Диссертация (1149672), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Для получения оценок радиуса сходимости и остаточного члена ряда Тейлорарешения системы ОДУ, она сводится к полиномиальной системе (в первой форме)при помощи алгоритма, который был предложен в параграфе 2.5, а затем получаемтребуемые оценки при помощи Предложений 1-4 из п.В1.3.2. Оценки получаются ваналитической форме, один раз перед применением алгоритма. Они используются валгоритме априорного выбора шага В.2.1.2Вторая форма полиномиальной системы и построение схемы в М-алгоритме нетребуются: для вычисления коэффициентов Тейлора используем алгоритм, предложенный выше в п.3.1.2.1 вместо предлагаемого в В-2.4.Итак, в отличие от В-алгоритма, М-алгоритм предназначен для решения системОДУ классовs(m) , а не полиномиальных систем.
Хотя такие системы и сводятся83к полиномиальным, последние нужны только для получения аналитических оценок,что можно сделать программно, а в построении схемы нет необходимости.Надо отметить еще, что коэффициенты Тейлора можно также вычислять методоманалитического дифференцирования, как это делается, например, в программах[100] или [124].3.2.2.2 Пример.В параграфе 5.1 пятой главы, приводятся уравнения задачи двух тел в относительных координатах, и обсуждается вопрос о нахождении коэффициентов Тейлора решения этих уравнений.
Соответствующие формулы для коэффициентов Тейлораприводятся в Приложении 1. Здесь рассматривается в качестве тестового примеразадача двух тел «Солнце – Нептун». Она решалась при помощи программы TSMRБольшакова-Бабаджанянца [14] и программы TSMRAVM, которая отличается отпервой тем, что в ней подпрограмма вычисления коэффициентов Тейлора была заменена в соответствии с алгоритмом, описанным выше в п. 3.2.2.1. Резултаты расчетов приведены в таблице 3.1.ПрограммаОтносительная погрешностьМашинное время (сек)TSMR0.00000221.4TSMRAVM0.00000210.3Таблица 3.1.
Погрешности и машинное время для задачи двух тел«Солнце – Нептун» на промежутке в 2 млн летНачальные данные и величина массы Нептуна взяты из работы [14]. При расчетахучитывалось 16 цифр в мантиссе. Расчеты проводились на ПК Intel Core i7 960 CPU,3.2 GHz, ОЗУ 24 Gb, Windows 7 x64. В качестве компилятора использовался IntelFortran 12.Заметим, что среди ближайших задач по совершенствованию программы AVMпредполагается и реализация в самом общем виде модифицированного метода рядовТейлора, предложенного в настоящей главе.844. Программа “AVM”: Краткое Руководство ПользователяПрежде всего, назовем здесь те многие литературные источники по программированию, которыми автор пользовался при создании этой программы: [77, 78, 84-86,89, 95, 96, 99, 110, 120-123, 125, 128].Программу можно скачать со страницы автора:http://www.apmath.spbu.ru/ru/staff/bregman/.Там же можно посмотреть и статьи автора, на которые есть ссылки в тексте диссертации.
Прежде, чем пользоваться программой, хотя и не обязательно, но было быполезно бегло ознакомиться с параграфами 2.1, 2.2, 2.4, 2.5 диссертации.4.1 Начальные сведенияПрограмма символьных вычислений “AVM” позволяет:находить в символьной форме частные производные и коэффициенты Тейлорафункций многих переменныхнаходить в символьной форме частные производные и коэффициенты Тейлорарешений полных систем уравнений в частных производных первого порядка и,в частности, систем обыкновенных дифференциальных уравненийсводить полные системы уравнений в частных производных первого порядка и,в частности, системы обыкновенных дифференциальных уравнений к полиномиальной формеОт функций и правых частей дифференциальных уравнений требуется:они должны быть заданы как конечные суперпозиции четырех действий арифметики и функций, включенных в библиотеку программы “AVM”они должны быть выражениями, синтаксически корректными с точки зренияпакета Wolfram Mathematica.
Для удобства заведения уравнений, возможна ихзапись в рамках пакета Wolfram Mathematica с последующим копированием впрограмму “AVM”85Еще о библиотеке, функциях и правых частях уравнений:пользователь может неограниченно пополнять библиотеку необходимыми емуфункциями (дифференциальными уравнениями, которым эти функции удовлетворяют) и заводить сколько угодно своих отдельных библиотек (подробнее обиблиотеках см. ниже и в параграфе 2.2)кроме дифференциальных уравнений, пользователь может задавать и начальные данныефункции (системы функций), начальные данные для дифференциальных уравнений и правые части дифференциальных уравнений (тех, что содержатся в задании пользователя и тех, что содержатся в библиотеке) могут зависеть от параметров, и эта зависимость должна быть синтаксически корректна с точки зрения пакета Wolfram Mathematica.4.2 Системные требованияСледует иметь в виду, что данная версия предназначена для работы в рамках 64битной операционной системы Microsoft Windows (7 или выше) и, кроме того, накомпьютере должны быть установлены следующие программы:1.Wolfram Mathematica, 64-битная версия 8.0 или выше, - это коммерческая про-грамма, см.:http://www.wolfram.com/2.Java, 64-битная версия, - текущий вариант этой программы можно загрузитьбесплатно с адреса:http://www.java.com/3.Visual C++ Redistributable for Visual Studio 2012 (64-битная версия) - можно за-грузить бесплатно с адреса:http://www.microsoft.com/en-US/download/details.aspx?id=30679864.3 Подготовка к работеНеобходимое условие работы программы:на компьютере должно быть установлено все программное обеспечение, котороеуказано в разделе 4.2 «Системные требования».После запуска программы, возможно изменение размера шрифтов:нажатием комбинации “Ctrl”+”=” размер шрифтов увеличивается, а “Ctrl”+ ” ” уменьшается.
