Диссертация (1149672), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

На последнем шаге, для x1,..., xn M получимсистему:xi / t j  Ri j ( x1,..., xnM ) , i  [1: n  M ] , j [1: s] ,(2.25)где Ri j - полиномы.Шаг 3. Вычисляем начальные значения для переменных xn1,..., xn M .Таким образом, исходная задача Коши сведена к полиномиальной.Приведенная на Рис. 2.2 блок-схема отражает описанный выше алгоритм сведения системы (2.18) к полиномиальной форме и соответствует тексту соответствующего раздела программы “AVM” (см. главу 4).2.5.3 Пример: сведение полной системы к полиномиальной формеЗдесь применяется алгоритм сведения к полиномиальной форме к задаче Коши дляполной системы, состоящей из шести уравнений в частных производных относительно трех функций двух аргументов и начальных условий. Правые части уравненийзаданы в терминах тех же функций, что и пример в п.

2.4.4 к алгоритму символьного66дифференцирования системы функций многих переменных. Как и упомянутый пример, тот, что будет здесь рассмотрен, также является иллюстративным и, в то жевремя - отладочным для программы “AVM” (см. главу 4). Реализация вручную алгоритмов для обоих примеров оказалась достаточно трудоемким и затратным по времени делом.

С другой стороны, рассмотрение подобных достаточно сложных примеров ради отладки программы “AVM” и иллюстрации алгоритмов было совершеннонеобходимым, а реализация содержательных реальных примеров при моделированиив задачах динамики на основе этих и других алгоритмов при помощи программы“AVM” будет рассмотрена в главе 5. Перейдем к разбору примера по шагам.Шаг 1. Пользователь заносит систему и начальные условия:x1 / t j  x33 (sin cos(a ln2 x2  bx3 )  b ln 4 x2 )  sin5 (a ln 2 x2  bx3 )  Dv( g 2 ,1, 1; x1 ),x2 / t j  x22 cossin(a ln 2 x2  bx3 )  cos4 (a ln 2 x2  bx3 )  EK j (sin sin(a ln 2 x2  bx3 ), x1 ),(2.26)x3 / t j  x1j (ch 2 (a ln 2 x2  bx3 )  sin(a ln 2 x2  bx3 ))  sh5 (a ln 2 x2  bx3 ) , j  1, 2 ,  (1, 2 )  (a, b) - вещественные постоянные (параметры),x1 (t0 )  x1,0 , x2 (t0 )  x2,0 , x3 (t0 )  x3,0Подбиблиотека состоит из объединения Пб1,…,Пб6, т.е.

из 12 функций:ln p, p 1,sin p,cos p, shp, chp ;EK ( p1, p2 ), EKs( p1, p2 ), EKc( p1, p2 ), EKi( p1, p2 ),Dv(a, b, c; p) , DV (a, b, c; p) .Шаг 2. Преобразуем систему (2.26) шаг за шагом (шаг 2.1, шаг 2.2,…), пока неполучим полиномиальную систему, применяя на каждом шаге элементарное преобразование к системе полученной на предыдущем шаге:Шаг 2.1(a) В качестве первой функции  ( P) возьмем, например, ln x2 .(b) Функциями расширения ln p будут функции: 1  ln p,2  p 1 , которые удовлетворяют системе:d1 / dp  2 , d2 / dp  22 .67Сообщение об ошибкеВХОД: заведение системыНетВозможно ли построение подбиблиотеки для исходнойсистемы?Заведение ипроверкаисходныхданныхДаПостроение подбиблиотеки для исходной системы.Формирование разделов и таблицы параметровЯвляется ли полиномиальной полученная системаНетПодготовкаНайти в системе функцию,аргументы которой –полиномыДаЗамена в системе функций расширенияновыми переменнымиПреобразованияДобавление к системе уравнений для функцийрасширения с заменой этих функций новымипеременнымиВывод таблицы параметров, переменных, начальных данных иуравненийВыводданныхРис.

