Диссертация (1149672), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Так или иначе, это означает необходимость решения или качественного исследования дифференциальных уравнений модели  аналитически и/или численно.Аналитические (символьные) результаты считаются важными потому, что с их помощью можно непосредственно качественно исследовать свойства модели в зависимости от различных параметров и, кроме того, с их помощью зачастую можно построить более эффективные схемы численных экспериментов. В качестве примера,можно привести метод возмущений, позволивший классикам естествознания построить общие и специальные аналитические модели движения небесных тел (см.,например, [22, 33]).

В качестве другого примера, скажем об одном из эффективныхметодов пошагового численного интегрирования задачи Коши для обыкновенныхдифференциальных уравнений  методе рядов Тейлора: применение методов аналитического [91, 92, 107, 118] и символьного [128] дифференцирования для вычисления коэффициентов Тейлора позволило получить высокоэффективные алгоритмы(см., например, [70, 75, 82, 100, 101, 104]). С другой стороны, на построение реальных достаточно сложных моделей вручную затрачивается большое количествотруда и времени.

Скажем, на построение аналитической модели (теории  в терминологии классической небесной механики) движения планет, Луны и других естественных спутников были затрачены годы и десятилетия утомительного труда коллективов вычислителей. Развитие компьютерных технологий привело к созданиюмощных средств символьных вычислений  пакетов компьютерной алгебры таких,как Wolfram Mathematica.

Пользуясь этими средствами можно создавать и различные символьные алгоритмы построения моделей динамических процессов, чему ипосвящена (но не только этому, см. ниже) настоящая работа.11Построение моделей движения материальных тел и уравнения движенияКак уже отмечалось, рассматриваемые нами модели динамических процессов основаны на дифференциальных уравнениях. Как правило, это обыкновенные дифференциальные уравнения, так или иначе связанные с уравнениями Ньютона, описывающими движение материальных систем (это могут быть и уравнения Лагранжавторого рода, канонические уравнения, уравнения в элементах и т.п.).

Как правило,они представлены в форме уравнений, разрешенных относительно старших производных второго или первого порядка, а правые части зависят от учета тех или иныхсил [21] (гравитационных, электрических, магнитных, ядерных и других), действующих на материальную систему. Правые части могут быть записаны в терминахвесьма сложных функций, введенных в употребление в математическом анализе, математической физике и теории дифференциальных уравнений и входящих в справочники функций и в справочные системы пакетов компьютерной алгебры.Важно отметить, что в конкретных исследованиях возникают (могут возникать)модели с дифференциальными уравнениями, записанными в терминах ранее не определенных и/или неизученных и/или не включенных в пакеты компьютерной алгебры функций, а это означает, что пользователю в этих случаях придется создаватьдополнительно в этих пакетах свои алгоритмы и программы.В то же время, известно, что множество как хорошо изученных, так и вновь определяемых специальных функций анализа и математической физики являются решениями дифференциальных уравнений.

В диссертации вводятся в рассмотрениеклассыm, (  , m [1: ) ), функций, переменной x  ( x1,..., xm ) , каждую из которыхможно получить из x1,..., xm , используя конечное число операций , , , / и конечноечисло функций 1 ,..., l  и их суперпозиций, где   класс скалярных функцийпеременной x  ( x1 ,..., x ) , которые удовлетворяют (формально) какой-либо полиномиальной системе, то есть полной системе уравнений в частных производных первого порядка с полиномиальными по неизвестным и независимым переменным правыми частями (напомним, что система ОДУ  частный случай полной системы).

В12диссертации мы ограничиваемся рассмотрением таких функций и дифференциальных систем с такими правыми частями. Это позволяет нам ввести в рассмотрениеважный инструмент, используемый всеми нашими алгоритмами,  библиотеки такихфункций и дифференциальных уравнений, которым эти функции удовлетворяют.Полезность таких библиотек в том, в частности, что они могут легко пополнятьсяпользователем нашей программы “AVM”, которая оснащена всеми предлагаемымив диссертации алгоритмами построения моделей динамики.