После запуска появляется главное окно программы:Рис. 4.1. Главное окно AVM.exe4.4 Работа с программойПосле клика мышкой по любой из четырех кнопок линейки меню в верхней частиэкрана, появится соответствующее окно. Далее от пользователя потребуется:87либо выбор (щелчком мыши) пунктов меню (тех, что есть на главном окне или тех,что дополнительно появятся в результате выбора ранее тех или иных пунктов меню),либо занесение данных в таблицы, либо просмотр результатов и работа с ними.Работа с таблицами вполне очевидна:каждое окно с таблицей содержит строку меню с пунктами “Add row before”, “Addrow after”, “Delete row”, “Open”, “Save”, “Save as”, имеющими привычный смысл.Что касается выбора пунктов меню, то:во-первых, если навести курсор на пункт меню, то появляется подсказка, описывающая назначение данного пункта и, во-вторых, с назначением пунктов можно разобраться по следующей таблице:Пункты менюНазначениеСимвольное вычисление частныхDifferentiation&TCsпроизводных и коэффициентов Тейлора функций многих переменныхЗанесение одной или более функцийDifferentiation&TCs >Functionsмногих переменных, которыедолжны быть продифференцированыВычисляются все производные вве-Differentiation&TCs > Calculateденной пользователем системы функций (в заданном диапазоне порядков)Задается диапазон порядков (m-n), вDifferentiation&TCs > Deriv’sOrderкотором должны быть вычисленыm-nпроизводные введенных функцийПоявляется еще одна строка меню спунктами: “NewFunctions”, “Nvars”,Differentiation&TCs > Results“NvDers”, “FunDers”, “TCs”, в любойиз которых можно зайти и посмотреть соответствующие результаты88Исходная система функций, предDifferentiation&TCs > Results> New- ставленная в форме полиномов поFunctionsисходным и новым переменнымDifferentiation&TCs > Results>Новые (дополнительные) перемен-Nvarsные, введенные программойПроизводные по исходным независимым переменным от новых (допол-Differentiation&TCs > Results>нительных) переменных, представ-NvDersленные в форме полиномов по всем(зависимым) переменнымПроизводные по исходным независимым переменным, от исходныхDifferentiation&TCs > Results> Fun-функций, представленные в формеDersполиномов по всем (зависимым) переменнымКоэффициенты Тейлора заданной системой функций в их разложении вDifferentiation&TCs > Results> TCsряд Тейлора по исходным независимым переменным, представленные вформе полиномов по всем (зависимым) переменнымПункты менюРезультатСведение полной системы дифференциальных уравнений к полиномиаль-Reduction&TCsному виду и вычисление коэффициентов Тейлора ее решения89Система дифференциальных уравнений, которую пользователь вводит, стем чтобы либо свести ее к полиноReduction&TCs > Equationsмиальной форме, либо вычислитьпроизводные и коэффициенты Тейлора ее решенияНачальные данные для системы диф-Reduction&TCs > InitDataференциальных уравненийЗадается диапазон порядков (m-n), вкотором должны быть вычисленыReduction&TCs > TC’sOrder m-nпроизводные и коэффициенты Тейлора решений дифференциальныхуравненийПо данным введенным в пунктахReduction&TCs > Calculate“Equations”, “InitData” и “TC’sOrder”получить требуемые результатыВведенная пользователем исходнаясистема дифференциальных уравне-Reduction&TCs > Results> NewEqsний, представленная в полиномиальной форме (по исходным и новым переменным)Начальные данные для исходных иReduction&TCs > Results> NewIDновый переменныхДополнительные переменные введенные с тем чтобы свести исходную си-Reduction&TCs > Results> Nvarsстему дифференциальных уравненийк полиномиальной формеDifferentiation&TCs > Results>Производные новых переменных поNvDersнезависимым переменным90Производные по независимым переReduction&TCs > Results> SolDersменным решения заданной дифференциальной системыКоэффициенты Тейлора в разложении решения заданной дифференци-Reduction&TCs > Results> SolTCsальной системы по независимым переменным4.5 Работа с библиотекойПри клике в главном меню на кнопку “Library”, появляется следующее окно:Рис.
4.2 Библиотека91Назначение кнопок “Add row before”, “Add row after”, “Delete row”, “Open”,“Save”, “Save as”, можно найти самостоятельно, попробовав использовать их. Оназначении каждой из колонок библиотеки можно прочитать в пункте 2.2.4.6 Сообщения об ошибкахВ ходе исполнения программы могут возникать ошибки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