2.2 Блок-схема алгоритма и программы сведениядифференциальных уравнений к полиномиальной формеВводим дополнительные переменные x4  ln x2 , x5  x21 .(c) Заменяя ln x2 , x21 во всех их вхождениях в правые части уравнений (9) наx4 , x5 соответственно, получаем новую запись этих исходных уравнений:68x1 / t j  x33 (sin cos(ax42  bx3 )  bx44 )  sin5 (ax42  bx3 )  Dv( g 2 ,1, 1; x1 ),x2 / t j  x22 cossin(ax42  bx3 )  cos4 (ax42  bx3 )  EK j (sin sin(ax42  bx3 ), x1 ),x3 / t j  x1j (ch 2 (ax42  bx3 )  sin(ax42  bx3 ))  sh5 (ax42  bx3 ) , j  1, 2 ,(d) Уравнения для введенных дополнительных переменных следующие:x4 / t j   ln x2 / t j  x21  x2 / t j  x5 ( x22 cossin(ax42  bx3 )  cos4 (ax42  bx3 )  EK j (sin sin(ax42  bx3 ), x1 ))x5 / t j  x21 / t j   x22  x2 / t j   x52 ( x22 cossin(ax42  bx3 )  cos4 (ax42  bx3 )  EK j (sin sin(ax42  bx3 ), x1 ))Итак в результате шага 2.1 получена система:x1 / t j  x33 (sin cos(ax42  bx3 )  bx44 )  sin5 (ax42  bx3 )  Dv( g 2 ,1, 1; x1 ),x2 / t j  x22 cossin(ax42  bx3 )  cos4 (ax42  bx3 )  EK j (sin sin(ax42  bx3 ), x1 ),x3 / t j  x1j (ch 2 (ax42  bx3 )  sin(ax42  bx3 ))  sh5 (ax42  bx3 ) , j  1, 2 ,x4 / t j   ln x2 / t j  x21  x2 / t j  x5 ( x22 cossin(ax42  bx3 )  cos4 (ax42  bx3 )  EK j (sin sin(ax42  bx3 ), x1 ))x5 / t j  x21 / t j   x22  x2 / t j   x52 ( x22 cossin(ax42  bx3 )  cos4 (ax42  bx3 )  EK j (sin sin(ax42  bx3 ), x1 ))Шаг 2.2 - Шаг 2.7.

Действуя аналогично, вводим переменныеx6  sin(ax42  bx3 ), x7  cos(ax42  bx3 ),x8  sh(ax42  bx3 ), x9  ch(ax42  bx3 ),x10  cosx6 , x11  sinx6 , x12  sinx7 , x13  cosx7 ,x14  EK ( x11 , x1 ), x15  EKs( x11 , x1 ), x16  EKc( x11 , x1 ), x17  EKi( x11 , x1 ),x18  Dv( g 2 ,1, 1; x1 ), x19  DV ( g 2 ,1, 1; x1 ),и в результате шага 2.7 получаем итоговую систему:.69x1 / t j  x33 ( x12  bx44 )  x65  x18j ,x2 / t j  x22 x10  x74  x14j ,x3 / t j  x1j ( x92  x6 )  x85 , j  1, 2 ,x4 / t j  x5 ( x22 x10  x74  x14j ),x5 / t j   x52 ( x22 x10  x74  x14j ),x6 / dt j  x7 (2ax4 x5 ( x22 x10  x74  x14j )  b( x1j ( x92  x6 )  x85 )),x7 / t j   x6 (2ax4 x5 ( x22 x10  x74  x14j )  b( x1j ( x92  x6 )  x85 )),x8 / t j  x9 (2ax4 x5 ( x22 x10  x74  x14j )  b( x1j ( x92  x6 )  x85 )),x9 / t j  x8 (2ax4 x5 ( x22 x10  x74  x14j )  b( x1j ( x92  x6 )  x85 )),x10 / t j   x11 x7 (2ax4 x5 ( x22 x10  x74  x14j )  b( x1j ( x92  x6 )  x85 )),x11 / t j  x10 x7 (2ax4 x5 ( x22 x10  x74  x14j )  b( x1j ( x92  x6 )  x85 )),x12 / t j   x13 x6 (2ax4 x5 ( x22 x10  x74  x14j )  b( x1j ( x92  x6 )  x85 )),x13 / t j  x12 x6 (2ax4 x5 ( x22 x10  x74  x14j )  b( x1j ( x92  x6 )  x85 )),x14 / t j  x15 x17 x10 x7 (2ax4 x5 ( x22 x10  x74  x14j )  b( x1j ( x92  x6 )  x85 ))  x17 ( x33 ( x12  bx44 )  x65  x18j ),x15 / t j  x15 x16 x17 x10 x7 (2ax4 x5 ( x22 x10  x74  x14j )  b( x1j ( x92  x6 )  x85 ))  x16 x17 ( x33 ( x12  bx44 )  x65  x18j ),x16 / t j   x152 x17 x10 x7 (2ax4 x5 ( x22 x10  x74  x14j )  b( x1j ( x92  x6 )  x85 ))  x15 x17 ( x33 ( x12  bx44 )  x65  x18j ),x17 / t j  ( x16 x172  x11 x152 x173 ) x10 x7 (2ax4 x5 ( x22 x10  x74  x14j ) b( x1j ( x92  x6 )  x85 ))  x11 x152 x173 ( x33 ( x12  bx44 )  x65  x18j ),x18 / t j  x19 ( x33 ( x12  bx44 )  x65  x18j )  x182 x19 ( x22 x10  x74  x14j )  x183 x19 ( x1j ( x92  x6 )  x85 ),x19 / t j   x18 ( g 2 x12  x1  1)( x33 ( x12  bx44 )  x65  x18j )  x182 x19 ( x22 x10  x74  x14j )  x183 x19 ( x1j ( x92  x6 )  x85 ).Исходные переменные и начальные данные:x1, x2 , x3; x1,0 , x2,0 , x3,0Дополнительные переменные и начальные данные для них:701x4  ln x2 , x5  x21; x4,0  ln x2,0 , x5,0  x2,022x6  sin(ax42  bx3 ), x7  cos(ax42  bx3 ); x6,0  sin(ax4,0 bx3,0 ), x7,0  cos(ax4,0 bx3,0 )22x8  sh(ax42  bx3 ), x9  ch(ax42  bx3 ); x8,0  sh(ax4,0 bx3,0 ), x9,0  ch(ax4,0 bx3,0 )x10  cos x6 , x11  sin x6 ; x10,0  cos x6,0 , x11,0  sin x6,0x12  sin x7 , x13  cos x7 ; x12,0  sin x7,0 , x13,0  cos x7,0x14  EK ( x11, x1 ), x15  EKs( x11, x1 ); x14,0  EK ( x11,0 , x1,0 ), x15,0  EKs( x11,0 , x1,0 )x16  EKc( x11, x1 ), x17  EKi ( x11 , x1 ); x16,0  EKc( x11,0 , x1,0 ), x17,0  EKi ( x11,0 , x1,0 )x18  Dv( g 2 ,1, 1; x1 ), x19  DV ( g 2 ,1, 1; x1 ); x18,0  Dv( g 2 ,1, 1; x1,0 ), x19,0  DV ( g 2 ,1, 1; x1,0 ).713.