Обо всем этом подробноговорится в параграфах 2.1, 2.2. Таким образом, можно сказать, что все методы иалгоритмы диссертации, а также программа ориентированы на задачи построениядинамических моделей, хотя не исключается их использование и для других целей.Описание программы “AVM” (Краткое Руководство Пользователя) можно посмотреть в главе 4.Классический метод возмущений и центральные поляМетоды возмущений (общие аналитические и специальные полуаналитические)как средство решения дифференциальных уравнений (см., например, [50]) развивались многими авторами сначала в рамках астрономии (небесной механики), а затеми для решения многочисленных и разнообразных задач из других областей прикладной математики.

На сегодняшний день существует большое количество методованалитического (символьного) интегрирования уравнений моделей в рамках теориивозмущений. Самым ранним и принципиально самым простым и самым общим изних остается классический метод возмущений [22, 23, 33, 50], который опишем здесьсловесно, без формул:а) правые части уравнений представляют в виде суммы «невозмущенной» части и«возмущающей» части, которую называют пертурбационной (или возмущающей)функцией и считают «малой» по сравнению с невозмущенной частью;б) решения уравнений с невозмущенной и всей правой частью называют невозмущенным и возмущенным решением соответственно, а их разность называют возму-13щением, причем предполагают, что оно также «мало» по сравнению с невозмущенным решением;в) последовательно, для нахождения «возмущений p -го порядка» при p  1, 2,...

, раскладывают правые части исходных уравнений по степеням возмущений и удерживая слагаемые до p - ой степени возмущений (до p - го порядка малости), записывают слева члены с производными от возмущений и линейные по возмущениямчлены (то есть слагаемые до первого порядка включительно), а справа  все остальные члены до p  1 - го порядка, затем подставляют справа (вместо возмущений) ранее найденные возмущения p  1 - го порядка, получают тем самым линейные неоднородные дифференциальные уравнения относительно возмущений p -го порядка(неоднородные уравнения в вариациях).К сожалению, здесь, несмотря на отсутствие принципиальных сложностей в решении этих уравнений, сразу появляются две серьезные технические проблемы, связанные как раз с их решением: построение фундаментальной матрицы и затемнахождение решения неоднородных уравнений оказываются весьма сложным делом.

Например, для движения материальной точки в силовом поле Ньютона элементы 6x6-фундаментальной матрицы представляются тригонометрическими рядами, а ядро Коши (под интегралом в формуле для решения неоднородных уравнений) представляется дробью, в числителе и знаменателе которой стоят определителипятого и шестого порядка, элементы которых еще более сложные выражения вформе рядов. На практике, при ручном счете, вся вышеописанная процедура методавозмущений не всегда реализуема, а если и реализуема, то может занять годы.

Запоследние десятилетия были разработаны разнообразные компьютерные алгоритмыее реализации. Особенно большой успех был достигнут этим методом для построения символьных компьютерных моделей возмущенного движения материальнойточки (планеты, спутника, кометы и т.п.) в центральном силовом поле Ньютона приразличных типах возмущающих сил [24], хотя и здесь, из-за большого объема вычислений и конечных результатов, во многих важных задачах приходится ограничиваться нахождением возмущений не выше второго порядка.14Для многих моделей динамики подходящими невозмущенными уравнениямиоказываются уравнения движения материальной точки в неньютоновых центральных силовых полях.

Примеры таких моделей приводятся в первых трех параграфахглавы 1. Для таких моделей упомянутые выше проблемы, вообще говоря, еще болееусложняются. В параграфе 1.4 предлагается новый метод решения уравнений в вариациях, который принципиально упрощает упомянутые выше технические проблемы. Говоря коротко, во всех моделях движения материальной точки в любом центральном поле в пространстве любой конечной размерности и, в частности, в моделидвижения материальной точки в силовом поле Ньютона используются (при решениинеоднородных уравнений в вариациях) только матрицы и определители второго порядка.Методы решения задачи Коши.

Характеристики

Список файлов диссертации