Диссертация (1149672), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

Сообщения о них выводятся в окне с заголовком “Error” и кнопкой “OK”. Вот их список:1. "Fatal error opening link: ..." - ошибка соединения с Wolfram Mathematica. Либопрограмма Wolfram Mathematica не установлена, либо повреждена. Рекомендуетсяпереустановить Wolfram Mathematica и проверить корректность запуска. “AVM” запускает Wolfram Mathematica автоматически.2. "Fatal error: ..." - ошибка выполнения команды, отправленной в WolframMathematica. Рекомендации описаны в предыдущем пункте.3. "Function ... not found in library" - в исходных данных имеется вызов функции,которая не занесена в библиотеку. Нужно добавить функцию в библиотеку, либо исправить некорректное имя функции.4.

"Function ... has no string with argument 1" - некорректные данные в библиотеке.Функция должна иметь хотя бы одну строку с номером аргумента 1 (FArgN).5. "Extension list of func ... contains duplicate number ..." - в списке расширенияфункции есть повторяющийся номер.6. "Wrong number ... is placed in extension of function ..." - в списке расширенияфункции есть номер, не соответствующий ни одной функции.7. "Func ... doesn't contain its number in extension list" - список расширения долженсодержать номер самой функции.8. "Wrong number of t<number> in <polynom>" - полином в RSHPoly может содержать переменные t<number>, где 1 <= number <= число аргументов функции.

В данном случае номер переменной либо меньше 1, либо больше числа аргументов.9. "Function ...: Expression in RSHPoly ... is not a polynom" - выражение в графеRSHPoly не является полиномом.924.7 Getting Started: примерКак отмечалось в разделе 4.4 и как можно понять из содержания главного окна,которое появляется сразу после запуска исполняемого файла AVM.exe, при помощинашей программы пользователь может решать две группы задач:“Reduction&TCs”  сведение задаваемой пользователем полной системы уравнений в частных производных первого порядка и, в частности, системы обыкновенных дифференциальных уравнений к полиномиальной форме,нахождение в символьной форме частных производных и коэффициентов Тейлора(задаваемых пользователем порядков) решения этой системы,“Differentiation&TCs”  нахождение в символьной форме частных производных и коэффициентов Тейлора (задаваемых пользователем порядков) всех функцийиз задаваемой системы функций многих переменных.Решаем задачи первой группыОбратимся здесь к третьему примеру из раздела 2.3.4 с тем, чтобы продемонстрировать пользователю, как решать все эти задачи при помощи “AVM”, причем, радипростоты, положим i  1, 2,3, j  1, 2 , то есть рассмотрим полную систему относительно трех функций x1 , x2 , x3 двух переменных t1 , t2 .

В качестве ai , j возьмем простыеквадратичные и кубические полиномы. Запишем эту систему, используя синтаксисWolfram Mathematica для формул:D[x1,t1] = (a1*x1^2 + b1*x2 + c1)*Sin[Fi1[x1,x2,x3]] + (c1*x2^2 + b1*x1 +a1)*Cos[Fi1[x1,x2,x3]]D[x1,t2] = (a2*x1^3 + b2*x3 + c2)*Sin[Fi1[x1,x2,x3]] + (c2*x3^2 + b2*x2 +a2)*Cos[Fi1[x1,x2,x3]]D[x2,t1] = (a3*x1^2 + b3*x2 + c3)*Sin[Fi1[x1,x2,x3]] + (c3*x2^2 + b3*x1 +a3)*Cos[Fi1[x1,x2,x3]]D[x2,t2] = (a4*x1^3 + b4*x3 + c4)*Sin[Fi1[x1,x2,x3]] + (c4*x3^2 + b4*x2 +a4)*Cos[Fi1[x1,x2,x3]]93D[x3,t1] = (a5*x1^2 + b5*x2 + c5)*Sin[Fi1[x1,x2,x3]] + (c5*x2^2 + b5*x1 +a5)*Cos[Fi1[x1,x2,x3]]D[x3,t2] = (a6*x1^3 + b6*x3 + c6)*Sin[Fi1[x1,x2,x3]] + (c6*x3^2 + b6*x2 +a6)*Cos[Fi1[x1,x2,x3]]Здесь Fi1 – функция Гильберта, описанная в 2.2.2, Пб7, а D[a,b] – производнаявыражения a по переменной b. Данная система дифференциальных уравнений очевидно не является полиномиальной.Заполнение библиотекиФункции, которые встречаются в правых частях, необходимо занести в библиотеку.

