающих функций g j .

В небесной механике для случая n  3 и центральногосилового поля Ньютона эти сложности преодолеваются некоторыми специальнымиприёмами [22]. В работе [11] была предложена идея, которая здесь (и в [16, 17]) реализуется для произвольного n и произвольного центрального поля. Она заключается в том, что:а) выводится линейное уравнение второго порядка относительно величины s ;б) подстановка выражения для s в уравнения (1.20) приводит к n отдельным неоднородным линейным уравнениям для величин  x j с известными правыми частями: x j   (r ) x j  g j ( x , t ) 00x0j  (r 0 )r0s, j  1,..., n .(1.21)Перейдем к выводу уравнения для s .

Прямым дифференцированием имеем:s    x 0j  x j  x 0j  x j  ,s    x 0j  x j  2 x 0j  x j  x 0j  x j  .nnj 1j 1Используя выражения для  x j из равенств (1.20), получаем:nnns   x  x j  2 x  x j   (r )s  r  (r )s   x 0j g j ( x 0 , t ) .j 10jj 10j000j 1Подставляя в это равенство x 0j из уравнений (1.17), получаем:ns  2 (r ) s  2q  r  (r ) s   x 0j g j ( x 0 , t ) ,000(1.22)j 1где использовано обозначениеnq   x 0j  x j .j 1Далее нам потребуется выражение для производной этой величины. Дифференцируя ее и используя формулы (1.17) и (1.20), последовательно выводим:30q    x 0j  x j  x 0j  x j  nj 1x 0j (r 0 ) 00  x  (r ) x j   x  g j ( x , t )   (r ) x j s 0rj 1j 1n (r 0 ) 0 0 n 0  (r 0 )  x 0j  x j  x 0j  x j  sr r   x j g j ( x 0 , t ),0rj 1j 1nn0j00jnq   (r ) s   (r ) sr   x0j g j ( x 0 , t ) .000(1.23)j 1Дифференцированием равенства (1.22) получаем:s  2 (r 0 )r 0 s  2 (r 0 ) s  2q  sd 0d n 0000r(r)r(r)sx j g j ( x 0 , t ).dtdt j 1Используя (1.23) и простые преобразования приходим к уравнению третьего порядкаотносительно величины s :s  (4 (r 0 )  r 0 (r 0 )) s  (4 (r 0 ) d 0(r  (r 0 ))) s dtnd n 00  x j g j ( x , t )  2 x 0j g j ( x 0 , t ).dt j 1j 1(1.24) x10xn0 ,...,Непосредственно видно, что наборы вида  , где a – какой-то параaaметр, от которого зависят координаты  x10 ,..., xn0  , удовлетворяют однородной системе (1.20) (т.

Характеристики

Список файлов диссертации