Диссертация (1149672), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

е. (1.20), где g j ( x0 , t )  0 ). Поэтому из способа вывода следует, чтофункция видаx 0j1 (r 0 ) 2  xa 2 aj 1n0j(1.25)удовлетворяет однородному уравнению (1.24).Интегрируя (1.24) в пределах от t0 до t , получаем уравнение второго порядка:31tn 000s   4 (r )  r  (r )  s      x j g j ( x , t )  2 x 0j g j ( x 0 , t )dt ,j 1 t000n   s   4 (r 0 )  r 0 (r 0 )  s   x 0j g j ( x 0 , t )  .j 1 t t0Посколькуs   x0j g j ( x 0 , t )  2 x 0j  x j   2 (r 0 )  r 0 (r 0 )  s,nnj 1j 1то имеем: n   2 x 0j  x j  2 (r 0 ) s  . j 1 t t0Итак, получаем:s   4 (r 0 )  r 0 (r 0 )  s  G (t ),tn  nG (t )  2   x 0j  x j   (r 0 ) s     x 0j g j ( x 0 , t )  2  x 0j g j ( x 0 , t )dt . j 1t t0 j 1 t0(1.26)Если известны три линейно независимые функции  1 ,  2 , 3 вида (1.25) , томожно утверждать, что любое решение однородного уравнения (1.26) имеет вид:  1 1   2 2   3 3 ,где 1 ,  2 ,  3 – постоянные.Таким способом можно найти фундаментальную систему решений уравнения(1.26).

После этого можно решить и неоднородные уравнения (1.21).1.4.2 Новая схема реализации классического метода возмущенийДля построения модели движения точки в центральных силовых полях часто применяют классический метод возмущений к уравнениям вида (1.15):32x j  x j (r )   g j  x, t  , x  ( x1,..., xn ) , r  x12  ...  xn 2 , j  1,..., n ,(1.27)где  – искусственно введенный «малый» параметр (при   0 они совпадают с невозмущенными уравнениями (1.17), а при   1  с уравнениями (1.15)).Начнем здесь с уравнений для возмущений (см.

(1.19)): x j  ( x0j   x j )  r 0   r   x0j  r 0    g j  x0   x, t  , j  1,..., n , x j    r 0  x j  x 0j   r 0   r     r 0   x j   r   r     r00   g  x0j  x, t j  1,..., n .,(1.28)Так как r   r    r   00  ! ...  !  1 1 ... n  1 ,..., n 0  ! ...

 ! 11 ... n 11 ,..., n 01n1n1 1 ... n (r ) ( x1 )1  ...  ( xn ) n ,n 1 x1 ...xn  x x0 1 ... n (r ) ( x1 )1  ...  ( xn ) n n 1 x1 ...xn  x x0n  (r )   (r )   (r 0 )s, s   xk0 xk ,  x1  ...    xn 0rk 1 x1  x x0 x1  x  x0g j  x   x, t     ! ...  ! 01 0 1 ... n  1 ,..., n 0n1 1 ... n g j ( x, t )  ( x1 ) 1  ...

 ( xn ) n ,n1 x1 ...xn x  x0то уравнения (1.28) можно записать в следующем виде: x j    r 0  x j  x 0jDj   r0s  D j , j  1,..., n ,   ! ...  !  0 1 ... n 1 ,..., n 0 ( x   x j )0j  (r 0 )1n1 1 ... n g j ( x, t )   (r 0 )n1s x j  ( x1 )  ...  ( xn ) n10x...xr1n x  x0  ! ...  !   2 1 ... n  1 ,..., n 01(1.29)n1 1 ... n (r ) ( x1 )1  ...  ( xn ) n .n 1 x1 ...xn  x x033Уравнение (1.29) решаем методом, изложенным в предыдущем пункте, а производные в D j находим по алгоритму символьного дифференцирования систем функций многих переменных, который будет предложен в параграфе 2.4 (см. следующуюглаву).

Если в D j удерживаются слагаемые до порядка p по  x1,..., xn , то говорят,что строится модель возмущенного движения p - го порядка точности.342. Метод дополнительных переменных: новые алгоритмыНастоящая глава составляет теоретическую и алгоритмическую основу методикипостроения математических моделей динамики, рассматриваемых в диссертации.Она написана по работам Л.К. Бабаджанянца [12], автора в соавторстве с Л.К. Бабаджанянцем [15], автора [25-27] и содержит ряд инструментов символьных вычислений, которые используются во всех остальных главах диссертации.

Среди этих инструментов назовем алгоритмы символьных вычислений, предлагаемые в параграфах 2.3, 2.4, 2.5, но центральным из инструментов является включенная в программу“AVM” (см. главу 4) библиотека. Библиотека содержит имена функций и дифференциальные системы, которым эти функции удовлетворяют. Главная ценность библиотек в том, что они, во-первых, позволяют реализовывать предлагаемые в диссертации символьные алгоритмы на основе единой идеи метода дополнительных переменных (см.

параграф 2.3) и, во-вторых, благодаря тому, что пользователь можетпополнять библиотеки новыми необходимыми ему функциями и уравнениями (возникшими, например, в ходе новой научной работы), упомянутые алгоритмы он сможет применять к функциям и уравнениям, не включенным на текущий момент в пакеты компьютерной алгебры «Wolfram Mathematica», «Maple» и т.п. В то же время,все допустимые в упомянутых выше алгоритмах функции и дифференциальныеуравнения, включенные в эти пакеты, легко включаются и в библиотеки программы“AVM” и могут там корректироваться и обобщаться.