Для начала просто выпишем их: Sin, Cos, Fi1.Синусу и косинусу присвоим номера 1 и 2. В библиотеку они заносятся так:Рис. 4.3. Функции sin, cos занесены в библиотекуС функцией Fi1 немного сложнее. Необходимо в расширение добавить Fi2 и занести для каждой функции столько строк, сколько у нее аргументов (т.е. по тристроки). Номера присвоим соответственно 3 и 4. Производные этих функций по аргументам описаны в разделе 2.2.2, Пб7. Итоговая библиотека будет выглядеть как наРис. 4.4.Напомним:в графе RSHPoly переменные x1, x2,... означают вызов функции с соответствующимномером, а переменные t1, t2,...

означают явное использование аргументов соответствующих функций из графы IVFun.94Рис. 4.4. Библиотека из четырех функций: sin, cos, Fi1, Fi2Занесение системы уравненийЗайдем в таблицу уравнений, кликнув кнопку Equations:Рис. 4.5. Окно EquationsВ графу Expression занесем правые части, в NumberVar – номер функции (не избиблиотеки, а из системы уравнений), а в NumberArg – номер аргумента, по которому берется производная. Заполненная таблица выглядит как на Рис.

4.6.Рис. 4.6. Система уравнений, занесенная в окне Equations95Занесение начальных данныхТаблица начальных данных доступна для заполнения по кнопке InitData. Она содержит 2 графы: Number и Value. Номера начинаются с 1 и должны совпадать с номерами тех функций, начальные значения которых здесь задаются. В примере функции и их начальные значения нулевые.

Заполненная таблица выглядит так:Рис. 4.7. Заполненная таблица начальных данных (они нулевые)ВычислениеКликаем на Calculate, через некоторое время появится подменю, позволяющеепосмотреть результаты вычислений. Нажимаем кнопку Results.Просмотр результатов.Подменю будет выглядеть так:Рис. 4.8. Подменю “Просмотр Результатов”Выбираем любой из шести пунктов в нижней строке меню, чтобы посмотретьсоответствующие результаты.Систему дифференциальных уравнений, приведенную к полиномиальному виду,можно посмотреть, кликнув на NewEqs (см.

Рис. 4.9). Здесь мы видим «старые»строки (NumberVar = 1,...,3), однако правые части имеют полиномиальный вид, в них96добавились новые переменные. Дополнительные строки представляют собой производные новых переменных (x4-x7) по исходным аргументам (t1-t2).4.9. Исходная полная система сведена к полиномиальной формеВыражения новых переменных через старые смотрим в Nvars:аоаРис. 4.10.

Новые (дополнительные) переменные как функции исходныхПервые производные новых переменных по старым (они же приведены и в дополнительных строках в системе дифференциальных уравнений — см. Рис. 4.9)можно посмотреть в NVDers (см. Рис. 4.11).97Рис. 4.1.1 Первые производные новых переменных по исходным аргументамЧтобы получить производные новых переменных более высоких порядков,нужно задать порядок либо интервал порядков производных в текстовом полеTC'sOrder m-n. Если поле пустое, то берется только первая производная.

Еще разнажмем Calculate и таблица производных новых переменных будет как на Рис.4.12.Кнопки SolDers и SolDers позволяют посмотреть найденные соответственнопроизводные и коэффициенты Тейлора решений заданных пользователем порядков(в поле «TC'sOrder m-n»). Если поле осталось пустым, то считаются только производные и коэффициенты Тейлора первого порядка, которые просто совпадают с правыми частями исходной системы, приведенными к полиномиальному виду. Если задан интервал более высокого порядка, то будут найдены все частные производные икоэффициенты Тейлора, порядки которых находятся в этих пределах.Решаем задачи второй группыЗадание исходных функций для дифференцированияВ главном меню кликаем кнопку Differentiation&TCs, а в открывшемся подменювыбираем Functions (см.

Рис. 4.12) и заносим шесть правых частей рассматриваемойполной системы в таблицу: эти правые части теперь рассмотрим просто как некоторую заданную систему из шести функций y1,..., y6 трех переменных x1, x2 , x3 .98Рис. 4.12. Исходная система функцийПоставим перед собой задачу: найти для функций этой системы все частные производные и коэффициенты Тейлора первого и второго порядка.ДифференцированиеВ поле Deriv'sOrder m-n задаем интервал 1-2 и кликаем Calculate, затем Results:Результат дифференцирования можно посмотреть, нажав кнопку NvDers.Функции, приведенные за счет использования новых переменных, к полиномиальному виду, можно посмотреть по кнопке NewFunctions, новые переменные —Nvars, их производные — NvDers, коэффициенты Тейлора — Tcs.

