Диссертация (1149672), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Отметим также, что это сведение можно осуществить в рамках нашей программы символьных вычислений “AVM” (см. главу 4). В настоящемразделе будет рассмотрена задача Коши для системы полиномиальных обыкновенных дифференциальных уравнений. Мы обсудим алгоритм, предложенный в статье[14] с тем, чтобы читатель получил необходимое представление о вопросах, связанных с реализацией метода рядов Тейлора для полиномиальных систем и потому, что73алгоритм символьного вычисления коэффициентов Тейлора, который будет предложен в разделе 3.2, может быть естественным образом встроен в алгоритм из этойстатьи. Отметим также, что реализующая этот алгоритм программа его авторовЛ.К.Бабаджанянца и А.И.Большакова (на языке Fortran 90), примененная к ряду важных модельных задач и к задачам о движении внешних планет Солнечной системы(на промежутке в четыре миллиона лет), показала хорошие результаты при сравнении с тремя известными программами (также написанными на языке Fortran), реализующими методы Дормана–Принса [61, 62, 93], Грегга–Булирша–Штера [61, 62, 93]и метод рядов Тейлора [124].

Перейдем к описанию метода рядов Тейлора (МРТ)для систем обыкновенных дифференциальных уравнений и алгоритма Бабаджанянца-Большакова, следуя их статье [14] и используя при этом их нумерацию разделов, но с префиксом B.В1. Метод рядов Тейлора и алгоритм Бабаджанянца-БольшаковаВ1.1 Задача КошиРассматривается полиномиальная задача:dx / dt  f ( x) , x(t0 )  x0 ,(3.1)где f  ( f1,..., f n ), x  ( x1,..., xn ), x0  ( x1,0 ,..., xn,0 )  Rn , t, t0  R , все f i - алгебраические полиномы по x1 ,..., xn , а ее решение обозначается x(t, t0 , x0 ) , x(t ) или x .

Далее используются две формы задания полиномиальной системы.Первая форма:L 1dx / dt  a  x(t0 )  x0 ,a[i] xi ,m 1 iI ( m )i  (i1 ,..., in ) , i1 ,..., in  Z , L [0 : ) , I (m)  {i  Z n i1,..., in  0, i  m} , i  i1  ...  in ,x  ( x1,..., xn )  Rn , x i  x1i  ...  xni , x0  ( x1,0 ,..., xn,0 )   x1 (t0 ),..., xn ( t0 )   Rn ,1na  (a1 ,..., an )  R n , a[i ]  (a1[i ],..., an[i])  R n , t, t0  R .(3.2)74Вторая форма:dx j / dt   a j ,k xi ( k ) , x j (t0 )  x j ,0 , j  1 : n ,u(3.3)k 0где x i (0)  1, x i (1)  x1 ,..., x i ( n )  xn , а xi ( n1) ,..., xi ( u ) - все различные нелинейные мономы вправых частях уравнений (3.2).В1.2 Схемы и коэффициенты ТейлораПусть набор T  ( xi (1) ,..., xi ( n ) , xi ( n 1) ,..., xi ( N ) ) упорядочен так, что2  i(n  1)  i(n  2)  ...

 i( N )  L  1 ,причем любой моном x i (r ) , i(r )  3 в T равен xi ( p )  xi ( q ) при 1  p  r, 1  q  r . Тогдаможно рассмотреть так называемую схему S  (( p(n  1), q(n  1)),...,( p( N ), q( N ))) из N  nпар натуральных чисел p(r ), q( r) таких, что r  p(r ), q(r ) при любом r  [n  1 : N ] .На основе схемы решают задачу последовательного нахождения всех мономовxi ( n 1) ,..., xi ( N ) из T если известны первые n его мономов, т.е.

xi (1)  x1 ,..., xi ( n )  xn . Лю-бой набор T можно дополнить мономами так, чтобы он имел схему. В частности,можно предположить, что набор различных нелинейных мономов в уравнениях (3.3)(дополненный, если надо) имеет схему S  (( p(n  1), q(n  1)),...,( p(u), q(u))) . Тогда длябыстрого вычисления коэффициентов Тейлора xk , p решения задачи Коши (3.3)x i ( k )   xk , p ( t  t 0 ) p , k   0 : u (3.4)p 0можно вывести следующие рекуррентные формулы:xk ,0  xk (t0 ) , k  1: n ,pxk , p   x p ( k ),l xq ( k ), p l , k   n  1: u  l 0u1xk , p 1  ( p  1)  ak ,l xl , p , k  1: n  l 0(3.5)p  0,1,...(3.6)75В1.3 Формулировка МРТ и оценкиВ1.3.1 Ф о р м у л и р о в к а М Р Т. Используются обозначения:x ( k )   k x / t k , x0( k )  x ( k ) (t0 ), x  max xi , O (t0 )  {t  C t  t0  } ,i[1: n ]MTM x(t , t 0 , x0 )   x0( m)m 0(t  t 0 ) m,m! TM x(t, t0 , x0 )  x(t, t0 , x0 )  TM x(t, t0 , x0 ) ,(3.7)где TM и TM - операторы, сопоставляющие решению x(t, t0 , x0 ) задачи (3.2) полиномТейлора TM x(t , t0 , x0 ) и остаточный член TM x(t , t0 , x0 ) соответственно.