Метод рядов Тейлора: модифицированный алгоритмЗдесь рассматривается алгоритм пошагового интегрирования дифференциальныхуравнений методом рядов Тейлора, который используют при построении численныхматематических моделей динамики.Очевидными преимуществами пошагового метода рядов Тейлора решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений по сравнению с другими пошаговыми методами можно считать возможность создания длянего сравнительно простых и эффективных алгоритмов выбора порядка и шага, атакже то, что на каждом шаге этим методом получают не очередное табличное значение решения, а представление его с заданной точностью полиномом на всем промежутке между узловыми значениями аргумента.

Тем не менее, раньше этот методредко применялся, так как считали, что основная сложность его реализации, состоящая в необходимости расчета производных решения порядков более единицы, прирасчете достаточно сложных реальных моделей непреодолима.В настоящее время отношение к методу рядов Тейлора изменилось: опубликовано на сегодняшний день много (сотни) посвященных ему работ, особенно работ,так или иначе связанных со сложными математическими моделями динамики,например, [6, 14, 18, 24, 67-70, 73-76, 81-83, 97-98, 100-101, 108-109, 113-114, 117,124]. Большая часть этих работ так или иначе связана или с алгоритмами автоматического дифференцирования или с возможностью сведения обыкновенных дифференциальных уравнений этих моделей к полиномиальной форме, то есть с идеей метода дополнительных переменных, которая восходит к работе Анри Пуанкаре [53,54, 115] (см.

выше, параграф 2.3)Основными задачами, которые решают при реализации (в автоматическом режиме) метода рядов Тейлора являются:а) автоматический выбор начального шага и порядка метода;б) автоматический выбор очередных величин шага и порядка;в) автоматическое (лучше – символьное) вычисление коэффициентов Тейлора.72В ряде работ предложены и реализованы алгоритмы, которые тем или иным способом решают все эти задачи, например, в упомянутых выше. Отвечающие за точность результата способы решения задач а), б) в этих работах хоть и различаются,но основаны на сходных идеях и имеют поэтому общие черты и детали, а вот задачав), отвечающая во многом за затраты машинного времени, решается в них не всегдана основе одних и тех же идей. Например, для нахождения коэффициентов Тейлорав [6, 14, 18, 24, 67, 68, 73] используется метод неопределенных коэффициентов, в[113, 114] - метод последовательных приближений Пикара, в [103, 104] применяютсячисленные методы, а в [69, 70, 74-76, 97, 98, 100, 101, 108, 109, 124] используютмощный метод аналитического дифференцирования.В параграфе 3.1 обсуждаются вопросы реализации метода рядов Тейлора для полиномиальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, а в параграфе3.2 предлагается алгоритм нахождения коэффициентов Тейлора для решения систем, принадлежащих классам s (m) , которые рассматривались в параграфе 2.1, исоответствующая модификация алгоритма Бабаджанянца-Большакова [14] решенияобыкновенных дифференциальных уравнений методом рядов Тейлора.3.1 Методы рядов Тейлора для полиномиальных системПрежде всего надо отметить, что когда мы говорим о полиномиальных системахдифференциальных уравнений, то должны иметь в виду, что можем к таковым свести любую систему классаs(m) при помощи алгоритма, который был предложеннами в параграфе 2.5.

Характеристики

Список файлов диссертации