Библиотеки могут содержать(постепенно пополняясь) сотни и тысячи функций, а точнее их имен и дифференциальных систем, которым эти функции удовлетворяют. Последнее фактически означает, что библиотека содержит не просто конечный набор функций, а все решениясодержащихся в ней дифференциальных систем. В связи с этим, при формированиипользователем заданий в терминах имеющихся в библиотеке имен функций, он,наряду с любым таким именем "FuncName", может использовать любые имена вида"FuncName99AdditionalName",где"99"-обязательныйсепаратор,а"AdditionalName" – любой набор символов.

Тогда программа "добавит" виртуальнов библиотеку имя функции "FuncName99AdditionalName" и такие же, как для35"FuncName" дифференциальные уравнения. Разумеется, физически в библиотеку ничего не добавляется – все осуществляется на уровне довольно простой логики: в процессе поиска в библиотеке уравнений, соответствующих имени с сепаратором, сепаратор и все последующее игнорируется и т.д.2.1 Дифференциальные уравнения, классы функций и библиотекиС различными обозначениями, связанными с полными системами уравнений вчастных производных, которые здесь рассматриваются, можно ознакомиться, например, по книгам [30, 63].

В то же время, теория таких систем нам не понадобится,так как мы будем пользоваться ими формально алгоритмически, для построениябиблиотек функций, удовлетворяющих таким системам. Читатель далее сможет вэтом убедиться.Дифференциальные уравнения. Если принять обозначенияx  ( x1 ,..., xm )  C m , t  (t1 ,..., ts )  C s ,   (1 ,...,  )  C ,dx  (dx1 ,..., dxm ), dt  (dt1 ,..., dts ) , x / t  (xi / t j ) , f  ( fi j ) , fi j  C ,то полную систему дифференциальных уравнений (т.е. систему уравнений в частных производных первого порядка, разрешенных относительно производных), можно записать в одной из форм по выбору:xi / t j  fi j ( x,  ) , i [1: m] , j [1: s] ,(2.1)x / t  f ( x,  ) , dx  f ( x,  )dt .Для системы ОДУ, то есть при s  1 , они сводятся к виду:dxi / dt  fi ( x,  ) , i [1: m] ,dx / dt  f ( x,  )(2.2)36Далее рассмотриваются разные множества (классы) правых частей в (2.1), тоесть различные классы скалярных функций переменной x  ( x1,..., xm ) , и символомs( ) будем обозначать класс систем (2.1), для которых все fi j  .Классыm, ,s(ms),( ) .

Класс полиномов по x1,..., xm , коэффициенты которыхвозможно зависят от параметра  , назовемпо m[1: ) обозначим( ) илиторой все fi j принадлежатmm( ) или простоm, а объединение их. Полиномиальной назовем систему (2.1), в ко-. Очевидно, чтоs( )  m1s(m).Классы  . Будем говорить, что комплексная (или вещественная) скалярная функция   C переменной x  ( x1 ,..., x )  C (или R ) удовлетворяет полиномиальной системе, если она - одна из компонент вектор-функции  решения некоторой полиномиальной системы.

Класс скалярных функций переменной x  ( x1 ,..., x ) , которые удовлетворяют полиномиальной системе, назовем символом  . Любая функция аргумента x  ( x1 ,..., x )  C класса  является и функцией аргумента x  ( x1 ,..., x )  C11122класса  при 1   2 . Поэтому можно и, ради удобства, следует предполагать, что2истинно утверждение 1   2     , то есть 1  2  ... .12Многие специальные функции математической физики, представленные в справочной литературе, принадлежат 1 и, тем более,  при   1 .Расширения и библиотеки. Если   , то существует вектор-функция 1,...,n  решение полиномиальной системы, где 1 = . Расширением называют множество функций 1,...,n  .

Объединение расширений нескольких функций называютбиблиотекой. Библиотека содержит набор полиномиальных систем, а не задач Коши. Всякое подмножество библиотеки называют подбиблиотекой, если оно само является библиотекой. Библиотеку называют автономной или неавтономной соответственно тому, какими уравнениями она представлена – автономными или неавтономными. Естественно пользоваться как автономными, так и неавтономными библиотеками, хотя можно было бы ограничиться автономными библиотеками, так какнеавтономную всегда можно свести к автономной.37Разделом называют подбиблиотеку, которая не пересекается ни с одной другойподбиблиотекой, не являющейся ее частью.

Объединение разделов является разделом. Раздел называют простым, если он не содержит других разделов. Библиотекаявляется объединением своих разделов, она делится на разделы и сама может бытьсвоим единственным разделом.В параграфе 2.2 будет рассмотрена достаточно гибкая модель библиотеки, которая реализована в рамках программы “AVM” (см. главу 4) в форме таблицы, состоящей из потенциально неограниченного количества строк и фиксированного количества столбцов (на настоящее время  одиннадцати) и содержащая имена функцийи дифференциальные системы, которым эти функции удовлетворяют (а также инуюнеобходимую информацию). Функции библиотеки (т.е. соответствующие им дифференциальные системы) могут зависеть от конечного числа параметров. Библиотекможет быть много, причем пользователь может неограниченно пополнять их и создавать новые.Классы функций.

Характеристики

Список файлов диссертации