Радиус сходимости ряда T x(t , t0 , x0 ) обозначается R(t0 , x0 ) .МРТ для задачи (2.28): строится таблица приближений ~xw  ~x (tw ) по формулам:~x1  TM1 x(t1 , t0 , x0 ) ,  ,~xw  TM w x(t w , t w1 , ~xw1 ) , где M1 , M 2 ,... - натуральные числа,t1  t0  h1, t2  t1  h2 ,... , а h1 , h2 ,... такие, что hw  R(tw 1, ~xw 1 ) . Вычисление каждого ~x (tw )называют шагом метода, а hw - величиной этого шага.В1.3.2 О ц е н к и.

Для автоматизации выбора порядка M k и шага hk , можно использовать оценки для R(t0 , x0 ) и TM x(t , t0 , x0 ) , предложенные в статье [13]. Здесь приводим те из них, которые будут использованы далее, в разделе В2.В 1.3.2.1 О ц е н к и д л я л и н е й н о й з а д а ч и. Рассмотрим задачуdx / dt  a  Ax , x(t0 )  x0 ,(3.8)x  ( x1,..., xn )  Rn , x0  ( x1,0 ,..., xn,0 )  R n , a  (a1,..., an )  R n , A  (ai , j ) , t, t0 , ai , j  R ,введем замену x j   j y j , j [1 : n] с «масштабирующими множителями»   (1,...,  n ) ,1 ,...,  n  0 и будем использовать обозначенияn ( )  1 / s( ), s( )  max si ( ), si ( )  i1  j ai , j , b  max i1 ai ,i[1:n ]j 1y0  max (i[1:n ]1ii[1:n ]mxi ,0 ) , TM e  , u( )   TM e  e  TM e .m  0 m!MПредложение 1.

Решение x(t , t0 , x0 ) задачи (3.8) удовлетворяет неравенствуTM xi (t , t0 , x0 )  i ( y0  b  ) TM e t t0/, i  [1: n] , t  C .(3.9)76Предложение 2. Пусть u 1 - функция, обратная u при   0 , а 1 ,...,  n , 1 ,...,  n - положительные числа и   ( y0   b )1  min ( i i / i ) . Тогда:i[1:n ]t  t0   u 1 ( )    TM xi (t , t0 , x0 )   i i , i [1: n]В 1.3.2.2 О ц е н к и д л я н е л и н е й н о й з а д а ч и. В (3.2) полагаемx j   j y j , j  [1 : n] ,   (1,..., n ), 1,...,n  0 ,и предполагаем еще, что x j ,0 и  удовлетворяют неравенствам0  x j ,0   j , j  [1: n] .Введем еще обозначения:L 1 ( )  1/ ( Ls( )), s( )  max s j ( ), s j ( )    ( a j  1jj[1:n ]m 1 i m1 / LO (t0 )  {t  C t  t0  } , b( )  (1   ) , TM b( ) Mia j [i ] ) ,m 1  (1 / L  l )m/m ! ,(3.10)m 0 l  0v( )   TM b( )  b( )  TM b( ) ,   [0,1) .Предложение 3.

Решение x(t , t0 , x0 ) задачи (3.2) регулярно в круге O (t0 ) и удовлетворяет там неравенству  TM x j (t , t0 , x0 )   j  TM b( t  t0 /  ) .Предложение 4. Если v 1 обратна v , а   min ( i i / i ) ,  i ,  i  0 , тоi[1:n ]t t0   v 1 ( )    TM xi (t , t0 , x0 )   i i , i [1: n] .Далее используем эти предложения при 1  ...   т , i  i .В2. Алгоритмы МРТВ основе рассматриваемой реализации МРТ лежат формулы (3.5), (3.6) для коэффициентов Тейлора, алгоритмы выбора шага и порядка, использующие Предложения 1  4 и применяемые в численном анализе эвристические соображения (см.,например, [62]).

Далее излагаются вспомогательные алгоритмы, а затем - использующие их алгоритмы автоматического выбора шага и порядка. После этого будет рассмотрен алгоритм интегрирования системы ОДУ на заданном промежутке.77Ниже t  tk , x  xk  x(tk ) , h  hk  tk 1  tk обозначают текущий узел, приближенноезначение решения в этом узле и величину текущего шага, а  ,  - задаваемые допустимую относительную и абсолютную погрешности решения на шаге.

При заданныхM , K , tk , x k , величиныkkkTM x(tk 1 , tk , x k ) ,  TM , K x(tk 1 , tk , x )  TM  K x(tk 1 , tk , x )  TM x(tk 1, tk , x ) , M , K (tk 1 , tk , xk ) |  TM , K x(tk 1 , tk , xk ) | / | (TM x(tk 1, tk , xk ) | )будем коротко обозначать T (h) ,  T (h) ,  (h) .В2.1 Вспомогательные алгоритмы и данныеВ 2.1.1 Т а б л и ц ы д л я в ы ч и с л е н и я з н а ч е н и й ф у н к ц и й u 1 , v 1(см. Предложения 2, 4). Таблицы содержатся в файле table.dat, а используются в алгоритме B2.1.2. Для каждой пары L  0,...,99 , M  1,...,99 , таблицы содержат наборзначений u( j ), v( j ) , расположенный в порядке возрастания  j  0.01,0.02,...,0.99 ивычисленный при помощи Wolfram Mathematica [128] по формулам (см. (3.8), (3.9)):ju ( j )  e j  TM e, v( j )  b( j )  TM b( j ) .

Характеристики

Список файлов диссертации