Здесь производные берутся по исходным переменным x1-x3. Левая колонка содержит номер новойпеременной, правая — номера исходных аргументов, разделенные запятыми, в порядке дифференцирования. Например, «1,2» означает взятие производной сначалапо аргументу t1, затем по t2.995. Построение моделей динамики с использованиемпрограммы “AVM”Настоящая глава состоит из двух параграфов. В разделах 5.1.1, 5.1.2, 5.1.3 первогоиз них рассматриваются выведенные нами вручную и занесенные в библиотеку полная полиномиальная система для уравнения Кеплера и две полные полиномиальныесистемы для эллиптической ньютоновской задачи двух тел. В разделе 5.1.4 приводится максимальная полная полиномиальная система для эллиптической ньютоновской задачи двух тел, полученная при помощи программы “AVM” на основе результатов трех предыдущих разделов. Далее, в разделе 5.1.5, выписываем полученныедля той же задачи двух тел (также при помощи “AVM”) частные производные (довторого порядка) координат и скоростей по времени и шести элементам Эйлера.

Этипоследние результаты довольно объемны, они приводятся в Приложении 1.Во втором параграфе два раздела. В первом из них приводятся уравнения задачиN тел в полиномиальной форме, а во втором рассматривается полнуая полиномиальная система для задачи трех тел в оскулирующих элементах Эйлера, полученная припомощи программы “AVM” на основе результатов предыдущего параграфа. Система состоит из 68 уравнений, она приводится в Приложении 2.5.1 Модели движения в центральных силовых поляхУравнения задачи двух тел и формулы эллиптического движения. Рассмотримуравнения движения точки в центральном ньютоновом поле (см.

(1.11))i  i r 3 (или i  i , i  i r 3 ), i [1: 3](5.1)и общее решение этих уравнений для эллиптического случая (см. (1.12)  (1.14)):i  a( Ai 1  e2 sin E  Bi (cos E  e)) , r  a (1  e cos E) ,i   a1/2 (1  e cos E )1 ( Ai 1  e2 cos E  Bi sin E ), i [1: 3]A1   sin  cos   cos  sin  cos i, B1  cos  cos   sin  sin  cos i,A2   sin  sin   cos  cos  cos i, B2  cos  sin   sin  cos  cos i,A3  cos  sin i, B3  sin  sin i,(5.2)E  e sin E  M ,(5.3)M  M 0  n(t  t0 ) , n   / a3 ,(5.4)100где a (большая полуось), e (эксцентриситет), M 0 (средняя аномалия эпохи t0 ), (долгота восходящего узла), i (наклон),  (аргумент перицентра) – кеплеровские элементы, а E (эксцентрическая аномалия), M (средняя аномалия) - функции времени t ,а i ,i  i - координаты и скорости точки (в относительной системе координат).Используемые функции и аргументы.

В п. 5.1.1.1 выписывается полная системадля эксцентрической аномалии как функции эксцентриситета и средней аномалии, вп. 5.1.1.2 выводится полная система также для эксцентрической аномалии, котораярассматривается как функция времени и трех кеплеровских элементов  полуоси, эксцентриситета и начального значения средней аномалии. В п. 5.1.2 выводится полнаясистема для координат, рассматриваемых как функции тех же четырех аргументов идалее в п. 5.1.3 получается полная система для величин Ak , Bk , k  1,2,3 ;A4  sin  cos i, B4  cos  cos i, A5  sin , B5  cos   функций аргументов i, ,  .№пФункцииАргументы5.1.11  E , 2  sin E, 3  cos E, 4  (1  e cos E)11  e,  2  M5.1.11  E , 2  sin E, 3  cos E, 4  (1  e cos E )1 , 5  a 1/2t1  t , t2  a,t3  e, t4  M 01  E , 2  sin E , 3  cos E , 4  (1  e cos E ) 1 ,5.1.25  a 1/2 , 6  (1  e2 )1/2 , 7  (1  e2 ) 1/2 , 8  1 ,t1  t , t2  a,t3  e, t4  M 09   2 , 10  3 , 11  1 , 12  2 , 13  314  A1 ,15  A2 ,16  A3 , 17  B1 ,18  B2 ,19  B35.1.320  A4  sin  cos i, 21  B4  cos  cos i,22  A5  sin , 23  B5  cos 1  E , 2  sin E , 3  cos E , 4  (1  e cos E ) 1 ,5  a 1/2 , 6  (1  e2 )1/2 , 7  (1  e2 ) 1/2 , 8  1 ,5.1.4t5  i, t6  , t7  9   2 , 10  3 , 11  1 , 12  2 , 13  3Таблица 5.1t1  t , t2  a,t3  e, t4  M 0t5  i, t6  , t7  101Наконец, в п.5.1.4 координаты и скорости рассматриваются как функции времении всех шести элементов.

Характеристики

Список файлов диссертации